1. גרף מכוון Directed Graph a b c f g ed h צמתים חוג עצמי קשתות

2. גרף מכוון Directed Graph a b c f g ed h חוג עצמי מעגל מספר הקשתות היוצאות מ - v מספר הקשתות הנכנסות ל - v v מקור צמתים מסלול

3. גרף לא מכוון Graph a b c f g ed h מספר הקשתות של - v צמתים חוג עצמי קשתות

4. a b c f g e d h 0 0000100 00000010 10000000 00001100 00000010 00000001 01100000 00000001 abcdefgh a b c d e f g h יצוג גרף במטריצת סמיכיות Adjacency Matrix סבוכיות מקום

5. a b c f g e d h יצוג גרף ברשימות סמיכיות Adjacency lists a b c d e f g h fe a g f g h bc h סבוכיות מקום

6. רשימות סמיכיות מטריצת סמיכיות סבוכיות מקום חיפוש קשת בדיקת שכנים

7. מיון טופולוגי a b c f g e d h קלט: גרף מכוון פלט: מספור של הצמתים כך שאם y x אזי 4 2 3 1 5 6 7 8

8. משפט: קיים מספור כזה אם"ם אין בגרף מעגל הוכחה: v1v1 v2v2 v3v3 vnvn v1v1 v2v2 v3v3 vnvn מקור באנדוקציה סתירה סמן מקור ב- 1 וסלק אותו ואת כל הקשתות היוצאות ממנו. נניח שקיים מעגל בגרף

9. 1. אתחול : k = 1. 2. כל עוד קיימים מקורות בצע : מצא מקור v תן ל -v מספר k. קדם את k באחד. סלק את v מהגרף ( וכן את הקשתות היוצאות ממנו ). 3. אם k==n+1 אז המספור הושלם, 4. אחרת בגרף יש מעגל מכוון. אלגוריתם למיון טופולוגי

10. a b c f g e d h k = 1 מקור 1

11. a b c f g e d h k = 2 1 2 מקור

12. a b c f g e d h k = 3 מקור 1 2 3

13. a b c f g e d h k = 4 מקור 1 2 3 4

14. a b c f g e d h k = 5 מקור 1 2 3 4 5

15. a b c f g e d h k = 6 מקור 1 2 3 4 5 6

16. a b c f g e d h k = 7 מקור 1 2 3 4 5 6 7

17. a b c f g e d h k = 8 מקור 1 2 3 4 5 6 7 8

18. a b c f g e d h k = 9 1 2 3 4 5 6 7 8

19. 1. אתחול : k = 1. 2. כל עוד קיימים מקורות בצע : מצא מקור v תן ל -v מספר k. קדם את k באחד. סלק את v מהגרף ( וכן את הקשתות היוצאות ממנו ). 3. אם k==n+1 אז המספור הושלם, 4. אחרת בגרף יש מעגל מכוון. אלגוריתם למיון טופולוגי

20. מבנה נתונים לאלגוריתם למיון טופולוגי מצא מקורFind-Source סלק צומתDelete-Vertex האלגורים משתמש n פעמים בפונקציות הנ"ל חסם תחתון טרויאלי האם אפשר לפתור את הבעיה ב- ?

21. רשימות סמיכיות מטריצת סמיכיות מצא מקורסלק צומת ס"כ ל-n פעמים בדוק עמודה שכולה אפס אפס את השורה של הצומת

22. האם אפשר לפתור את הבעיה ב- ? כן!

23. a b c f g e d h a b c d e f g h fe a g g h c f h a b c d e f g h מחסנית\תור in-degree

24. a b c f g e d h a b c d e f g h fe a g g h c f h a b c d e f g h 1 0 1 0 1 2 2 2 מחסנית\תור

25. a b c f g e d h a b c d e f g h fe a g g h c f h a b c d e f g h in-degree 1 0 1 0 1 2 2 2 b d מחסנית\תור

26. a b c f g e d h מקור 1 a b c d e f g h fe a g g h c f h a b c d e f g h in-degree 1 0 1 0 1 2 2 2 b d מחסנית\תור 1

27. a b c f g e d h 1 2 מקור a b c d e f g h fe a g g h c f h d מחסנית\תור a b c d e f g h in-degree 1 0 1 0 1 2 1 2 1 0 e

28. a b c f g e d h מקור 1 2 3 a b c d e f g h in-degree 1 0 1 0 0 1 1 2 e מחסנית\תור a b c d e f g h fe a g g h c f h 0 g 1

29. a b c f g e d h מקור 1 2 3 4 a b c d e f g h in-degree 1 0 1 0 0 1 0 1 g a b c d e f g h fe a g g h c f h מחסנית\תור 0 c

30. a b c f g e d h מקור 1 2 3 4 5 a b c d e f g h in-degree 1 0 0 0 0 1 0 1 c c מחסנית\תור d 2 fe a g g h c f h 0 a 0 f a b c d e f g h

31. a b c f g e d h מקור 1 2 3 4 5 6 a b c d e f g h in-degree 0 0 0 0 0 0 0 1 c a f מחסנית\תור 5 fe a g g h c f h a b c d e f g h

32. a b c f g e d h מקור 1 2 3 4 5 6 7 a b c d e f g h in-degree 0 0 0 0 0 0 0 1 c f מחסנית\תור 55 fe a g g h c f h 0 h a b c d e f g h

33. a b c f g e d h מקור 1 2 3 4 5 6 7 8 a b c d e f g h in-degree 0 0 0 0 0 0 0 1 c 0 h h מחסנית\תור 555 fe a g g h c f h a b c d e f g h

34. a b c f g e d h 1 2 3 4 5 6 7 8 555 fe a g g h c f h a b c d e f g h in-degree 0 0 0 0 0 0 0 1 c 0 h מחסנית\תור a b c d e f g h

35. a b c f g e d h 1 2 3 4 5 6 7 8 555 fe a g g h c f h a b c d e f g h in-degree 0 0 0 0 0 0 0 1 c 0 h מחסנית\תור למצא מקור לתקן דרגה של השכנים להכניס צומת במחסנית ס"כ