1. 使用Bass 擴散模型實現適應性雙向濾波器
實踐大學高雄校區
資訊科技與通訊系
龔志銘

2. 目錄 摘要
雙向濾波器 定義 特質 應用
Bass擴散模型
雙向濾波器與Bass擴散模型結合 結論

3. 摘要 I 數位影像消除雜訊與影像增強是影像處理的重要技術與相當重要的課題
許多影像處理應用需作影像平滑化或消除雜訊，但同時也要能保留影像線條，簡單的影像平滑化處理，例如高斯低通濾波器，通常會造成影像模糊。
在早期提出的有貝氏與其他逼近的演算法來修復被雜訊破壞的影像，近來，有一個被稱為雙邊過濾演算法的方法被提出來，這個方法可以在去除雜訊時保留更多影像細節。
這是利用中心像素與周圍像素的距離差與亮度值差去計算範圍內的加權平均值，然而使用者在運用這個演算法時，必須去自行找尋合適的對應參數，然而如何尋找出合適的參數卻是一大難題。

4. 摘要 II
Bass Diffusion Model主要概念源自於流行病學的「危險函數 (hazard function)」，該函數目的在於分析特定時點前未遭受疾病感染者在當時點遭受感染之機率。
其以創新者與模仿者角度描述外部影響力與內部影響力，恰可與雙向濾波器的距離特性與灰度值差異特性相互呼應，故希望能使用Bass Diffusion Model實現雙向濾波器。
期待這樣的研究能找出一更具彈性與優點之演算法來更有效解決日益複雜而多樣性之問題，以發揮演算法之綜效。
由於各種最佳化演算法所適用的對象與能力均不相同，結合不同的領域演算法的特性與優點，以解決各式各樣的問題，達到加快搜尋參數時間與提高影像品質，並且能適應各種不同的問題，期望藉由這種架構來有效的提昇雙向濾波器的效能，以驗證此架構的可行性，進而能推廣此架構來解決其他問題。

5. 雙向濾波器(Bilateral filter)
一種可平滑影像，同時能保持影像邊緣的影像處理技術。

6. 雙向濾波器特性 雙向濾波器它是一種非線性濾波器 其最初被提出來是為了在影像處理中能有效地將雜訊平滑化且又可以把重要的邊界保留著
主要原理是同時在空間域（Spatial domain）與強度域（Intensity domain）做高斯平滑化（Gaussion smoothing）
雙向濾波器濾除像素點之雜訊係參考該像素點與其鄰近區域內所有像素點之兩項特性分配權重並作加權平均的計算
此兩項特性分別為距離特性及灰階值差異特性
此濾波器即因考慮該兩項特性而被稱之為『雙向』濾波器
雙向濾波器由透過每一個像素的權重並根據相對應的相鄰像素，所以既可以平滑影像亦可以保留影像內容的邊界特性。

7. 雙向濾波器定義 f (x, y)是原來的影像 g(x, y)是處理過後的新平滑影像， (2a +1)× (2b +1)是濾波器的寬度
W(i, j)是濾波器的核心函數
WS是表示在空間域的高斯平滑函數
WI 則是表示在強度域的高斯平滑函數

8. 雙向濾波器特質 雙向濾波器公式簡單： 雙向濾波器三個參數 雙向濾波器可用於非迭代的方式 雙向濾波器廣泛被應用在各項數位處理技術中
每個影像像素被其相鄰像素之加權平均所替換。由於這個重要的觀念，使得雙向濾波器它可以很容易直覺地獲取有關其行為，使得其適應特定的應用需求並且實作它。
雙向濾波器三個參數
影像鄰近像素大小、空間域參數與強度域參數。
雙向濾波器可用於非迭代的方式
參數容易設置，因為其效用不會因反覆迭代而累積。
雙向濾波器廣泛被應用在各項數位處理技術中
一種可平滑影像，同時能保持影像邊緣的影像處理技術。

9. Bass擴散模型 (Bass Diffusion Model)
主要概念源自於流行病學的「危險函數 (hazard function)」，該函數目的在於分析特定時點前未遭受疾病感染者在當時點遭受感染之機率。
行銷學上較早的擴散模型分別是用來描述新產品的滲透與飽和
Fourt and Woodlock 假設擴散過程中，潛在使用者僅受到大眾媒體的影響。
Mansfield 認為潛在使用者僅受到口碑的影響。
Bass 則應用此概念於探討一創新產品市場中在特定時點前未購買該產品之消費者在該時點發生「購買該產品（即採用 (adoption)）」此一事件的條件機率。

10. Bass擴散模型 (Bass Diffusion Model)
大眾媒體：潛在採用者會受大眾媒體的影響，又稱為外部影響（External Influence），而此類的採用者稱為創新者（Innovator）。
口碑：潛在採用者會受到口碑的影響，又稱為內部影響（Internal Influence），而此類的採用者稱為模仿者（Imitator）。
在發展的過程中，他進一步參考Roger （1983）的創新採用者分類：
創新者（Innovators）
早期採用者（Early Adopters）
早期大眾（Early Majority）
晚期大眾（Late Majority）
落後者（Laggards）
將這些潛在採用者分為兩種群體
第一項一樣稱為創新者（Innovators）
其他四項合稱為模仿者（Imitators）。

