1. 8.1 何謂高度平衡二元搜尋樹 8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 8.3 高度平衡二元搜尋樹的刪除
Chapter 8 高度平衡二元搜尋樹
8.1 何謂高度平衡二元搜尋樹
8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入
8.3 高度平衡二元搜尋樹的刪除

2. 8.1 何謂高度平衡二元搜尋樹 何謂高度平衡二元樹(height balanced binary tree)？
8.1 何謂高度平衡二元搜尋樹
何謂高度平衡二元樹(height balanced binary tree)？
空樹(empty tree)是高度平衡二元樹
假使T不是空的二元樹，TL和TR分別是此二元樹的左子樹和右子樹，若符合下列二個條件，則稱T為高度平衡二元樹，也稱為AVL-Tree。
TL和TR亦是高度平衡二元樹，
|hL-hR|≦1，其中hL及hR分別是TL和TR的高度；
hL-hR為平衡因子(balanced factor，BF)，在AVL-Tree中，每一節點的平衡因子為-1、0或1

3. 8.1 何謂高度平衡二元搜尋樹
一棵二元樹的平衡因子

4. 8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入
高度平衡二元搜尋樹在加入或刪除後，可能會造成不平衡，此時可利用LL，RR，LR，RL 等四種不同的調整方式，使其符合AVL-tree 的定義。
1. LL：加入的新節點N 在節點p 的左邊的左邊。
2. RR：加入的新節點N 在節點p 的右邊的右邊。
3. LR：加入的新節點N 在節點p 的左邊的右邊。
4. RL：加入的新節點N 在節點p 的右邊的左邊。

5. 8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 LL型：加入新節點於節點s的左子樹之左子樹 加入30 調整 不是一棵AVL-tree 2 50 50 40
8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入
LL型：加入新節點於節點s的左子樹之左子樹 2 50 50 40
加入30 調整 1 40 40 30 50
不是一棵AVL-tree 30

6. 8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入
例二： 1 2 50 50 40 1
加入20 調整 40 60 40 60 30 50 1 30 45 30 45 20 45 60 20

7. 8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 RR型：加入新節點於節點s的右子樹之右子樹 此RR型與LL型大同小異，如加入前的AVL-tree為：
8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入
RR型：加入新節點於節點s的右子樹之右子樹
此RR型與LL型大同小異，如加入前的AVL-tree為： -2
加入70 調整 60 50 50 -1 50 70 60 60 70
不是一棵AVL-tree

8. 8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 例二： 加入80 調整 -1 -2 50 50 60 -1 40 60 40 60 50 70 -1 55
8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入
例二： -1 -2 50 50 60
加入80 調整 -1 40 60 40 60 50 70 -1 55 70 55 70 40 55 80 80

9. 8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 LR型：加入新節點於節點s的左子樹之右子樹 加入45 調整 2 50 50 45 -1 40 40 40
8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入
LR型：加入新節點於節點s的左子樹之右子樹 2 50 50 45
加入45 調整 -1 40 40 40 50 45

10. 8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入
例二： 2 50 50 -1
加入42 40 60 40 60 1 30 35 30 35 42

11. 8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 45 調整 40 50 30 42 60

12. 8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 RL型：加入新節點於節點s的右子樹之左子樹 加入56 調整 -2 50 50 56 1 60 60 60
8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入
RL型：加入新節點於節點s的右子樹之左子樹 -2
加入56 調整 50 50 56 1 60 60 60 60 56

13. 8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入 例二： 加入52 調整 -1 -2 50 50 56 1 40 60 40 60 50 60 1 56
8.2 高度平衡二元搜尋樹的加入
例二： -1 -2 50
加入52 50 調整 56 1 40 60 40 60 50 60 1 56 70 56 70 40 52 70 52

14. 8.3 高度平衡二元搜尋樹的刪除
高度平衡二元搜尋樹的刪除方法與二元搜尋樹相同，當刪除的動作完成後，必需再計算平衡因子，並做適當的調整。

15. 8.3 高度平衡二元搜尋樹的刪除
假設存在一棵AVL-tree如左下圖，若欲刪除50，因為它為一樹葉節點，故直接刪除之，成為右下圖，刪除後再進行調整 2 -1
加入50 調整 30 30 20 1 20 50 20 10 30 10 25 10 25 25

16. 8.3 高度平衡二元搜尋樹的刪除 從樹根尋找pivot點（遇到第一個BF值的絕對值大於1的節點）
8.3 高度平衡二元搜尋樹的刪除
從樹根尋找pivot點（遇到第一個BF值的絕對值大於1的節點）
由pivot節點的BF值大於等於0時往左子樹、小於0則往右子樹找下一個節點，來決定調整的型態。

17. 8.3 高度平衡二元搜尋樹的刪除 調整規則如下： 當pivot.BF >= 0 當pivot.BF < 0
8.3 高度平衡二元搜尋樹的刪除
調整規則如下：
當pivot.BF >= 0
pivot.llink.BF >= 0 LL型
pivot.llink.BF < 0 LR型
當pivot.BF < 0
pivot.rlink.BF >= 0 RL型
pivot.rlink.BF < 0 RR型