2. 1 Forecasting Models 預測模式 CHAPTER 7

3. 2 7.1 時間序列預測介紹 (p.486) Introduction to Time Series Forecasting 預測 (Forecasting) 昰預言將來之過程 預測 昰所有企業重要之部分 範例 ( Examples ) – 製造商預測產品之需求，以對於現有勞力與原料資 源進行排程. – 服務業預測顧客到達方式來維持適當的服務. – 債劵公司預測公司收入、利潤、負債率等來提供投 資建議

4. 3 時間序列組成分子 (p. 487) Components of a Time Series – 長期趨勢 (Long-term trend) 時間序列可能相當穩定或隨時間呈現一個趨勢 時間序列趨勢一般為線性的 (linear), 二次方程式的 (quadratic) 或指數函數 (exponential function). – 季節性變動 (Seasonal variation) 按著時間變動，呈現重複性之行為的序列 季節性變動通常與日期或氣候有關. 季節性變動通常與年週期有關

5. 4 – 周期性變動 (Cyclical variation) 相對於季節性變動，時間序列可能經歷「周期性 變動」 周期性變動通常起因於經濟變動 – 隨機影響 (Random effects) 時間序列組成分子

6. 5 平穩時間序列 線性趨勢之時間序列 線性趨勢與季節性之時間序列 Time 時間序 列數值 未來值 時間序列組成分子

7. 6 時間序列預測之目的為確定可預測之因 子 時間序列預測程序之步驟如下： – 步驟一： 建立假設模式 – 步驟二： 選擇預測技巧. – 步驟三： 進行預測 時間序列預測程序之步驟 (p. 488)

8. 7 步驟一 : 確認在時間序列中之元件 – 收集歷史資料 – 畫出資料與時間之關係 – 建立假設模型 – 以統計方法確立假設 時間序列預測程序之步驟 (p. 488)

9. 8 步驟二 : 選擇適當的預測方法 決定輸入變數 對歷史資料進行評估 步驟三 : 用選定預測方法進行預測 Steps in the Time Series Forecasting Process

10. 9 在平穩模式中，時間序列之平均數假定為 常數 (constant). 此模型之一般式表示如下 (p. 490) 其中 : y t = 時間序列在第 t 期的值  0 = 時間序列的不變平均值  t = 第 t 期的隨機誤差值 7.2 平穩預測模式 Stationary Forecasting Models y t =  0 +  t   t 假定為獨立   t 之平均值假 定為 0.

11. 10 檢查趨勢 (Checking for trend) 使用線性迴歸若  t  為常態分配 使用無母數分析若  t  為非常態分配 檢查季節性成分 (Checking for seasonality component) – 自相關性 (Autocorrelation) 用來衡量時間序列值在不同時 段之關係 – 期差 k (Lag k ) 的自相關性測量相差 k 期之時間序列值 相鄰時段之自相關性為一種趨勢. 期差 7 昰說明每日資料間之自相關性 期差 12 昰說明每月資料間之自相關性 檢查週期性成分 (Checking for Cyclical Components) 平穩預測模式 (p. 490) Stationary Forecasting Models

12. 11 末期法 (The last period technique) 以最後一個觀察值為下一個預測 值 tt+1 t t t 移動平均法 (Moving Average Methods) (p. 492)

13. 12 t+1 t t-2t-1 t-2 t-1 t 移動平均法 以最後 n 個觀察值之平均值 為下一個預測值 移動平均法 (Moving Average Methods)

14. 13 加權移動平均法 – 愈靠近最近資料之觀察值有較大之權數 – 所有使用權數之和等於 1 移動平均法 (p.493) Moving Average Methods = w 1 y t + w 2 y t-1 +w 3 y t-2 + …+ w n y t-n+1 w 1  w 2  …  w n  w i = 1

