1. 第 5 章 几何变换 二维几何变换 三维几何变换

2. 二维几何变换 基本变换 矩阵表示和齐次坐标 复合变换 其它变换 坐标系间的变换 仿射变换 变换的光栅方法

3. 基本变换 平移 – 将物体沿直线路径从一个坐标位置到另一个 坐标位置的重定位 – 平移是不产生变形而移动物体的刚体变换 旋转 – 将物体沿 xy 平面内的圆弧路径重定位 缩放 – 缩放变换改变物体的尺寸

4. 矩阵表示 平移 x ’ x d x y ’ y d y   P (x,y) P ’ (x ’,y ’ ) (d x,d y )

5.  XYXY 旋转 cosα –sinα sinα cos  P (x,y) P ’ (x ’,y ’ ) r r X ’ =rcos(a+  ) =r(cosa cos  - sina sin  )=Xcosa - Ysina Y ’ =rsin(a+  ) =r(sina cos  + cosa sin  )=Xsina + Ycona  a 二维旋转 X´ Y´

6.  XYXY 缩放 x ’ s x 0 y ’ 0 s y P (x,y) P ’ (x ’,y ’ ) 二维缩放 以原点为基准点的缩放

7. 矩阵表示和齐次坐标 平移 P’=T ( d x, d y ) P 旋转 P’=R(α) P 缩放 P’=S （ S x ， S y ） P 逆变换 X’Y’1X’Y’1 = XY1XY1 1 0 d x 0 1 d y 0 0 1 cosa -sina 0 sina cosa 0 0 0 1 X’Y’1X’Y’1 = XY1XY1 X’Y’1X’Y’1 = Sx 0 0 0 Sy 0 0 0 1 XY1XY1 齐次坐标表示： (X,Y) (X h,Y h,h) (hX,hY,h) (X,Y,1)

8. 复合变换 设连续两次的变换, 变换矩阵为 M 1,M 2 则复合变换矩阵 M=M 2 M 1,P’= M 2 M 1 P; P’= M P 连续两次平移 连续两次缩放 连续两次旋转 绕任意选择的基准点 (x,y) 的旋转 通用固定点缩放 通用定向缩放 复杂任意变换

9.   t x1,ty 1 )  tx,ty)  tx 2,ty 2 ) 连续两次平移 X’Y’1X’Y’1  XY1XY1 1 0 tx 2 0 1 ty 2 0 0 1 1 0 tx 1 0 1 ty 1 0 0 1 1 0 tx 1 +tx 2 0 1 ty 1 +ty 2 0 0 1  XY1XY1 tx=tx 2 +tx 1 ty=ty 2 +ty 1

10. 连续两次缩放 1 2 4 s x = sx 1.sx 2 s y = sy 1.sy 2 X’Y’1X’Y’1  sx 2 0 0 0 sy 2 0 0 0 1 XY1XY1 sx 1 0 0 0 sy 1 0 0 0 1  XY1XY1 sx 1.sx 2 0 0 0 sy 1.sy 2 0 0 0 1 sx 1 =sx 2 =2

11. 连续两次旋转 cosa 2 -sina 2 0 sina 2 cosa 2 0 0 0 1 cosa 1 -sina 1 0 sina 1 cosa 1 0 0 0 1 cos(a 1 +a 2 ) -sin(a 1 +a 2 ) 0 sin(a 1 +a 2 ) cos(a 1 +a 2 ) 0 0 0 1 =   R( α 2 ) R  α 1   R( α 1  α 2   P’=R  α   α   P

12. 绕任意选择的基准点 (x,y) 的旋转： 平移物体使基准点位置被移动到坐标原点 绕坐标原点旋转 平移物体使基准点回到其原始位置

13. – 平移物体使固定点与坐标原点重合 – 对于坐标原点缩放 – 用步骤 1 的反向平移将物体移回原始位置 通用固定点缩放    

14. 通用定向缩放 – 沿 s 1 方向缩放 – 步骤：旋转，缩放，平移 s1s1 s2s2

15. 复杂任意变换 若干次简单变换合成一次复杂变换 一次复杂变换往往可以分解成若干 次简单变换的有序组合

16. 通用复合变换和计算效率 P ’ =M 3 M 2 M 1 P 每点 12 次乘法,12 次加法 M=M 3 M 2 M 1 24 次乘法,16 次加法 P ’ =MP 每点 4 次乘法,4 次加法 X’Y’1X’Y’1  rs xx rs xy trs x rs yx rs yy trs y 0 0 1 XY1XY1

17. 其它变换 反射 – 反射是产生物体的镜像的一种变换 – 任意直线反射 – 任意点反射          Y 轴反射 X 轴反射 原点反射

18. 错切 – 错切是一种会使物体形状发生变化的变换  sh x      sh y    sh x 0 sh y    x ’ =x+ sh x  y y ’ =y y ’ =y+sh y x x ’ =x x ’ =x+ sh x  y y ’ =y+sh y x x x’ y y’

21. 仿射变换 形式为 x′=a xx x + a xy y + b x y′=a yx x + a yy y + b y 的坐标变换称为二维仿射变换。 平行线转换成平行线, 有限点转换成有限点 平移、旋转、缩放、反射和错切是二维仿射变 换的特例 任何常用的二维仿射变换总可以表示为这五种 变换的组合

