1. Lecture Twelve

2. Spacetime Geometry: Brehme Diagram and Loedel Diagram

3. Relativistic Kinematics: Relativistic Vista of Spacetime

4. Geometry of Relativity

5. Cartesian Coordinatesy y
• P
(x, y) • x O x

6. Cartesian Coordinatesy' y'
• P
(x', y') • O x' x'

7. Cartesian Coordinates
invariance of distance y y' y' y
• P
(x', y') P
(x, y) • x O x x' x'

8. Invariance of Spacetime Interval

9. Brehme Spacetime Diagram
Exchange Ot axis and Ot' axis

10. Brehme Spacetime Diagram
ct' ct x' O • x

11. Oblique Coordinates ct O • x

12. Brehme Diagram (perpendicular components)ct
• E
(ct, x) ct • x O x

13. Loedel Diagram (parallel components)ct ct
• E
(ct, x) • x O x

14. World Line

15. World Line ct
ct3
ct2
• E
ct1 • x O x1 x2 x3

16. World Line rest at x in  for all time t parallel to t -axis ct • E •

17. World Line • E • rest at x' in  ' for all time t'
ct' ct
rest at x' in  ' for all time t'
parallel to t' -axis
perpendicular to x -axis
• E x' • x' • x O

18. World Line ct
• E
ct2
ct1 • x O x1 x2

19. World Line of Light
角平分線 ct T •
• E 3 4 ct 2 1 X O • • x x

20. World Line of O' ct x ct
• E ct ct x • x O x

21. Question: world line 與 trajectory 有何不同？

22. Loedel Diagram
ct' ct x'
• E x'
ct'
ct' x' • x O

23. Loedel Diagram
ct' ct x'
• E x'
ct'
ct' • x O x'

24. Loedel Diagram • • • • ct' ct • E (ct, x) or E(ct', x') ct x' ct' x' •

25. Principle of Constancy of Light Speed
ct' ct • • E
E(ct, x) ct x' • O • x x

26. Principle of Constancy of Light Speed
ct' ct • E
E(ct', x') •
ct' x' • x' O • x

27. Principle of Constancy of Light Speed
ct' ct • •
E(ct , x) or (ct', x') ct •
ct' x' • x' • O • x x

28. Time Dilation

29. Time Dilation
ct' ct • E2 C2 • • A2 c • E1 ct x' • • A1 C1 • x' • x O

30. Time Dilation • • • • • • • • • ct' ct E2 B2 C2 ct A2 proper time cx' • • A1 C1 • x'
same place in  ' • x O

31. Time Dilation • • • • • • • ct' ct E2 C2 A2 proper time c E1 ct x' A1

32. Time Dilation
ct' ct • C2 • • A2 E2 ct c • C1 x' • • E1 A1 x • • x O

33. Time Dilation • • • • • • • • • ct' ct C2 A2 E2 ct' B2 c proper timex' • C1 • E1 A1 • B1 x • • x O
same place in 

34. Time Dilation • • • • • • • ct' ct C2 A2 E2 ct' c proper time C1 x'

35. Simultaneity

38. World Line of Light
角平分線 ct O • x

39. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • v
ct' • D • O' C • • • • ct B O A • B • v • x' D C • • O' C • • • • • • • B O A • A D • x O v • D • O' C • • • • O B A • • v D • • O' C • • • • B O A

40. Events C and D • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
ct' • D • O' C • • • • ct B O A v • • x' D C • • O' C • • • • • • • • B O A A D • x O v • D • O' C •
simultaneous in  ' • • • O B A
t'C = t'D • •
tD < tC

41. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ct' O' ct -v O x' O'

42. • • • • • • • • • • • • ct ct' E2 after E1 in  ' ct2 E1
In  , E2 and E1 are simultaneous •
ct2 • • • E1
E1(x,t2) or (x',t2') E2 •
ct2' x'
E2' • • •
E2' before E1 in  x' • • • x x O
In  ', E2' and E1 are simultaneous •

43. Length Contraction

44. Length Contraction • • • • • • L B A L0 (proper length) ct' ct ct1
simultaneous measurements at time t1 in  x' B • A •
L0 (proper length) O • x
world lines of A and B

45. Length Contraction • • • • • • L A B L0 (proper length) ct' ct ct'1
simultaneous measurements at time t'1 in  ' x'
world lines of A and B A B • • O • x
L0 (proper length)

46. Off Synchronization

47. Off -Synchronization • • • • • c = L sin  L ct' = L v/c
ct (proper time)
Time dilation : ct' =   ct
Time dilation : ct =   (ct' - c ) x' • x O • L
trailing clock
leading clock

48. Lorentz Transformation

49. Lorentz Transformation
ct' ct • B
• E
(ct, x)
or E(ct', x') D • x' ct
ct' • x' C • C' • • x O A x

50. Lorentz Transformation
ct' ct x • B
• E
(ct, x)
or E(ct', x') D • x' • D' ct
ct' C • x' • • x x O A

51. Comparison of Loedel Diagram and Brehme Diagram

52. Loedel Diagram
Parallel Component
Contravariant Component
Brehme Diagram
Perpendicular Component
Covariant Component

53. Summary

54. Geometry; Invariance of Spacetime; Constancy of Speed of Light