15. 14 Galaxy Industries 正在預測下年度每週 yo- yos 需求量。因 yo-yo 為一發展成熟之產品 ，故下一年度需求應與本年度需求相近 為與測下一年度需求，過去 52 週知週需 求量被收集於表 7.1 (p.494) YOHO 溜溜球 YO – YOs (p. 493) 移動平均法 -

16. 15 三種預測方式 : – 末期法 - Amy Chang 建議 – 四期移動平均法 - Bob Gunther 建議. – 四期加權移動平均法 - Carlos Gonzalez 建議. 管理者欲決定 : – 是否能使用穩定模式 – 各種方法所獲得之預測值為何 ? YOHO BRAND YO - YOs 移動平均法 -

17. 16 YOHO BRAND YO YOs- 求解 建構時間序列圖

18. 17 執行線性迴歸在下列模式中 y t =  0 +  1 t+  t 檢定 Ｈ 0 :  1 =0 ( 無線性趨勢存在 ) Excel 結果 0.71601 P-value = 0.71601 > α= 0.05  Do not reject Ｈ 0 也就是說，無線性趨勢存在 結論 : 適用平穩模式. 是否具有趨勢 (Is trend present ） ? 趨勢檢定

19. 18 末期法 (Amy’s Forecast) – 四期移動平均法 (Bob’s forecast) – 四期加權移動平均法 (Carlo’s forecast) 53 = (y 52 + y 51 + y 50 + y 49 ) / 4 = (484+482+393+245) / 4 = 401 boxes. = 484 boxes. 53 = y 52 53 = 0.4y 52 + 0.3y 51 + 0.2y 50 + 0.1y 49 = 0.4(484) + 0.3(482) + 0.2(393) + 0.1(245) = 441.3 boxes. 對第 53 週之預測

20. 19 因時間序列為穩定模型，故第 54,55 週之 預測值與第 53 週相同. 然而這些預測量將由第 53 週之實際需求 量來修正 對第 54,55 週之預測

21. 20 指數平滑法用來預測穩定型模式 所有歷史值將決定預測值. 指數平滑法 The Exponential Smoothing Technique

22. 21 每個期間計算一個代表該期之平滑值 L t. 平滑值 L t 是下列值之加權平均數 – 當期實際值 y t ( 權數  ). – 當期預測值 F t ( 權數 1-  ). L t = F t+1 成為下一期 (t+1) 之預測值 指數平滑法 (p. 496) The Exponential Smoothing Technique

23. 22 ─ 需要起始 ” 預測值 ” Define: F t+1 = 第 t+1 期預測值 y t = 第 t 期實際值  = 平滑常數 (smoothing constant)  指數平滑法 (p. 496) The Exponential Smoothing Technique

24. 23 – Approach 1: 遞迴公式中由 t=3 開始 – Approach 2: 求前 n 期之資料平均值 使用此平均值預測第 n+1 期 開始使用指數平滑法 指數平滑法 – 製造起始預測值 實際值 預測值

25. 24 指數平滑預測技巧 (p. 497) Future Forecasts 指數平滑預測技巧 僅適用時間序列為穩定之模式 若時間序列僅有 N 期資料而已，則 第二期之預測值： 遞迴公式 第 t 期之預測值： F t+1 = α y t + (1 – α )F t, 針對 n+1,n+2,…… 等之預測值 第 n+1 期之預測值： F n+1 = α y n + (1 – α )F n 第 n+2 期之預測值： F n+2 = F n+1 第 n+k 期之預測值： F n+k = F n+1

26. 25 指數平滑預測專家建議  = 0.1. 起始預測值 F 2 = y 1 = 415 ( 共 52 期歷史資料 ) 遞迴公式由第三期開始 F 3 =.1y 2 +.9F 2 =.1(236) +.9(415) = 397.10 F 4 =.1y 3 +.9F 3 =.1(348) +.9(397.10) = 392.19 ……………………………… 直到 (N+1 = 52+1 = 53). F 53 =.1y 52 +.9F 52 =.1(484) +.9(382.32) = 392.49 F 54 = F 55 = 392.49 ( = F 52 ) YOHO BRAND YO - YOs 指數平滑預測技巧

