1. 代數概論
劉兆樑

2. 簡介 群(Group)、環(Ring)、和體(Field)是抽象代數或現代代數的基本要素。 代數在近代密碼學上的扮演極為重要的角色。例如:
RSA: 環。
ElGamal: GF(p)。
進階加密標準（AES): GF(28) 。
橢圓曲線密碼學(Elliptic Curve Cryptosystem ECC): EC加法群。

3. 在抽象代數中，我們關心的是哪些集合元素可以進行代數運算，透過這些運算呈現這些集合元素間的特殊結構性。
代數學除了研究這些結構外，更進一步研究這些結構間的相互關係。
因此我們先介紹其中最重要的代數結構群、環、體。

4. 群 「群」（有時表示成{G,‧}）是內含二元運算的元素集合。
對G裡的每組元素(a, b)來說，a‧b = c, c in G (c也是G裡的元素)。
封閉性，這是最基本要求，如果違反則ㄧ切免談
必須遵守：
結合性：(a‧b) ‧c = a‧ (b‧c) 半群
單位元素e ：e‧a = a‧e = a 單群
反元素： a‧a’= e 群
(N, +), (Z, +), (Z, ×), (Q, +), (Q, ×), …
若滿足a‧b = b‧a
即為交換群

5. Examples
{N, +}: 並不是群 ，但是我們卻希望透過某些轉換可以展現出群的特性，這個轉換就是我們所知道的等價關係，透過建立出的等價關係可以將N切割成許多大小相同的等價類(集合)，而這些等價類所形成的集合(集合的集合)可形成群。
例如: 我們利用等價關係mod 6
反身性: a ≡ a mod 6
對稱性: a ≡ b mod 6  b ≡ a mod 6
遞移性: a ≡ b mod 6, b ≡ c mod 6  a ≡ c mod 6
N = N0∪ N1 ∪ N2 ∪ N3 ∪ N4 ∪ N5
N0 = {0, 6, 12, 18, …}
N1 = {1, 7, 13, 19, …}

6. Examples + 1 2 3 4 5 {G, +} = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = Z6 mod 6 封閉性 OK
0 + 0 = 0
1 + 5 = 0
2 + 4 = 0
3 + 3 = 0
4 + 2 = 0
5 + 1 = 0 + 1 2 3 4 5

7. Examples × {G, ×} = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 1 2 3 4 5 mod 6 封閉性 OK 結合性 OK
0 × ? = 1
1 × ? = 1
2 × ? = 1
3 × ? = 1
4 × ? = 1
5 × ? = 1 × 1 2 3 4 5

8. Examples × {G*, ×} = {1, 2, 3, 4, 5} 1 2 3 4 5 mod 6 封閉性 X 結合性 OK
1 × 1 = 1
2 × ? = 1
3 × ? = 1
4 × ? = 1
5 × 5 = 1 × 1 2 3 4 5

9. Examples × {G*, ×} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1 2 3 4 5 6 mod 7 封閉性 OK
1 × 1 = 1
2 × 4 = 1
3 × 5 = 1
4 × 2 = 1
5 × 3 = 1
6 × 6 = 1 × 1 2 3 4 5 6

10. Examples 11 = 1, 12 = 1, … order(1) = 1 21 = 2, 22 = 4, 23 = 1,
24 = 2, 25 = 4, 26 = 1 …
order(2) =3.
31 = 3, 32 = 2, 33 = 6, 34 = 4, 35 = 5, 36 = 1,
37 = 3, 38 = 2, 39 = 6, 310 = 4, 311 = 5, 312 = 1 …
order(3) = 6.
41 = 4, 42 = 2, 43 = 1,
44 = 2, 45 = 4, 46 = 1 …
order(4) =3.

11. Examples
51 = 5, 52 = 4, 53 = 6, 54 = 2, 55 = 3, 56 = 1,
57 = 5, 58 = 4, 59 = 6, 510 = 2,511 =3,512 =1 … order(5) = 6.
61 = 6, 62 = 1, = 6, 64 = 1, order(6) =2.
order = 6 =φ(7) 所有元素個數)者稱為原根。上例中生成子有3與5兩個
2 = φ(φ(7) )
Note: 知道一個原根則可找出所有的原根，例如上題知道3為原根則35 = 5亦為原根。即取與φ(7)互質之整數次方。(1, 5)

12. 循環群 將群的重複運算定義為群的指數運算： a3 = a.a.a 此外也定義：e=a0
假如G裡的每個元素都是固定元素的指數，G就是循環群，此固定元素又稱為生成子。
(Z, +)生成子為?
循環群必為交換群，而且可能是有限群或無限群