11. Bass擴散模型 (Bass Diffusion Model)
f (t)為時間密度函數
F(t)為採用者佔全部採用者的比率
q為採用者中受到模仿者的影響
P為不受任何人影響
如果q為零，則f (t)為負指數分配函數
Bass 模式之創新者與模仿者架構

12. 雙向濾波器參數探討
雙向濾波器有三個參數
鄰近區域大小|Nx|
距離特性之高斯分佈函式變異數σs
灰階值差異特性之高斯分佈函式變異數σi

13. 雙向濾波器之參數：鄰近區域大小|Nx|
使用|Nx| =25 獲得較佳地濾除雜訊結果。若參考過多的鄰近點，則會考量到過多參考價值過低的像素點，導致其結果過度模糊畫，且PSNR值亦變差。
|Nx|參數測試(σs =10, σi =10)

14. 雙向濾波器之參數：距離特性參數σs
分別經過σs大小為0.5、1.0 及50 之空間域雙向濾波器處理的結果及其PSNR 值，可觀測出其平滑的效果隨此參數越大而越強。
σs 參數測試(| Nx| =25, σi =10)

15. 雙向濾波器之參數：灰階值差異特性參數σi
σi 參數測試(| Nx| =25, σs =10)

16. Bass擴散模型之創新係數與模仿係數 p為創新係數 q為模仿係數 m為最終市場潛量參數 n(t)為第t時期創新產品之新增用戶數
當時間t=0 時，n(0)=pm為基本的原始接受人數

17. 距離差異特性 空間域之高斯平滑濾波函數權重值決定於距離差異特性與σs ，其數學式如下：
空間域高斯平滑濾波器其權重值與影像本身亮度強度無關，只與該權重值與計算點的距離i, j有關
空間域濾波器使用不同輸入訊號所產生的濾波器

18. 距離差異特性 不同鄰近區域大小對濾波器的影響

19. 距離差異特性 空間域高斯平滑濾波器之鄰近區域大小與MAE 變化量曲線圖
為鄰近區域大小與不同σs 時對影像品質變化量的關係圖，由圖可以觀察到不同的σs的濾波效果所產生之MAE 變化量，均隨著鄰近區域大小
增加而遞減，與創新係數大於模仿係數特性相近，屬於自主性的群體。由於空間域之高斯平滑函數不因周遭鄰近像素與輸入信號影響與Bass 模型中之創新者特性相似，不受內部力影響，故將其對應於Bass 模型中的創新者。

20. 灰階值差異特性 強度域之高斯平滑濾波函數權重值決定於鄰近像素灰階值差異特性與σi ，其數學式如下：
強度域高斯平滑濾波器其權重值與影像本身亮度強度有關
空間域濾波器使用不同輸入訊號所產生的濾波器

21. 灰階值差異特性 不同鄰近區域大小對濾波器的影響

22. 灰階值差異特性 強度域高斯平滑濾波器之鄰近區域大小與MAE 變化量曲線圖
濾波器隨著輸入訊號改變而造成濾波器產生變化，所以強度域高斯函數濾波器易受影像內部訊號影響，屬於依賴性的群體。圖十六為鄰近區域大小與不同σi時對影像品質變化量的關係圖，由圖可以觀察到不同的σi 的濾波效果所產生之MAE 變化量，均隨著鄰近區域大小增加先行增加再逐步遞減與創新係數小於模仿係數特性相近，故將其對應於Bass 模型中的模仿者。

23. 結合Bass模型與雙向濾波器最佳化演算法架構
本計畫提出之結合Bass 模型與雙向濾波器最佳化演算法，係希望結合Bass Diffusion Model 運用Bass Diffusion Model 創新者與模仿者特性與雙向濾波器之距離特性與灰階值差異特性相對應，以快速精確的方式產生雙向濾波系所需要的系統參數，以解決雙向濾波器系統參數選擇困難的問題。

24. Bass Diffusion Model 與雙向濾波器對照表

25. 結論 Bass擴散模型雙向濾波器結合
Bass 擴散模型從新產品的生命週期轉換成雙向濾波器參數的特性關係，來勾勒出特性的關係曲線，預測出不同鄰近區域大小時，分屬於「獨立我」及「互依我」特性對於影像品質關係強度。
Bass 擴散模型將參數分成兩群
自主性的群體(距離差異特性)，
依賴性的群體(灰階值差異特性)；
藉由Bass 擴散模型的架構來轉化成研究的變數。
以濾波器鄰近區域大小為擴散型態
當|Nx|逐漸增加時，空間域高斯平滑濾波器呈現如Bass模型中創新者的曲線，屬於自主性的群體。故以距離特性對應於Bass 模型之創新者。
當|Nx|逐漸增加時，強度域高斯平滑濾波器呈現如Bass模型中模仿者的曲線，屬於依賴性的群體。故以灰度值差異特性對應於Bass 模型之模仿者。