27. 26 YOHO BRAND YO - YOs 指數平滑預測技巧 (Excel) YO - YOs

28. 27 YOHO BRAND YO - YOs 指數平滑預測技巧 (Excel) – 使用適當之平滑常數  依據之歷史資料越多，則較小的  值較為適當 較小的  值造成的預測值曲線較為平滑

29. 28 7.3 評估預測方法的表現 數種預測方法已經被提出 哪種方法可以的到最佳預測 ?

30. 29 通常，評估預測結果好壞之方法如下： – 選擇評估測量值 (evaluation measure) – 以誤差方程式計算評估測量值 – 選擇具有最小評估測量值之預測方法 測量方法 (Performance Measures)

31. 30 Time 1 2 34 5 6 時間序列 : 100 110 90 80105115 3- 期移動平均法 : F t 10093.33 91.6 誤差值 : ∆ t - 2011.67 23.4 3- 期加權移動平均法 (.5,.3,.2) 9889 85.5 誤差值 : ∆ t - 1816 29.5 測量方法 Performance Measures – 範例 計算下列穩定時間序列之預測值 (forecasts) 與誤 差值 (errors)

32. 31   t  2  n MSE = 評估預測誤差的測量方法 (p.501) Performance Measures MAD =  t |  n  MAPE = n   t |  n y t LAD = max |  t | Mean Square Error Mean Absolute Percentage Error Mean Absolute Deviation Largest Absolute Deviation

33. 32 = 361.24 (-20) 2 +(11.67) 2 +(23.4) 2 3 MSE = =   t    n Divide by 3, not by 6 periods. Period 1, 2, 3 do not have a forecast 評估預測誤差的測量方法 – 範例 MSE 之計算 3- 期移動平均法之 MSE 3- 期加權移動平均法之 MSE (-18) 2 + (16) 2 + (29.5) 2 3 MSE = =   t    n = 483.4

34. 33 3- 期移動平均法之 MAD 3- 期加權移動平均法之 MAD = 21.17 = 18.35 |-20| + |11.67| + |23.4| 3 MAD = =   t |  n |-18| + |116| + |29.5| 3 MAD = =   t |  n 評估預測誤差的測量方法 – 範例 MAD 之計算

35. 34 3- 期移動平均法之 MAPE 3- 期加權移動平均法之 MAPE =.211 =. 188 |-20|/80 + |11.67|/105+ |23.4|/115 3 MAPE= =   t |  n |-18|/80 + |16|/105 + |29.5|/115 3 MAPE= =   t |  n 評估預測誤差的測量方法 – 範例 MAPE 之計算

36. 35 3- 期移動平均法之 LAD 3- 期加權移動平均法之 LAD = 23.4 = 29.5 評估預測誤差的測量方法 範例 LAD 之計算 |-20|, |11.67|, |23.4| LAD= max = |  t | max {|-18|, |16|, |29.5|} LAD= max = |  t |

37. 36 評估預測誤差的測量方法 – YOHO YO - YOs ( 末期法 ) =B4 Drag to Cell C56 =E5/B 5 =D5^ 2 =ABS(D5 ) =B5-C5 Highlight Cells D5:G5 and Drag to Cells D55:G55

38. 37 評估預測誤差的測量方法 – YOHO YO - YOs ( 四期移動平均法 ) =AVERAGE(B4:B7) Drag to Cell C56 Highlight Cells D8:G8 and Drag to Cells D55:G55 =E8/B 8 =D8^ 2 =ABS(D8 ) =B8-C8 Forecast begins at period 5. =C56 Drag to C58