22. 几何变换的光栅方法 光栅操作 – 操纵长方形象素数组的光栅功能 象素值的块移动 (bitBlt) – 将一块象素从一个位置移到另一位置

23. 典型光栅功能： –copy 将象素块从一个光栅区域移到另一区域 ； –read 将一个象素块存入设定的数组中 ； –write 将象素数组传送到帧缓冲器中的某位置 。 组合象素值的方法 –replace 模式 – 布尔操作 ( 与、或和异或 ) – 二进制运算操作 90 度倍数的旋转 : 旋转像素值阵列 非 90 度倍数的旋转 计算平均复盖象素 象素块的缩放

24. 三维空间的几何变换

25. 1. 三维平移、缩放和旋转 平移 缩放 x’ y’ z’ 1 xyz1xyz1 = P’=TP x’ y’ z’ 1 s x 0 0 0 0 s y 0 0 0 0 s z 0 0 0 0 1 xyz1xyz1 = P’=SP 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1

28. 一般比例变换 以任意点（ x f,y f,z f ) 为中心的缩放 ①将该点平移到原点 T= ②缩放 ( 以原点为中心 ) S= ③平移回原处 T -1 T -1 S T= 1 0 0 -x f 0 1 0 - y f 0 0 1 - z f 0 0 0 1 s x 0 0 0 0 s y 0 0 0 0 s z 0 0 0 0 1 S x 0 0 (1-S x ) x f 0 S y 0 (1-S y ) y f 0 0 S z (1-S z ) z f 0 0 0 1

29. 三维旋转 旋转的正方向 复合矩阵 M = T -1 ST =

30. x’ y’ z’ 1 cos  0  sin  0 0 1 0 0 -sin  0  cos  0 0 0 0 1 xyz1xyz1 = P’=R y P x’ y’ z’ 1 1 0 0 0 0 cos  sin  0 0 sin  cos  0 0 0 0 1 xyz1xyz1 = P’=R x P 绕 Y 轴旋转 绕 X 轴旋转 x’ y’ z’ 1 cos  sin  0 0 sin  cos  0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 xyz1xyz1 = P’=R z P 绕 Z 轴旋转

31. 一般三维旋转 绕任意轴旋转  角 ① 平移使旋转轴过原点 T ② 绕 X 轴旋转使旋转轴落到 XZ 平面 R x ③ 绕 Y 轴旋转使旋转轴与 Z 轴重合 R y ④ 绕 Z 轴旋转指定角  (R z (  )) ⑤ R y -1 ⑥ R x -1 ⑦ T -1 M=T -1. R x -1. R y -1. R z (  ). R y. R x. T

33. 旋转轴 轴单位矢量 平移 T= 旋转任意轴与 Z 轴重合 1 。绕 X 轴转 α 角，至 u ” 2 。绕 Y 轴转 β 角，至 z 轴 1 0 0 -x f 0 1 0 -y f 0 0 1 -z f 0 0 0 1  

34. u’=(0,b,c) u z =(0,0,1)

35. u”=(a,0,d)

36. 旋转（正交矩阵） 设 R=R y (β) R x (α) R= 若定义任何坐标轴的矢量 u 作为旋转轴，建立 u x ’ u y ‘ u z ‘ 坐标系 并令 u z ’ =u, (a,b,c ） u x 与 u 垂直，大小为 a R 11 R 12 R 13 0 R 21 R 22 R 23 0 R 31 R 32 R 33 0 0 0 0 1

37. u×u x =(0,ac,-ab) | u×u x |=ad u y ’ =(0, c/d, -b/d) u x ’= u y ’ × u z ’ =(d, -ab/d, -ac/d) 代入 R R= d –ab/d -ac/d 0 0 c/d -b/d 0 a b c 0 0 0 0 1

38. 其它变换 反射 – 点反射 ( 原点 )( 非原点 ) – 轴反射 绕轴转 180° – 平面反射 坐标平面，非坐标平面 错切 –Z 轴错切 – 改变 X 、 Y 坐标 x ’ =x+az y ’ =y+bz –Z 坐标保持不变 1 0 a 0 0 1 b 0 0 0 1 0 0 0 0 1 SH z =

39. 建模变换与坐标系变换 建模坐标系统 轮子建模 拖拉机建模 公路建模 坐标系 坐标系 坐标系 局部变换与全局变换

40. 研究生高级计算机图形学课题设计 1. 写一篇三维造型方面的论文，要求不少于 3000 字，独立完成。内容可以是以下几方面： 2. 绘制一个具有真实感的三维场景，其中至少含 有 2 个三维物体。可以使用 OpenGL 或其他函数 库，要求独立完成从建模、坐标变换到消隐算 法、光照模型、面绘制算法、纹理映射的全部 过程。 3. 计算机图形学理论或算法的研究。如：曲线、 曲面拟合算法；并行面绘制算法；特定物体表 面的纹理映射算法。 4. 分形几何造型的研究。如：分形树、分形山、 树木、花草、云、瀑布等。 5. 科学计算的可视化。可将计算数据、物理、化 学现象或其他自然现象的观察数据进行三维空 间的可视化。 6.CAD 或其他应用研究。 7. 图形、图像、动画方面的研究

41. The End of Chapter 5