1. Sebaran Peluang Bersama

2. Peubah Acak Yang Menyebar Bersama
Definisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, maka sebaran peluang bersama untuk X dan Y adalah p(x,y) = P(X=x, Y=y) Yang terdefinisi untuk semua bilangan nyata x dan y. Fungsi dari p(x,y) dinamakan fungsi peluang bersama.

3. Sifat fungsi peluang bersama p(x,y)2.

4. Contoh 1
Misalkan bahwa 3 bola diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5 biru. Jika X adalah banyaknya bola merah yang terambil dan Y adalah banyaknya bola putih yang terambil. Carilah fungsi peluang bersama dari X dan Y, p(i,j)=P{X=i,Y=j)

5. Semua kemungkinan pasangan nilai (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), dan (3,0)
f(0,0) menyatakan peluang terambilnya 0 bola merah dan 0 bola putih
Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola adalah =220
Banyaknya cara mengambil 0 dari 3 bola merah, 0 dari 4 bola putih dan 3 dari 5 bola biru adalah = 10
f(0,0) adalah 10/220

6. Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1
Sebaran peluang bersama bagi X dan Y untuk contoh ini dapat dinyatakan dalam rumus berikut
Untuk X=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0≤ X+Y ≤3
p(x,y) x
Total Baris 1 2 3 y
10/220
30/220
15/220
1/220
56/220
40/220
60/220
12/220
112/220
18/220
48/220
4/220
Total Kolom
84/220
108/220
27/220

7. Definisi
Untuk dua peubah acak X dan Y, fungsi sebaran peluang kumulatif bersama dari X dan Y adalah F(a,b) = P{Xa,Yb} Untuk dua peubah acak diskret X dan Y, F(a,b) memiliki bentuk F(a,b) =

8. Definisi
Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang kontinu dengan fungsi sebaran bersama F(a,b). Jika terdapat fungsi nonnegatif f(x,y) sedemikian hingga
untuk semua bilangan nyata a dan b, maka X dan Y dikatakan peubah acak kontinu yang menyebar bersama.
Fungsi f(x,y) dinamakan fungsi kepekatan peluang bersama.

9. Contoh Fungsi kepekatan bersama X dan Y adalah
Hitung a. P(X>1,Y<1)
b. P(X<Y)
c. P(X<a)

10. Jawab.
a. P(X>1,Y<1) =
= =
b. P(X<Y) = =
= =
= 1-2/3 = 1/3

11. c. P(X<a) = = = 1-e-a

12. Sifat dari Fungsi Sebaran Bersama F(a,b)
F(-, -) = F(-, y) = F(x, -) = 0
F(, ) = 1
Jika a2 ≥ a1 dan b2 ≥ b1, maka F(a2,b2)+F(a1,b1)- F(a1,b2)-F(a2,b1) ≥ 0

13. Sifat dari fungsi kepekatan bersama
1. f(x,y) ≥ 0 untuk semua x, y 2.

14. Contoh
Suatu restoran keluarga melayani dua jenis layanan, yaitu layanan makan di tempat dan layanan drive thru. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, misalkan X adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani pelanggan yang makan di tempat dan Y adalah proporsi waktu yang digunakan restoran untuk melayani pelanggan yang memanfaatkan layanan drive thru. Bila fungsi kepekatan bersama dari (X,Y) adalah

15. Buktikan bahwa f(x,y) adalah fungsi kepekatan peluang yang sah
Berapa peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran ?

16. Jawab
a. =

17. Peluang bahwa kedua layanan digunakan tidak lebih dari seperempat waktu layanan restoran adalah=

18. Sebaran Peluang Marginal dan Sebaran Peluang Bersyarat
Definisi
Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret yang menyebar bersama dengan fungsi peluang p(x,y), maka fungsi peluang marginal dari X dan Y adalah
dan

19. Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y), maka fungsi kepekatan marginal dari X dan Y adalah
dan

20. Contoh
Misalkan Carilah fungsi kepekatan marginal X dan Y. Jawab Fungsi kepekatan marginal X adalah = 2x(1) – 2x(0) = 2x, 0 x 1