39. 38 不同方法有不同之輸入參數 – 移動平均法 : 期數 (n) – 加權移動平均法 : 期數 (n) 權數 (W i ). – 指數平滑法 : 指數平滑常數 (  ) Performance Measures – 選擇模型參數

40. 39 選擇預測方法 Selecting Forecasting Technique 四種評估方法之比較：除了 LAD 值外，指數平滑法 之誤差值都比其他預測方法來的低，故指數平滑法 似乎是最好的 預測方法 MSEMADMAPELAD 末期法 19,631.00110.9632.90359 四期移動平均 法 11,037.1688.7525.61 223.25 四期加權移動 平均法 11,992.3692.3926.78258.4 指數平滑法 10441.8485.1325.42 224.09

41. 40 如果我們懷疑時間序列有趨勢 (Trend) ，我們 應該評估此趨勢為線性或非線性. 我們討論之範圍僅於線性趨勢 y t =  0 +  1 t +  t – 線性迴歸法 –Holt’s 線性指數平滑法 7.4 有線性趨勢的時間序列 Time Series with Linear Trend β 1 為時間序列之斜率 β 0 為 y 截距

42. 41 23 + + + 4 Y3Y3 + + + + + Holt’s 方法 – 圖形展示 + 初始等級 初始趨勢 初始預 測值

43. 42 Holt’s 線性指數平滑法 – 調整每期之等級 Level L t, 與趨勢 Trend T t :    =  平滑常數  針對等級   = 平滑常數  針對趨勢 . L t = 時間  t 之估計值 T t = 時間  t 之趨勢估計值 y t = 時間  t 之觀察值 F t = 到時間  t 為止之 預測值 Holt’s 方法 等級 : 趨勢 : 起始值 :

44. 43 對於未來 k 期之預測方法 – 使用線性迴歸分析 –Holt’s 線性指數平滑法 未來預測方法

45. 44 美國家用品公司 (p. 513) American Family Products Corp. (AFP) (S&P) 為債劵評等公司，正對 AFP 公司進行 債倦評等與修正 S&P 希望以過去十年年終流動資產資料， 來預測 AFP 公司第 11 和 12 年之年終流動資 產.

46. 45 該公司資產以相當比例在成長 Data 年終資產值 Year 目前資產值 11990 (Million) 22280 32328 42635 53249 63310 73256 83533 93826 104119 美國家用品公司 (AFP) (p.513)

47. 46 A linear trend seems to exists AFP – 求解 以線性迴歸方式預測

48. 47 = 1788.2 + 229.89 t 迴歸方程式 The p-value AFP – 求解 以線性迴歸方式預測

49. 48 =$B$31+$B$32*A2 將公式拖曳至 C3:C13 第 11 和 12 年之預 測值 AFP – 求解 以線性迴歸方式預測 = 1788.2 + 229.89 t 迴歸方程式

50. 49 年 目前資產值 11990 22280 32328 42635 53249 ……………………… 計算過程呈現如下：  = 0.1 ，  = 0.2 Year 2: y 2 = 2280 L 2 = 2280.00 T 2 = 2280 - 1990 = 290 F 3 = 2280 + 290 = 2570.00 Year 3:y 3 = 2328 L 3 = (.1)(2328) + (1 - 0.1)(2570.00) = 2545.80 T 3 = (.2)(2545.80-2280)) + (1 - 0.2)(290.00) = 285.16 F 4 = 2545.80 + 285.16 = 2830.96 AFP – 求解 以 Holt’s 法 預測 ( 見 p.513 之遞迴公式 ) L 2 =y 2 T 2 =y 2 -y 1 F 3 =L 2 +T 2 F t+1 =L t +T t

51. 50 AFP – 求解 以 Holt’s 法 預測 (Excel)

