1. Geometría de Proporción Prof: Isaías Correa M.

2. Geometría de Proporción I

3. APRENDIZAJES ESPERADOS Identificar triángulos congruentes y semejantes. Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armónicamente o en sección áurea. Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de triángulos. Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras.

4. 1.Figuras congruentes Contenidos 1.1 Definición 1.2 Triángulos Congruentes 3.1 Definición 3.2 Triángulos Semejantes 2. Figuras Equivalentes 3. Figuras semejantes 3.3 Elementos homólogos 3.4 Razón entre áreas y perímetros 3.5 Postulados de semejanza

5. 4.1 División Interior 4.2 División Exterior 4.3 División Armónica 4. División de un segmento 4.4 Sección áurea o Divina

6. 1. Figuras congruentes ( ) 1.1 Definición Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos:

7. A C B D F E 1.2 Triángulos congruentes Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son: 1° Lado, lado, lado (L.L.L.) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. Ejemplo: 8 8 10 66 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

8. 2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente. AB C E F D  5 3 5 3 Ejemplo: Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

9. 3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. AB C E F D  12 Ejemplo:  Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF

10. 2. Figuras Equivalentes Son aquellas que tienen la misma área. Ejemplo: El cuadrado de lado 2√ , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura: Área = 4 

11. 3. Figuras semejantes (~) Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: 3.1 Definición Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes. G F J I H      A E D C B      1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales. Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.

12. A E D C B      G F J I H      6 5 4 3 12 10 8 6 42 Además, están en razón 1:2. Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.

13. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales. 3.2 Triángulos Semejantes Ejemplo: AB C    E F D    Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k 5 3 15 9 4 12 Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar. AB es homólogo a DE BC es homólogo a EF AC es homólogo a DF AB DE BC EF AC DF 1 3 ==== k

14. P Q R AB C 3.3 Elementos Homólogos Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a aquellos lados que son respectivamente proporcionales. Ejemplo: 3 4 5 6 8 10 AB PQ = BC QR = CA RP = k 5 10 = 3 6 = 4 8 = 1 2  Además, también los elementos que cumplen la misma función en cada uno de los triángulos como: alturas, transversales, bisectrices y simetrales, (son homólogos y proporcionales). = k

15. P R 6 8 10 Q A B C 3 4 5 hChC hRhR Además, = hChC hRhR 2,4 4,8 = 1 2 = k Recuerda: Teorema de Euclides hChC = a · b c

16. Entre los Perímetros Entre los Perímetros: La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos. 3.4 Razón entre Áreas y Perímetros Ejemplo: Q 6 10 hRhR P R 8 A B 3 4 5 C hChC P ABC P PQR = 12 24 = 1 2 = k

17. Entre las Áreas Entre las Áreas: La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos. Ejemplo: Q 6 10 hRhR P R 8 A B 3 4 5 C hChC AB PQ = = k 5 10 = 1 2 A ABC A PQR = 6 24 = 1 4 = k 2

18. 3.5 Postulados de semejanza 1° Postulado AA. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes. Ejemplo: AB C     E F D     AB DF BC FE AC DE === k Además Δ ABC ~ Δ DFE por AA

19. 2° Postulado LLL. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. Ejemplo: Δ ABC ~ Δ FDE por LLL AB C  E F D      AB FD BC DE AC FE 1 2 ==== k Además BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED

20. 3° Postulado LAL. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: AB C  E F D     Δ ABC ~ Δ FED por LAL Además BAC=DFE y CBA=FED BC ED 4 12 5 15 1 3 === k AC FD = 

21. Ejemplo: Determinar la medida del segmento QR de la figura: AB C    410 Q R P    6 Solución: 10 QR 4 6 =60 = 4∙QR15 = QR Es decir: AB PR 10 QR 4 6 ==    Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ, entonces: AB PR CB QR AC PQ = = = k Con k razón de semejanza

22. 4º Postulado: LLA> Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales, y el ángulo opuesto al mayor de esos lados, congruente.     Δ ABC ~ Δ DEF por LLA> B C D E F Ejemplo: A Razón de semejanza: 1 : 2

23. 4. División de un segmento 4.1 División interior C AB Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces: Ejemplo: Q AB AC CB = m n Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?