21. Sedangkan fungsi kepekatan marginal Y adalah

22. Fungsi peluang diskret bersyarat X jika diketahui Y
P(x|y)=P(X=x|Y=y)= dengan syarat py(y)>0

23. Contoh Dari Sebaran bersama berikut P(X=0|Y=1) P(X=1|Y=1) P(X≥2|Y=1)
Total Baris 1 2 3 y
10/220
30/220
15/220
1/220
56/220
40/220
60/220
12/220
112/220
18/220
48/220
4/220
Total Kolom
84/220
108/220
27/220

24. Jawab P(X=0|Y=1) = P(Y=1) = pY(1) =
= p(0,1) + p(1,1) + p(2,1) + p(3,1) =
Sehingga

25. b. P(X=1|Y=1) = c. P(X≥2|Y=1) = =

26. Definisi
Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan fungsi kepekatan marginal fx(x) dan fy(y), maka fungsi kepektan bersyarat X jika diketahui Y=y adalah

27. Dan fungsi kepekatan bersyarat Y jika diketahui X=x adalah

28. Contoh
Misalkan Y adalah peubah acak yang menyatakan banyaknya supply pada mesin soft drink di awal suatu hari dan X adalah banyaknya soft drink yang terjual selama hari tersebut (dengan ukuran galon). Bila X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama sebagai berikut
Tentukan fungsi kepekatan bersyarat X jika diketahui Y=y
Hitunglah peluang soft drink yang terjual adalah kurang dari ½ gallon jika mesin tersebut berisi 1 galon di awal hari

29. Jawab a.

30. b. P(X1/2|Y=1) =

31. Peubah Acak yang Bebas (Independent)
Definisi
Misalkan X mempunyai fungsi sebaran Fx(x), Y mempunyai fungsi sebaran Fy(y), dan X dan Ymemiliki fungsi sebaran bersama F(x,y), maka X dan Y dikatakan bebas jika dan hanya jika
F(x,y) = Fx(x) . Fy(y)
untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)
Jika X dan Y diskret dengan fungsi peluang bersama p(x,y) dan fungsi peluang marginal px(x) dan py(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika
p(x,y) = px(x)py(y)
Jika X dan Y kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan kepekatan marginal fx(x) dan fy(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika
f(x,y) = fx(x)fy(y)

32. Contoh Bila X dan Y memiliki Sebaran Peluang Bersama seperti berikut:
p(x,y) x
Total Baris 1 2 3 y
10/220
30/220
15/220
1/220
56/220
40/220
60/220
12/220
112/220
18/220
48/220
4/220
Total Kolom
84/220
108/220
27/220
Apakah X dan Y bebas?
Jawab.
Untuk X=0 dan Y=0, kita dapatkan p(0,0) adalah 10/220, sedangkan pX(0) = 84/220 dan pY(0) = 56/220 sehingga
p(0,0)  pX(0).pY(0)  X dan Y tidak bebas

33. Contoh
Apakah X dan Y bebas jika X dan Y memiliki sebaran bersama berikut? Jawab. Kita dapatkan sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa X dan Y tidak bebas

34. Theorema
Misalkan X dan Y memiliki kepekatan bersama f(x,y), yang positif jika dan hanya jika axb, cyd, untuk konstanta a, b,c, dan d dan f(x,y) = 0 selainnya, maka X dan Y adalah peubah acak yang bebas jika dan hanya jika f(x,y) = g(x) h(y) dimana g(x) adalah fungsi nonnegatif dari x dan h(y) adalah fungsi nonnegatif dari y

35. Contoh Misalkan X dan Y memiliki fungsi kepekatan bersama
Apakah X dan Y bebas
Jawab
f(x,y) positif jika dan hanya jika dan f(x,y) = g(x) h(y) di mana g(x) = 2x dan h(y)=1
Sehingga X dan Y adalah peubah acak yang bebas

36. Misalkan X dan Y memiliki kepekatan bersama
Apakah X dan Y bebas
Jawab
fungsi kepekatan bersama positif jika dan hanya jika , tidak ada konstanta a, b, c, dan d sedemikian hingga fungsi kepekatan positif pada selang a  x  b, c  y  d

37. Sehingga Theorema tidak dapat diaplikasikan
Sehingga Theorema tidak dapat diaplikasikan. Bila kita cek ternyata X dan Y adalah peubah acak yang tidak bebas karena fungsi kepekatan bersamanya tidak sama dengan perkalian fungsi marginal X dan fungsi kepekatan marginal Y.