52. 51 許多時間序列存在季節性 (Seasonal) 與周期性 (cyclical) 之 變動 季節性與周期性之變動主要由於日期或氣候、經濟因 素因起 考慮兩種模式 ： – 加法模式 (Additive model) y t = T t + C t + S t +  t – 乘法模式 (Multiplicative model) 7.5 具有趨勢、季節性和周期性變動的 時間序列 (p. 519) y t = T t C t S t  t 時間序列值 趨勢因素 週期因素 隨機誤差因素 季節因素

53. 52 典型分解法中，時間序列被分解為數種 成分，包含：趨勢 (trend) 、週期性 (cyclical variation) 與季節性 (seasonality) 典型分解法適用加法模式與乘法模式 所有成份都決定後，時間序列需要重組 藉由： – 相加所有成分 - 加法模式 – 相乘所有成分 - 乘法模式 典型分解法 (Classical Decomposition) (p.521)

54. 53 平滑時間序列去除隨機 性與季節性 計算移動平均 (MA) 與中央移動 平均值 (CMA t ) 決定 ” 期間因素 ” ” period factors ” 以決定季節 / 隨機誤差因素. 計算比值 y t /CMA t. 決定未調整季節性因素 “un adjusted seasonal factors ” 以 去除隨機誤差 典型分解法 – 步驟 (1) (p. 521) 計算相同季節之期間因素的 平均值 (i.e. Average (y t /MA t ).

55. 54 決定調整後季節性因素 “ adjusted seasonal factors”. 計算 : [ 未調整季節因素 ] [ 平均季節因素 ] 決定去季節性後資料值 “ Deseasonalized data values”. 計算 : y t [ 調整後季節性因素 ] 決定去季節性化趨勢預測值 ( trend forecast) 典型分解法 – 步驟 (2) (p.521) 使用線性迴歸分析於去季節 性後時間序列 計算 : (y t /CMa t )  [ 季節性化趨勢預測 值 ]. 決定調整後季節預測值 “ adjusted seasonal forecast ”.

56. 55 CFA 為加拿大教職員協會之協議代理人 該組織成員自過去數年來逐漸成長 為編列 2001 年度預算，需要預測 2001 年這 段期間每季之會員人數 加拿大教職員協會 CANADIAN FACULTY ASSOCIATION (CFA)

57. 56 CFA – 求解過程 1997199819992000 圖形呈現長期趨勢 圖形呈現季節性變動 自 1997~2000 年之會員資料被收集

58. 57 第一個移動平均數之中點為 (1+4)/ 2 = 2.5 前兩個移動平均值的平均數為 [7245.01 + 7380.75]/2 = 7312.875 平滑時間序列以去除隨 機誤差與季節性 計算移動平均值 古典分解法 – step 1: 平滑時間序列去除隨機性與季節性 前 4 期之平均值 = [7130+6940+7354+7556]/4 = 7245.01 第一個移動平均數之中點為 (2+5)/ 2 = 3.5 第 [2, 5] 期 之 平均值 = [6940+7354+7556+7673]/4 = 7380.75 落在中心點 t = 3

59. 58 古典分解法 – step 2 以決定 [ 季節 / 隨機誤差 ] 因素. 決定 ” 期間因素 ” ” period factors ” 以決定 [ 季節 / 隨機 誤差 ] 因素 計算比值 y t /CMA t. CMA t 僅代表 T t C t. 故季節 / 隨機誤差因素可以表 示為 S t  t = y t /T t C t 範例 : 第 3 期中 (1997 第三季 ): 期間因素 = S 7 e 7 = 7354/ 7312.875 = 1.00562

60. 59 由 S t  t 去除隨機誤差部分，故只剩下季節部分之因素 【範例】第三季未調整季節性因素. S 3 = {S 3,97   + S 3,98  3,98 + S 3,99  3,99 } / 3 = {1.0056+1.0024+1.0079} / 3 = 1.0053 古典分解法 – step 3 決定未調整季節性因素 決定未調整季節性因素 “un adjusted seasonal factors ” 以去除隨機誤差 求所有同一季的 y t / MA t 之 平均數

