1. Los Números Racionales

2. Objetivos:
Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.
Aplicar las operaciones básicas en los números racionales.
Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones.
Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

3. Contenidos Números racionales (Q) 1.1 Propiedades de los racionales
1.2 Operatoria en los racionales
1.3 Transformaciones de números racionales
1.4 Comparación de fracciones
1.5 Secuencia numérica

4. 1.Números Racionales (Q)
Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir: a b
/ a y b son enteros, y b es distinto de cero
Q =
a: numerador y b: denominador
Ejemplos:
2; 17; 0; -6; -45;
-2; 7
0,489;
2,18;
-0,647
-1; 8
14; 3 15
NO es racional

5. Todo número entero es racional.
Por ejemplo:
3 es Natural (3 IN),
3 es Cardinal (3 IN0),
3 es Entero (3 Z), y como
3 = , 3 es racional (3 Q). 3 1
IN IN Z Q

6. Diagrama representativo:│ │ No Z ∕ Q

7. 1.1 Propiedades de los racionales
Las fracciones se pueden clasificar en:
Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador.
Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador.
Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria.
Amplificar y simplificar fracciones
Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.
Ejemplo:
Al amplificar la fracción por 6 resulta: 2 3 2∙ 3∙ 6 12 18 =

8. Fracciones Equivalentes
En las figuras 2 5 6 15
La parte coloreada de azul es la misma, luego 2 5 6 15 = 2 5
= 0,4
Dos fracciones son iguales
cuando valen lo mismo 6 15
= 0,4

9. También podemos observar que:2 5 6 15 =
2 · 15 = 5 · 6
Los productos cruzados son iguales
Dos fracciones son equivalentes si los
productos del numerador de cada una
de ellas por el denominador de la otra,
son iguales. a b c d =
a · d = b · c

10. Distintos modos de escribir una fracción
Observa las partes coloreadas de azul de las fracciones que
se representan 1 2 2 4 3 6
Las fracciones 2/4 y 3/6 son fracciones amplificadas
de la fracción ½ y de valor equivalente a ella.
Para encontrar fracciones equivalentes a cualquier otra,
basta con multiplicar numerador y denominador por un
mismo valor

11. Dos fracciones distintas pueden representar la misma parte de la unidad, es decir el mismo número. En este caso se dice que son equivalentes. = 3 4 9 12 = =

12. Simplificar fracciones
Simplificar una fracción es hallar otra igual cuyos términos se obtienen dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número entero.
Una fracción irreducible es la que no se puede simplificar más.

13. Ejemplo:
Al simplificar la fracción por 3 resulta: 27 45
27 :
45 : 3
9 :
15 : = =
Tenemos entonces que:
Son fracciones irreductibles

14. Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción
Ejemplo:
El inverso multiplicativo, o recíproco de 2 9 9 2
es:
Esto es porque:
Recordemos que dos números son inversos
multiplicativos, si su producto es igual a 1

15. 1.2 Operatoria en los racionales
Suma y resta
Al sumar y restar racionales, lo que tememos es una
representación de las siguientes situaciones:
a) Suma de racionales: 1 2 1 3 +
= ¿? +
= ¿?
Si dividimos ambos en sectores del mismo tamaño, tendremos
un común divisor, entonces, al unirlos sumando queda: 5 6 =

16. 1 3 1 6 +
= ¿?
Al dejarlos con un divisor común: 1 3 1 6 3 6 1 2 + = =

17. 1 2 2 3 +
= ¿?
Al dejarlos con un divisor común: 1 2 2 3 7 6 + =

18. b) Resta de racionales:1 2 _ 1 3
= ¿? _
= ¿?
Si dividimos ambos en sectores del mismo tamaño,
tendremos un común divisor, entonces, al quitar
(restar) el segundo del primer valor queda: _ 1 6 =

19. La suma y resta de números racionales sólo puede
realizarse si estos racionales tienen el mismo (común)
denominador.
Al realizar una suma o resta de números racionales
tenemos las siguientes situaciones, que pueden ser
enfrentadas de diferente modo de manera de lograr
que tengan igual denominador.
El modo que resulta en todos los casos es el de
encontrar el mínimo común denominador (m.c.m.)

20. Ejemplos:
1. Si los denominadores son iguales: 4 15 + 7 11 15 4 15 - 7 -3 15 = y =
2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: 2 15 + 7 45 =
2∙ ∙1 45
6 + 7 45 13 45 = =

21. 3. Si los denominadores son primos entre sí:4 5 + 7 8 =
4∙ ∙7 40 40 67 40 = =
4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): 5 12 + 7 18 =
5∙ ∙2 36 36 29 36 = =

22. Multiplicación de Racionales:
a) Racional por entero
Recordemos que la multiplicación es una suma iterada,
entonces tendremos una suma de racionales iguales. 1 5 1 5 1 5 1 5 3 5 + + =
● 3 =