13. 環 一群內含兩個二元運算（加法和乘法）的數值 加法交換群，並滿足： 若滿足乘法交換性，即為交換環 整數域 體: 乘法反元素，乘法交換性。
乘法封閉性
乘法結合性
分配律：a(b+c) = ab + ac
若滿足乘法交換性，即為交換環
整數域
乘法單位元素(1, 加法單位元0)
0不可為除數 (不具有零除元，亦即a×b=0但是a≠0, b ≠0)
體: 乘法反元素，乘法交換性。
乘法半群

14. 體 「體」（有時表示成{F, ＋, ×}）是具有兩個二元運算的元素集合 「體」是可以計算加法、減法、乘法、除法的集合
除法規則的定義是a/b = a( b-1)
「體」常見的例子包括了有理數、實數、複數

15. 群、環、體

16. 有限體 有限體在加解密演算法中扮演關鍵的角色 有限體的元素個數必須是質數的乘冪，也就是pn（n為正整數）
級數Pn的有限體通常以GF(Pn)表示
經常使用：
GF(p), GF(pn)
GF(2n)

17. GF(p) 對質數p而言，級數p的有限體GF(p)定義成整數集合Zp {0, 1, …, p-1}，以及算術運算模數p
因為w 與p 互質，所以若將Zp的所有元素乘上w ，產生的餘數將會是所有Zp元素的重排，因此其中某個餘數必為1
Zp 裡的某些整數乘上w 之後的餘數為1。這種整數是w 的乘法反元素，稱為w-1，因此Zp 實際上就是有限體

18. 同餘運算 若a 為整數、n 為正整數 將a mod n 的值定義為a 除n 的餘數 整數n稱為模數
若（a mod n ) =( b mod n )
整數a、b是n的同餘
寫成a ≡ b (mod n)
b是a mod n的餘數

19. 因數 若b ≠ 0而a 、b 、m 皆為整數，且某個數值m能讓 a = mb 例如1,2,3,4,6,8,12,24都可以整除24
通常以b｜a表示b 能整除a
而b也就是a的因數
例如1,2,3,4,6,8,12,24都可以整除24

20. 模數算術 若n｜(a - b)，a ≡ b (mod n) 若a ≡ b (mod n)，b ≡a (mod n)
若a ≡ b (mod n)且b ≡ c (mod n)，a ≡ c (mod n)

21. 模數算術 Zn是小於n的非負整數集合： Zn = {0, 1, … , n-1}
一般運算所沒有的兩項特性：
若(a+b) = (a+c) mod n，則b = c mod n (b未必=c)
若a, n互質，且(a×b)=(a×c) mod n，則b = c mod n

22. 6×3 mod 8
6×7 mod 8

23. 模8下的模數加法運算 + 1 2 3 4 5 6 7

24. 最大公因數（GCD） 數論的共同問題 若a、b、m為整數，對m來說，如果a = mb，若b≠0 則b就是a的因數
GCD(a, b)爲a和b的最大公因數；正整數c若符合以下兩點，就是a、b的最大公因數：
c是a、b的因數
a、b的任何因數也是c的因數
例如GCD(60,24) = 12
若兩整數a、b只有正公因數1，則a、b互質
以等式表示即為 GCD(a, b) = 1
例如 GCD(8,15) = 1（8、15互質）

25. 歐幾里德演算法 找出最大公因數的有效方法 對任何非負整數a和任何正整數b而言： 歐幾里德演算法計算最大公因數的方式：
GCD(a, b) = GCD(b, a mod b)
歐幾里德演算法計算最大公因數的方式：
EUCLID(a,b)
1. A = a; B = b
2. if B = 0 return A = gcd(a, b)
3. R = A mod B
4. A = B
5. B = R
6. goto 2

26. 範例：GCD(1970,1066)
1970 = 1 x gcd(1066, 904)
1066 = 1 x gcd(904, 162)
904 = 5 x gcd(162, 94)
162 = 1 x gcd(94, 68)
94 = 1 x gcd(68, 26)
68 = 2 x gcd(26, 16)
26 = 1 x gcd(16, 10)
16 = 1 x gcd(10, 6)
10 = 1 x gcd(6, 4)
6 = 1 x gcd(4, 2)
4 = 2 x gcd(2, 0)