24. Q AB 45 AQ QB = 3 5 Solución: AQ 45 = 3 5 AQ = 3∙45 5 AQ = 27  27 Por lo tanto, AB mide 72

25. 4.2 División exterior Si el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces: B A D Ejemplo: B A D 20 AD BD = m n Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?

26. AD BD = 5 2 20 BD = 5 2 = 20∙2 5 BD = 8  B A D 8 12 20 Solución:

27. 4.3 División armónica Dividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón. Ejemplo: m AC CB = = n AD BD Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12? A C B D A C B D 12 Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:

28. 4.4 Sección Áurea o Divina El punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor. Si AX > BX, entonces: Ejemplo: X AB P AB AB AX = BX ó (AX) 2 = AB∙BX En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5? 5 OBS: En una sección Áurea, siempre está involucrado el “número de oro”: Φ

29. Solución: (AP) 2 = (AP + 5)∙5  (AP) 2 = 5∙AP + 25  (AP) 2 - 5∙AP - 25 = 0  5 P AB (AP) 2 = AB∙PB

30. Geometría de Proporción II

31. APRENDIZAJES ESPERADOS: Conocer el teorema de Apolonio. Conocer las diferentes presentaciones del teorema de Thales y Euclides. Aplicar los teoremas de Thales y Euclides en la resolución de ejercicios.

32. Segmentos proporcionales Contenidos 2. Teorema de Euclides 1. Teorema de Apolonio 3. Teorema de Thales

33. Segmentos proporcionales 1. Teorema de Apolonio (de la bisectriz) b u a v = b v u  a  D Este teorema es válido para cualquier triángulo. En el triángulo de la figura, CD es bisectriz, entonces se cumple la siguiente proporción:

34. D 9 5 10   Solución: Como el trazo CD es bisectriz, entonces, aplicando el teorema de Apolonio, se tiene: 9 AD 10 5 =  AD = 9 2 Ejemplo: En la figura, determinar el valor de AD.

35. 2. Teorema de Euclides Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = h c, la altura sobre la hipotenusa, entonces: Además, se cumple que: ∙ h c 2 = p qa 2 = c q ∙ b 2 = c p ∙ h c = a·b c T. De la Bendición T. De la Derecha T. De la Izquierda T. De la Altura

36. De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden: Ejemplo: Aplicando Teorema de Euclides:(Bendición) CD 2 = AD DB∙ (Reemplazando) CD 2 = 4 3∙ (Aplicando raíz) CD = 4 3∙ CD = 2 3

37. Además, por Euclides (T. de la Izquierda) se cumple que: AC 2 = AB AD ∙ (Reemplazando) (Aplicando raíz) AC = 2 7 AC 2 = 7 4 ∙ 2 7 2 3

38. C D F E A B L1L1 L2L2 L3L3 3. Teorema de Thales Sean L 1 // L 2 // L 3, entonces: Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres formas de presentarse: AB BC DE EF = BC AC EF DF = AB AC DE DF = a) Forma de Escalera:

39. b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales: Sean L 1 // L 2, entonces: A O C DB L1L1 L2L2 OA AB OC CD = OA OB OC OD = OA AC OB BD = OC AC OD BD = AB OB CD OD = OA OB AC BD = OC OD AC BD =

40. Sean L 1 // L 2, entonces: L1L1 L2L2 A C B O D AO OD BO OC = AB CD AO OD = AB CD BO OC = c) Forma de Reloj de Arena:

41. Ejemplos: 1. En la figura, L 1 // L 2. Determinar el valor del trazo AC. A O C DB L1L1 L2L2 5 7 36 Solución: Aplicando el Teorema particular de Thales o «A»: OA AC OB BD = 5 AC 12 36 = AC = 15  

42. 2. En la figura, L 1 // L 2. Determinar el trazo OD en función de x e y. Solución: Aplicando la «forma de reloj de arena» del Teorema de Thales: L1L1 L2L2 A C B O D x + y 2y 2x AB CD AO OD =  x+y 2x 2y OD =  4xy x+y OD =

43. Ahora a estudiar….