61. 60 無季節因素前題下，每季之季節因素應為 1 ，因此所有 季節因素之總合 =4 ，故需要將未調整之季節因素修正 以維持總合為 4 【範例】平均季節因素 = (1.0149+.9658+1.00533+1.01624)/4=1.000569. 第三季調整後季節性因素 : S 3 / 平均季節因素 = 1.00053/1.000569 = 1.004759. 古典分解法 – step 4 決定調整後季節性因素 決定調整後季節性 因素 計算 : [ 未調整季節因素 ] [ 平均季節因素 ] 調整後季節 性因素

62. 61 古典分解法 –step 5 去季節性後時間序列 去季節性後時間序列 = y t / (Adjusted S) t = T t C t  t 【範例】 1998 年第二季去季節性後資料值 = y 6 /[ Adjusted S 2 ] = 7332 / 0.9652 = 7595.94 決定去季節性後資料值 “Deseasonalized data values”. 計算 : y t [ 調整後季節性因素 ] 調整後季節 性因素

63. 62 季節因素已被去除，資料呈現之結果由趨勢與周期性之因素 古典分解法 –step 5 去季節性後時間序列

64. 63 決定去季節性化趨勢預測值 ( trend forecast) 使用線性迴歸分析於去季節 性後時間序列 古典分解法 - step 6 去季節性化趨勢預測值 ( trend forecast) 趨勢預測值 : T t = 7069.6677 + 78.4046 t  模式非穩定模式 P-value 很小， Reject Ho

65. 64 假設無週期因素， 預測值 F(Q i, t N+k ) = T N+k  (Adjusted S i ) 古典分解法 - step 7 決定調整後季節預測值 ( The forecast) 趨勢預測值 T 17 = 7069.6677 + 78.4046(17) = 8402 預測值 (Q 1, t=17) = (8402)(1.01433) = 8523

66. 65 對於一個具有趨勢與季節性之時間序列 : Y t = T t +S t + R t, 可以用下列模式表示 Y t =  0 +  1 t +  2 S 1 + … +  k S k +  t 加法模式 – 多重迴歸分析 趨勢元素季節性元素 隨機誤差

67. 66 卓依加油站 (p. 525) Troy’s Mobil Station Troy 擁有一個加油站，其汽油銷售量一季 節有明顯之變動. 由於人口值逐漸增加， Troy 認為銷售量由 逐漸增加之趨勢

68. 67 資料 Troy’s 加油站 F W Spg Smr

69. 68 第 1 年 第 2 年 趨勢變數 季節虛擬變數 Fall Winter Spring Not FallNot WinterNot Spring Troy’s 加油站 – 多重迴歸分析之基本資料

70. 69 Troy’s 加油站輸入值 ( 使用 Template)

71. 70 Troy’s 加油站 – 多重迴歸分析 (Excel 摘要輸出 ) Extremely good fit Reject Ho 所有變數與銷 售量有線性相 歸性

72. 71 3610.625 + 58.33125t     -155.00 -322.93 -248.27  -155.00 Troy’s 加油站 – 多重迴歸分析 ( 圖解說明 ) Fall Winter Spring Summer

73. 72 加法模式之預測值 : F t = 3610.625 + 58.33 t – 155 F – 323 W – 248.27 S 第五年之預測值如下 : F(Year 5, Fall) = 3610.625+58.33( 21 ) – 155( 1 ) – 323( 0 ) – 248.27( 0 ) F(Year 5, Winter) = 3610.625+58.33( 22 ) – 155( 0 ) – 323( 1 ) – 248.27( 0 ) F(Year 5, Spring) = 3610.625+58.33( 23 ) – 155( 0 ) – 323( 0 ) – 248.27( 1 ) F(Year 5, Summer) = 3610.625+58.33( 24 ) – 155( 0 ) – 323( 0 ) – 248.27( 0 ) Troy’s 加油站 – 執行預測計算