1. Chapter 7 Inference for Distributions 7.1 Inference for the Mean of a Population 7.2 Comparing Two Means 7.3 Inference for Population Spread

2. Section 7.1 Inference for the Mean of a Population 單一母體均數的檢定

3. 均數推論的假設 母體中選出的一組隨機樣本 (SRS) ，樣 本數為  n 該母體為常態母體，期望值為  標準 差為  。一般應用上，  與  都是未知 – 實用上，只要樣本數夠多，資料分配呈對 稱且單峰即可

4. 樣本均數的分配 資料選自常態母體的假設下，隨機樣 本的均數 服從常態 N( ,  2  n ) – 標準差  未知，以樣本標準差 s  估計之 以 標準化後服從標準常態 以 標準化後則服從 t 分配

5. 標準誤差 (standard error) 的標準差估計值 又稱為 的標 準誤差 (standard error of mean, 簡記為 SEM) When the standard deviation of a statistic is estimated from the data, the result is called the standard error of the statistic.

6. t 統計量與 t 分配 常態母體 N( ,  2 ) ，抽出隨機樣本，樣本數 為 n 定義單樣本 t 統計量 (one-sample t statistic) 為 則 t 統計量服從自由度為 n-1 的 t 分配 – 以 t(k) 或 t k 表示自由度為 k 的 t 分配 –t 分配的自由度來自於樣本標準差 s 之自由度

7. 常態分配與 t 分配圖形 0 標準常態分配 t 分配自由度 9 t 分配自由度 2

8. 常態與 t 分配圖形特性比較 t 分配圖形與常態分配圖形相似 – 都具有對稱於零、單峰及鐘形的特性 t 分配圖形的散佈 (spread) 比常態分配圖 形大， t 分配圖形的尾端具有較大的機 率 – 以 替代 來標準化，使得 t 分配有 較大的變異性。 t 分配自由度越大圖形與越接近常態。 – 樣本數越大 s 估計  越準，估計值造成的 額外變異性越少。

9. 單母體均數的 t 信賴區間 由未知均數  的母體，選出一組隨機樣 本，樣本數為  n 。  的 C 水準信賴區間為 其中 t * 為 t n-1 分配之上 (1  C)/2 臨界點。 – 常態母體時信賴區間具有正確  exact) 水準， 非常態母體時樣本數大時為近似 (approximate) 水準。

10. 單母體均數的 t 檢定 由未知均數  的母體，選出一組隨機樣 本，樣本數為  n 。  H 0 ：  =  0 的標準化 檢定統計量為 令 T 服從 t n-1 分配則各對立假說之 P- 值為 –H a ：  >  0 之 P- 值為 。 –H a ：  <  0 之 P- 值為 。 –H a ：   0 之 P- 值為 – 常態母體時信賴區間具有正確水準，非常 態母體樣本數大時為近似水準。

12. 例題 7.1 蟑螂新陳代謝研究 5 隻蟑螂餵食葡萄糖 10 小時後，尾腸葡 萄糖含量為 ( 毫克 ) –55.95 68.24 52.73 21.50 23.78 – = 44.44, s = 20.741 –95% 信賴水準之 t n-1 臨界值為 t * = 2.776 95% 信賴區間為 = (18.69, 70.19)

14. 例題 7.2 可樂甜度 例 6.8 續： 10 位品嚐員對健怡可樂甜度衰 減評分樣本為： –2.0 0.4 0.7 2.0 -0.4 2.2 -1.3 1.2 1.1 2.3 – 檢定 H 0 ：  = 0 vs. H a ：  > 0 – = 1.02, s = 1.196 –t 值為 P- 值 = 0.0122 。 –df = 9 之 P- 值表

15. t 檢定 P- 值實例圖示 t = 2.70 P- 值 = 0.0122 t 分配自由度 9

16. 單一樣本 t 程序應用的注意事項 理論上，資料必須是來自常態母體的 SRS 樣本 樣本數不大時，除了由過去經驗研判之 外，也可消極的以 “ 不過分違背常態法則 即可接受 ” 為原則 Fortunately, confidence levels and P- values from t procedures are not very sensitive to lack of normality. 例 7.1 及 7.2 資料之莖葉圖。

17. Stem-and-leaf of t71 N = 5 Leaf Unit = 1.0 2 2 24 2 3 2 4 (2) 5 36 1 6 8 Stem-and-leaf of t72 N = 10 Leaf Unit = 0.10 1 -1 3 2 -0 4 4 0 47 (2) 1 12 4 2 0023

18. 配對資料之 t 程序 配對資料設計 (matched pairs design) ： – 每成對實驗對象分別接受處理後再觀察 –Or 每一實驗對象接受處理前後分別觀察 配對資料之 t 程序 – 以單一樣本 t 程序方法應用在配對觀察值差。

19. 例題 7.3 花香味是否有助學習 配帶面罩含花香味與否對走迷宮所用時 間之影響研究 –21 位受測者分別配帶不含及含花香味面罩， 隨機決定先或後之配帶順序，再量走迷宮 所用時間。記錄兩者所用時間及時間差 假設  為時間差 (“ 不含 ” 減 “ 含 ”) 之期望值。 欲研究花香味是否真的有助學習，則 檢定假說  H 0 ：  =  vs. H a ：  > 0

20. 花香味是否有助學習 ( 續 ) 時間差樣本資料為 s =12.5479 檢定 t- 統計量為 P- 值大於 0.25 ( 表 C, df = 20) 軟體計算得 P- 值為 0.3652 。

21. t 程序之穩健性 (Robustness) 穩健程序 (robust procedures) ：若信賴區間 之水準或顯著檢定之 P- 值，不會受假設 條件不符合而影響太大時，則稱該程序 具有穩健性。 若樣本資料沒有離群值時，常態的假設 條件不會對 t 程序影響太大，因此 t 程序 對常態條件具有穩健性。

22. 例題 7.4 離群值效應 例題 7.1 的資料改為： –55.95 68.24 52.73 41.50 43.78 ( 各增加 20) – 則 由 44.44 變為 52.44 ， –s 由 20.741 變為 10.69 –95% 信賴水準之 t n-1 臨界值仍為 t * = 2.776 95% 信賴區間長度減半為 =52.44  14.8377= (37.60, 67.28)

23. t 程序之適用情形 除了小樣本之外，隨機樣本的假設比常 態的假設重要 樣本數小於 15 時，資料有離群值或明顯 的非常態時不要使用 t 程序 樣本數大於 15 時，除了資料有離群值或 強烈偏斜時不要之外，都可使用 t 程序 樣本數很大 (n ≧ 40) 時，即使強烈偏斜時 也可使用 t 程序

24. t 程序之適用實例 Figure 7.6a 美國各州 65 歲人口比例資料 為整個母體，而非樣本，故不適合使用 t 程序。

25. t 程序之適用實例 ( 續 ) Figure 7.6b 科羅拉多州閃電擊中的時間 資料具對稱性，樣本數有 70 ，適合使用 t 程序。

26. t 程序之適用實例 ( 續二 ) Figure 7.6c 莎士比亞劇中字長度分配之 資料為右傾資料，但樣本數很大足以克 服資料右傾的影響，可使用 t 程序。