1. LINEAR CONTROL SYSTEMS Ali Karimpour Assistant Professor Ferdowsi University of Mashhad

2. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 2 Lecture 7 Controllability and observability Topics to be covered include: v Eigenvalues of the matrix A in state space form and poles of transfer function v Similarity transformation. v Controllability and observability. u Definition of controllability and observability. u Controllability and observability of different modes.

3. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 3 Relation between SS model and TF model. ارتباط بین معادلات فضای حالت و تابع انتقال Poles of G(s) ? Eigenvalues of A (modes) ? ارتباط بین قطبهای تابع انتقال و مقادیر ویژه A ؟ Poles of G(s) Eigenvalues of A

4. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 4 Example1: Find the poles of transfer function and the eigenvalues of A مثال 1 : مطلوبست قطبهای تابع انتقال و مقادیر ویژه A [num,den]=ss2tf(A,b,c,0),, g=minreal(g) eig(A) g=tf(num,den)

5. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 5 Example1: Continue مثال 1 : ادامه Eigenvalues of A مقادیر ویژه A Poles of system قطبهای سیستم What happened to -1 ??!!??

6. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 6 Change of variables (Similarity transformation) تغییر متغیرها ( تبدیلات همانندی )

7. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 7 Example 2: A similarity transformation example مثال 2 : یک مثال از تبدیل همانندی Eigenvalues of A مقادیر ویژه A Eigenvalues of مقادیر ویژه New system is very simpler than older Eigenvector corresponding to -2

8. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 8 Similarity transformation and eigenvalues تغییر متغیرها و مقادیر ویژه Eigenvalues of A مقادیر ویژه A Eigenvalues of مقادیر ویژه Similarity transformation does not affect the eigenvalues of the system

9. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 9 Controllability کنترل پذیری Definition 1:The state equation (I) or the pair (A,b) is said to be controllable if for any initial state x 0 and any final state x 1, there exists an input that transfers x0 to x1 in a finite time. Otherwise (I) or (A,b) is said to be uncontrollable تعریف 1 : معادلات (I) یا زوج (A,b) را کنترل پذیر گویند اگر برای هر x 0 و برای هر x 1 ، ورودی ای وجود داشته باشد که x 0 را در زمان محدود به x 1 برساند. در غیر اینصورت معادلات (I) یا زوج (A,b) را کنترل ناپذیر گویند تعریف 1 : معادلات (I) یا زوج (A,b) را کنترل پذیر گویند اگر برای هر x 0 و برای هر x 1 ، ورودی ای وجود داشته باشد که x 0 را در زمان محدود به x 1 برساند. در غیر اینصورت معادلات (I) یا زوج (A,b) را کنترل ناپذیر گویند

10. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 10 Controllability test تست کنترل پذیری Theorem 1:The state equation (I) or the pair (A,b) is controllable if and only if قضیه 1 : معادلات (I) یا زوج (A,b) کنترل پذیر است اگر و فقط اگر S= | b Ab A 2 b ….. A n-1 b | ≠ 0

11. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 11 Example 3 : Check the controllability of following system مثال 3 : کنترل پذیری سیستم زیر را بررسی کنید This kind of system is controllable so it is called controllable canonical form. این نوع سیستم همواره کنترل پذیر است لذا به آن فرم کانونی کنترل پذیر گویند.

12. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 12 Observability رویت پذیری Definition 2:The state equation (I) or the pair (A,c) is said to be observable if for any unknown initial state x 0, there exists a finite time t 1 > 0 such that the knowledge of the input u and the output y over [0,t 1 ] suffices to determine Uniquely the initial state x 0. Other wise, the equation is unobservable. تعریف 2 : معادلات (I) یا زوج (A,c) را رویت پذیر گویند اگر برای هر شرط اولیه x 0 زمان محدود t 1 >0 ، وجود داشته باشد که اطلاعات ورودی u و خروجی y در بازه [0,t 1 ] برای محاسبه منحصر بفرد x 0 کافی باشد در غیر اینصورت سیستم را رویت ناپذیر گویند.

13. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 13 Observability test تست رویت پذیری Theorem 2:The state equation (I) or the pair (A,c) is observable if and only if قضیه 2 : معادلات (I) یا زوج (A,c) رویت پذیر است اگر و فقط اگر

14. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 14 Example 4 : Check the observability of following system مثال 4 : رویت پذیری سیستم زیر را بررسی کنید So the system is not observable. پس سیستم رویت پذیر نیست

15. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 15 Controllability test for each mode(system with distinct eigenvalues) تست کنترل پذیری برای هر مود ( سیستمهای دارای مودهای مجزا ) Eigenvalues of A مقادیر ویژه A For the controllability of a mode it is sufficient that the following matrix has full row rank

16. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 16 Observability test for each mode (system with distinct eigenvalues) تست رویت پذیری برای هر مود ( سیستمهای دارای مودهای مجزا ) Eigenvalues of A مقادیر ویژه A For the observability of a mode it is sufficient that the following matrix has full column rank

17. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 17 Example 5 : Check the observability and controllability of each mode مثال 5 : کنترل پذیری و رویت پذیری هر مود را بررسی کنید. It is not completely controllable

18. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 18 Example 5 : Check the observability and controllability of each mode (continue) مثال 5 : کنترل پذیری و رویت پذیری هر مود را بررسی کنید ( ادامه ). It is completely observable

19. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 19 Poles of transfer function قطبهای تابع انتقال Eigenvalues of A مقادیر ویژه A Poles of system قطبهای سیستم What happened to -1 ?

20. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 20 Exercise 2-a)Find the eigenvalues of following system. b) Find the pole of transfer function. c) Are the eigenvalues controllable and observable? 3- a) Find the eigenvalues of following system. b) Check the controllability and observability of the modes. 4- Check the controllability and observability of every mode in the following system. 1- Find the modes of following system.

21. Lecture 7 Ali Karimpour Oct 2009 21 Exercise (Cont.) 5- Check the controllability and observability of every mode in the following system and compare it with exercise 4.(Note that the system in this exercise and exercise 4 are similar that shown in example 2 6- Examine the controllability and observability of each mode of the following system. Answer: All modes are controllable. -1 and -4 are observable but -2 is not observable.