1. 亂數產生器安全性評估 之統計測試
SEC HW7
姓名：翁玉芬
學號：

2. Outline
安全性評估
Chi-Square 測試法
Kolmogorov-Smirnov (KS)測試法

3. 安全性評估 好的亂數產生器 統計測試 線性複雜度(Linear Complexity) 週期長 不可預測性(Unpredictable)
Chi-Square測試法
Kolmogorov-Smirnov (KS)測試法
線性複雜度(Linear Complexity)

4. Chi-Square 測試法 測試是否接近給定之機率分佈函數(pdf) pdf常假設為Uniform Distribution
Y1+Y2+…+Yk = n ，且 p1+p2+…+pk = 1
Yi為i出現之次數
pi為i出現之機率
n為測試之總數
k為所有可能發生事件之個數
為使測試更準確，n值必須足夠大
使npi至少為5
Degrees of Freedom：v = k－1

5. Chi-Square 測試法 (cont.) 依Chi-Square分布表查列為v、行為V，得機率p依規則判斷：
規則：
a. 0  p  0.01 或 0.99  p   “Reject”
b  p  0.05 或 0.95  p   “Suspect”
c  p  0.1 或 0.9  p   “Almost Suspect”
d. 0.1  p  0.2 或 0.8  p   “May Be Random”
e. 0.2  p  0.3 或 0.7  p   “Good”
f. 0.3  p   “Excellent”
Chi-Square 測試最好做三次以上，每次取樣不同，這樣對於亂度的判斷較準確也較有說服力

6. Chi-Square 測試法 (cont.) Ex：同時擲兩顆骰子 總點數(i) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
規則：
a. 0  p  0.01 或 0.99  p   “Reject”
b  p  0.05 或 0.95  p   “Suspect”
c  p  0.1 或 0.9  p   “Almost Suspect”
d. 0.1  p  0.2 或 0.8  p   “May Be Random”
e. 0.2  p  0.3 或 0.7  p   “Good”
f  p   “Excellent”
Chi-Square 測試法　(cont.)
Ex：同時擲兩顆骰子
若共擲144次，將點數出現次數紀錄如下：
無法判斷是否公正，只能說有多少機率被動手腳
根據Chi-Square :
v = k – 1 = 11 – 1 = 10
查表列為v = 10 行為V = 7得機率介於0.7 ~ 0.75
判斷為good
總點數(i) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
機率(Pi)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
點數(i) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
觀察次數(Yi) 22 29 21 15 14
期望次數(npi) 16 20 24

7. Kolmogorov-Smirnov (KS)測試法
Chi-Square 測試法：
應用於觀察之數字為有限種類
整體上(Global)接近給定pdf之接近程度(如上例)
KS 測試法：
種類無限時，如0 ~ 1 之間之時數
區域上(Local)
Chi-Square與KS可能有某些程度上不同
Ex：
整體上接近給定之pdf，所以Chi-Square測試為”Random”，KS為”Reject”
整體上接近給定之pdf，所以Chi-Square測試為”Reject”，KS為”Random”
因為在某個區域上可能出現很大之偏差值
所以應合併使用

8. Kolmogorov-Smirnov (KS)測試法 (cont.)
首先定義F(x) (CDF, Cumulative Distributive Function)
再定義Fn(x) (Empirical Distributive Function)
假設有n個任意數x1, x2,…, xn
KS主要求出Fn(x)間之最大偏差異量，利用偏差量判斷亂度的好壞，因此定義Kn+及Kn-
Kn+表Fn(x)大於F(X)之最大偏差量
Kn-表Fn(x)小於F(X)之最大偏差量
由Kn+及Kn-求出後再經由查表得出機率已確定是否通過KS測試
KS對於某一數字遠超過或不足於預測值時，會明顯地顯示出來

9. 附錄： Chi-Square use in A Million Random Digits Table 2

10. 部分Chi-Square 分佈表
v\Q
1 (-5) (-4) (-4) (-3)
2 (-2) (-2) (-2)
3 (-2)
return 1
return 2