23. Multiplicación de Racionales:
Al multiplicar dos
racionales, el
resultado es un
número racional
que cumple ambas
condiciones
simultaneamente. ● 3 7 2 5 6 35 3 7 2 5
3 · 2
7 · 5 6 35 ● = =

24. Multiplicación de Racionales:● 3 5 2 4 3 5 2 4
3 · 2
5 · 4 6 20 ● = = 6 20

25. Entonces, la multiplicación de racionales se hará
multiplicando los numeradores y denominadores
entre ellos.
Ejemplo: -4 5 7 8 = ∙
-28 40 = 28 40 - a) b)

26. También debemos recordar que la división es una resta iterada, entonces, si deseamos conocer el resultado de eta resta iterada (el resultado de la división), haremos: 1 2 1 3 :
= ¿?
Lo que tenemos es: 1 2 3 6 3 6 : 2 6 3 2 =
= 1,5 2 6 1 3

27. División:
Entonces, podemos observar que la división de dos racionales se corresponde con el producto cruzado de los numeradores y denominadores del dividendo y divisor, de manera que lo podemos representar como: 3 6 : 2 6 18 12 =
Simplificando el racional, queda:
18 : 6
12 : 6 3 2 =

28. 8 División: Número Mixto:
Para dividir racionales, también podemos recordar que la división es la operación inversa a la multiplicación, por lo que dividir por un racional, equivaldrá a multiplicar por el inverso multiplicativo del divisor o recíproco, es decir:
Ejemplo: -4 5 : 7 8 = -4 5 ∙ 8 7 =
-32 35 = 32 35 -
Número Mixto:
Ejemplo: 3 5 =
8∙5 + 3 5 = 43 5 8

29. 1.3 Transformación de números racionales
De fracción a decimal:
Se divide el numerador por el denominador.
Ejemplo: 7 4
= 1,75
De decimal finito a fracción:
El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.
Ejemplo:
1,75 =
100
175 =
25∙7
25∙4 = 7 4

30. De un número decimal periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera.
2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.
Ejemplo 1:
2,35 = 235 – 2 = 233 99
Ejemplo 2:
0,376 = 376 – 0 = 376
999
Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

31. De un número decimal semi periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.
2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.
Ejemplo:
3,21 = =
289 90
Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período.

32. 1.4 Comparación de fracciones
Multiplicación cruzada:
Ejemplo:
Al comparar
(Multiplicando cruzado) 13 15 9 10 y
13 ∙ y 15 ∙ 9 y 13 15 9 10
Como 130 < 135, entonces:
<

33. Igualando denominadores:
Ejemplo: 13 15 7 12
Al comparar y
(Igualando denominadores)
13∙4
15∙4
7∙5
12∙5 y 52 60 35 60 y
Como 52 > 35, entonces 13 15 7 12
>

34. Transformar a decimal:
Ejemplo: 13 15 7 12
Al comparar
(Transformando a decimal) y 13 15 =
0, … 7 12 =
0, … 13 15 7 12
Como 0,86 > 0,583
, entonces
>

35. Igualando Numeradores:
Ejemplo:
Al comparar
(Multiplicamos ambos numeradores por un factor para obtener el m.c.m. entre 10 y 13 en este caso 130) 10 3 13 4 y
10·13
3·13
13·10
4·10 y
130 39 40 y 10 3 13 4
es mayor que
Por lo tanto,

36. 1.5 Secuencia Numérica Ejemplo: 6 , 5 16 , 5 26 , 5 36 , ... 5
6 , 5
16 , 5
26 , 5
36 , ... 5
En la secuencia:
¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ?
1 , 5
Respuesta:
De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es
66 . 5
Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término. 65 5
1 ,
Es decir:
65 = 13 5

37. Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,
Observación:
La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera: , 5 , 5 , 5 , 5
... , … 5 1° 2° 3° 4°
... ,
7°…
Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,
¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?
Respuesta:
Es , más un número impar, lo que se expresa como: 1 5
1 + (2n - 1) 5
(Con n = posición del término)

38. Representación de Racionales
en la recta numérica
Para representar los números enteros, simplemente
repetimos una misma distancia

39. Para ubicar una posición de un racional en la recta numérica
Nos apoyamos en la geometría, usando el Teorema de Thales:
1° La división en partes iguales se logra trazando una recta cualquiera que tenga un origen común con el trazo a dividir y sobre ella se marcan con el compas las divisiones que se desean realizar.
2° Desde el fin de la última división se traza una recta hacia el final del trazo a dividir.
3° Desde cada una de las divisiones en la recta, se trazan paralelas a la líneas del punto 2°, las que cortarán el trazo en las partes iguales deseadas.

41. Sinteticemos en el siguiente mapa conceptual
lo que hemos aprendido

42. Decimal semiperiódico
Conjunto Q
Propiedades
y comparación
Operatoria
Transformaciones
Decimal finito a
fracción
Decimal periódico a
Decimal semiperiódico a
Adición
Sustracción
Multiplicación
División
Simplificación
Amplificación
Fracciones
equivalentes