27. GF(7) 乘法範例  1 2 3 4 5 6

28. 找出乘法反元素 EXTENDED EUCLID(m, b) 1. (A1, A2, A3)=(1, 0, m);
(B1, B2, B3)=(0, 1, b)
2. if B3 = 0
return A3 = gcd(m, b); no inverse
3. if B3 = 1
return B3 = gcd(m, b); B2 = b–1 mod m
4. Q = A3 div B3
5. (T1, T2, T3)=(A1 – Q B1, A2 – Q B2, A3 – Q B3)
6. (A1, A2, A3)=(B1, B2, B3)
7. (B1, B2, B3)=(T1, T2, T3)
8. goto 2

29. GF(1759)裡的550乘法反元素 Q A1 A2 A3 B1 B2 B3 — 1 1759 550 3 –3 109 5 –5 16
1759
550 3 –3
109 5 –5 16 21
106
–339 4
–111
355
5. (T1, T2, T3) = (A1 – Q B1, A2 – Q B2, A3 – Q B3)
6. (A1, A2, A3) = (B1, B2, B3)
7. (B1, B2, B3) = (T1, T2, T3)

30. 多項式運算 n 階多項式（polynomial）可表示為（整數n ≧ 0）： 多項式運算分成三種不同類型：
f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = ∑ aixi
多項式運算分成三種不同類型：
使用代數基本規則的一般多項式運算
將係數取p 同餘的多項式運算
係數是在GF(p)裡、而且定義成多項式m(x)同餘的多項式運算（m(x)的最高次方為整數n）

31. 一般多項式運算 這類多項式是以係數集合定義 多項式的加法和減法是以係數處理
例如 f(x) = x3 + x2 + 2且 g(x) = x2 – x + 1，那麼：
f(x) + g(x) = x3 + 2x2 – x + 3
f(x) – g(x) = x3 + x + 1
f(x) x g(x) = x5 + 3x2 – 2x + 2

32. 係數在Zp的多項式運算 係數可以是「體」F的元素 這種情況的多項式所形成的集合會是環，因此稱為多項式環 大多對 mod 2 最感興趣
也就是所有係數皆為0或1
例如 f(x) = x3 + x2 且 g(x) = x2 + x + 1，那麼：
f(x) + g(x) = x3 + x + 1
f(x) x g(x) = x5 + x2

33. 多項式除法 任何多項數可寫成： 如果沒有餘數 如果g(x)沒有1和本身以外的因數，稱為不可分解或質式
f(x) = q(x) g(x) + r(x)
可解釋 r(x) 是為餘數
r(x) = f(x) mod g(x)
如果沒有餘數
就表示g( x）整除f( x )
可以表示成g( x ) / f( x )
如果g(x)沒有1和本身以外的因數，稱為不可分解或質式

34. 找出最大公因數 可以改寫歐幾里德演算法來計算： 找出多項式的最大公因數c(x) = GCD(a(x), b(x))
c( x )能整除a( x )和b( x )
a( x )和b( x )的任何因數也是c( x )的因數
可以改寫歐幾里德演算法來計算：
EUCLID[a(x), b(x)]
1. A(x) = a(x); B(x) = b(x)
2. if B(x) = 0 return A(x) = gcd[a(x), b(x)]
3. R(x) = A(x) mod B(x)
4. A(x) ¨ B(x)
5. B(x) ¨ R(x)
6. goto 2

35. 範例 GF(23)

36. 範例 GF(23)的 (x2+1) 是 1012，(x2+x+1) 是 1112 加法運算 乘法運算 (get q(x) & r(x))
(x2+1) + (x2+x+1) = x
101 XOR 111 = 0102
乘法運算
(x+1).(x2+1) = x.(x2+1) + 1.(x2+1)
= x3+x+x2+1 = x3+x2+x+1
= (101)<<1 XOR (101)<<0 =
1010 XOR 101 = 11112
(get q(x) & r(x))
(x3+x2+x+1 ) mod (x3+x+1) = 1.(x3+x+1) + (x2) = x2
1111 mod 1011 = 1111 XOR 1011 = 01002

37. 使用產生器 利用相同的不可分解多項式，也能定義GF(2n)有限體
級數為q的有限體F產生器g是一個元素，這個元素的第一個q – 1次方能產生F所有非零元素
也就是說，這個F的元素是由0, g0, g1, …, gq-2組成
如果f(b) = 0，F裡的元素b就稱為根
不可分解多項式的根g，就是定義在此多項式的有限體的產生器

38. 總結
群、環、體
整數模數算術
歐幾里德演算法
GF(p)有限體
GF(2n)多項式運算