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第二十三讲 7.3 利用频率采样法设计 FIR 滤波器
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回顾窗函数设计法: 得到的启发:能否在频域逼近? 用什么方法逼近? 通过加窗实 现时域逼近
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7.3 利用频率采样法设计 FIR 滤波器 设计思路 对理想频率响应等间隔抽样 作为实际 FIR 数字滤波器的频率特性的抽样值 ( 频域逼近 ) 用内插恢复公 式建立联系 用 IDFT 实现 抽样
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复习内插公式: 内插函数 重构公式
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1 、用频率采样法设计 线性相位滤波器的条件 为什么要讨论这个问题 ? 在时域逼近采用截断(加窗)、延时(附加 线性相位 )保证了: 如果要求由频率采样信号 H(K) 恢复的系统频响 满足线性相位, H(K) 应满足什么条件 ?
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2. 幅度函数: 1. 冲激响应 h(n) 偶对称 3. 相位函数: 复习:第一类线性相位约束条件 我们要讨论的问 题是如果对 w 抽样, 仍保证线性相位 时,对 H(k) 有什 么约束?
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以第一类线性相位即 h(n) 偶对称为例: 幅度函数: 相位函数: 若在 0~2π 进行频域 N 点采样则有 : N 为奇数 N 为偶数 线性 相位 条件
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对第一类线性相位进行频率抽样的分析: h(n) 为实数序列时, H(k) 圆周共轭对称 即: 对称中心: 幅度函数: 的进一步说明 注意与 h(n) 对 称中心的区别
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当 N 为奇数时: 当 N 为偶数时: 线性相位: 的频率抽样表示
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当 N 为奇数时: 当 N 为偶数时:
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由抽样点重构的频率响应: 当 N 为奇数时: 当 N 为偶数时: 可利用的 重要公式 利用 N 个频域采样值重构 FIR 的系统函数与频响, 利用对称性化简.
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2 、频率抽样点的分布
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设用理想低通作为希望设计的滤波器,截止 频率为 ω c ,采样点数 N , H g (k) 和 θ(k) 用下面公式计 算: N= 奇数时, (7.3.12) N/2 N 0
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N= 偶数时, (7.3.13) 0 N N/2
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3. 逼近误差及其改进措施 如果待设计的滤波器为 H d (ejω), 对应的单 位取样响应为 h d (n) , 则由频率域采样定理知道,在频域 0~2π 之 间等间隔采样 N 点,利用 IDFT 得到的 h(n) 应是 h d (n) 以 N 为周期,周期性延拓乘以 R N (ω) ,即
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由采样定理表明,频率域等间隔采样 H(k) , 经过 IDFT 得到 h(n) ,其 Z 变换 H(z) 和 H(k) 的关系 为
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抽样点上,频率响应严格相等 抽样点之间,加权内插函数的延伸叠加 变化越平缓,内插越接近理想值,逼近误差较小 用频域抽样 H(K) 逼近理想频响的特点
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增加过渡带抽样点,可加大阻带衰减 4 、过渡带抽样的优化设计 不加过渡抽样点: 加一点: 加两点: 加三点:
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增加过渡带抽样点,可加大阻带衰减,但导致 过渡带变宽 增加 N ,使抽样点变密,减小过渡带宽度,但 增加了计算量 优点:频域直接设计 缺点:抽样频率只能是 或 的整数倍, 截止频率 不能任意取值
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例:利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想 低通滤波器,截止频率为 0.5π ,抽样点数为 N=33 , 要求滤波器具有线性相位。 解: 按第一种频率抽样方式, N=33 ,得抽样点
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由于 h(n) 为偶对称,且 N=33 为奇数,所以 对于 是偶对称。所以上图可画一半(到 ) 截止频率 ,即
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得线性相位 FIR 滤波器的频率响应: 过渡带宽: 阻带衰减: -20dB
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增加一点过渡带抽样点 令 H(9)=0.5 过渡带宽: 阻带衰减: -40dB
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增加两点过渡带抽样点 且增加抽样点数为 N=65 令 H(17)=0.5886 H(18)=0.1065 过渡带宽: 阻带衰减: -60dB
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7.5 IIR 和 FIR 数字滤波器的比较 IIR 滤波器 FIR 滤波器 h(n) 无限长 h(n) 有限长 极点位于 z 平面任意位置 滤波器阶次低 非线性相位 递归结构 不能用 FFT 计算 可用模拟滤波器设计 用于设计规格化的选频 滤波器 极点固定在原点 滤波器阶次高得多 可严格的线性相位 一般采用非递归结构 可用 FFT 计算 设计借助于计算机 可设计各种幅频特性和 相频特性的滤波器
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第七章习题讲解
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解:线性相位理想低通滤波器 1 .用矩形窗设计一个 FIR 线性相位低通数字滤波器。 已知 , 。求出 并画出 曲线。 其单位抽样响应:
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其中 用矩形窗截断得 FIR 滤波器: 其中是窗函数。
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低通滤波器的幅频响应曲线:
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则 FIR 滤波器的频率响应: 2 .试用频率抽样法设计一个 FIR 线性相位数字低 通滤波器,已知 。, 解:根据题意有 按第一种频率抽样,得
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是偶对称序列 3 .已知 , 圆周移位(移位) 后的序列。设 成立否?与 有 (1)问(1)问 什么关系? (2)(2) , 各构成一个低通滤波器,试问它 们是否是线性相位的?延时是多少?
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解:( 1 )根据题意可知 则 由上式可以看出
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(2)(2) 各构成低通滤波器时, , 由于都满足偶对称,因此都是线性相位的。 延时为
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4 .请选择合适的窗函数及 N 来设计一个线性相位 低通滤波器 要求其最小阻带减为- 45dB ,过渡带宽为 求出 并画出曲线(设)
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解:根据低通滤波器的最小阻减为- 45dB ,查表, 应选择海明窗: 得 过渡带宽应满足: 又求得理想低通滤波器的单位抽样响应为: 其中:
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线性相位 FIR 低通滤波器:
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用海明窗设计得到 FIR 滤波器的幅频响应:
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