1. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 1 קומבינטוריקה למדעי - המחשב – הרצאה #14 Graph theory – תורת הגרפים Chapter 1: PATHS IN GRAPHS – 1. מסלולים בגרפים מבוסס על הספר : S. Even, "Graph Algorithms", Computer Science Press, 1979 שקפים, ספר וחומר רלוונטי נוסף באתר הקורס : Slides, book and other related material at: http://webcourse.cs.technion.ac.il/234141

2. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 2 1.1 INTRODUCTION TO GRAPH THEORY Figure 1.1 v1v1 v3v3 v4v4 v2v2 v5v5 e1e1 e3e3 e2e2 e4e4 e5e5

3. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 3 Set of vertices V קבוצת צמתים V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } Figure 1.1 v1v1 v3v3 v4v4 v2v2 v5v5 e1e1 e3e3 e2e2 e4e4 e5e5

4. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 4 Set of edges E קבוצת קשתות E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } v1v1 v3v3 v4v4 v2v2 v5v5 e1e1 e3e3 e2e2 e4e4 e5e5

5. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 5 Graph G(V, E) (or G = (V, E)) גרף v1v1 v3v3 v4v4 v2v2 v5v5 e1e1 e3e3 e2e2 e4e4 e5e5

6. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 6 Finite Graph גרף סופי אם V וגם E קבוצות סופיות נאמר שהגרף G(V,E) הוא גרף סופי דוגמא לגרף לא - סופי : G = ( N, {{i, j} : i = 2*j})

7. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 7 self loops parallel edges וחוגים עצמיים קשתות מקבילות v1v1 v3v3 v4v4 v2v2 v5v5 e1e1 e3e3 e2e2 e4e4 e5e5 חוג עצמי קשתות מקבילות

8. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 8 edge (arc, link …) קשת edge (arc, link …) קשת כל קשת מקושרת ( incident) לשני צמתים u ו -v ( לא בהכרח שונים !) קבוצת הצמתים המקושרת לקשת היא זוג לא סדור {v,u} נאמר גם : ש -u ו -v הם הקצוות (endpoint, end-vertex) של הקשת e וגם ש -e מחברת את u ו -v וגם כי u ו -v הם שכנים או סמוכים (adjacent) סימון : u _e_ v u v e

9. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 9 דרגה ( Degree ) של צומת d(v) = מספר הפעמים ש-v הינה קצה של קשת v1v1 v3v3 v4v4 v2v2 v5v5 e3e3 d(v 4 ) = 1 d(v 3 ) = 0 Isolated ( מבודד ) d(v 1 ) = 4 d(v 5 ) = 2 d(v 2 ) = 3

10. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 10 סכום דרגות בגרף סופי סכום דרגות בגרף סופי d(v 1 )+d(v 2 )+d(v 3 )+d(v 4 )+d(v 5 )=4+3+0+1+2=10=2|E| v1v1 v v4v4 v2v2 v5v5 d(v 4 ) = 1 d(v 3 ) = 0 d(v 1 ) = 4 d(v 5 ) = 2 d(v 2 ) = 3

11. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 11 סכום הדרגות בגרף סופי משפט: יהי G ( V, E ) גרף סופי. אזי הוכחה: נדמיין רשימה e 1, e 2,… e | E | של כל הקשתות ולכל קשת נרשום את שני הקצוות שלה e 1, e 2, e | E | { u 1, v 1 },{ u 2, v 2 },…{ u | E |, v | E | }

12. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 12 סכום הדרגות בגרף סופי (2) לדוגמא: v1v1 v3v3 v4v4 v2v2 v5v5 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 v 1 v 1 v 1 v 2 v 1 v 4 v 2 v 5 v 2 v 5 הרשימה:

13. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 13 סכום הדרגות בגרף סופי (3) הרשימה : { u 1, v 1 },{ u 2, v 2 },…{ u | E |, v | E | } מצד אחד: הדרגה של צומת v היא מספר הפעמים ש-v מופיע ברשימה. לכן מספר האיברים ברשימה = סכום הדרגות מצד שני: יש בדיוק 2| E | איברים (צמתים) ברשימה

14. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 14 סכום דרגות בגרף סופי הוכחה נוספת : אם כל קשת " תשלם " לכל אחד משני קצותיה 1$ 2 דולרים ·| E סה " כ תשלומים = | דולרים d(v) מגיעים בסה " כ v ל - v1v1 v2v2 v5v5 $↔$$↔$ $↔$$↔$ $↔$$↔$ $↔$$↔$ $↔$$↔$

15. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 15 זוגיות הדרגות בגרף סופי מהמשפט נובע : מספר הצמתים בעלי דרגה אי - זוגית הוא זוגי ( למה 1.1 בספר של אבן ) הוכחה : 2| E | הוא זוגי ולכן גם. נפחית את סכום הדרגות הזוגיות ונקבל מספר זוגי.

16. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 16 Path מסלול דוגמא אורך המסלול : a b c d e4e4 e3e3 e2e2 e1e1

17. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 17 Circuit מעגל דוגמא אורך המעגל : a b c d e4e4 e3e3 e2e2 e1e1

18. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 18 Path מסלול הגדרה אלטרנטיבית בספר : מסלול הוא סידרה e 1,e 2,…,e ℓ של ℓ קשתות המקיימת : (1 ) ל -e i ו -e i+1 יש קצה ( צומת ) משותף (2 ) לכל 0<i<ℓ מתקיים : ( א ) לקשת e i יש קצה אחד עם e i-1 וקצה שני עם e i+1 או ( ב ) e i היא חוג עצמי שימו לב: תנאי (1) אינו מספיק!

19. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 19 מסלול ומעגל פשוט מסלול נקרא פשוט אם אין בו צומת המופיע בו יותר מפעם אחת מעגל נקרא פשוט אם אין בו אף צומת המופיע יותר מפעם אחת, חוץ מצומת ההתחלה/סיום. כמו כן נדרוש שצומת ההתחלה/סיום לא יופיע בשום מקום אחר במסלול. למרות האמור לעיל המעגל אינו נחשב פשוט

20. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 20 Connected graphs גרפים קשירים גרף יקרא קשיר ( connected ) אם לכל שני צמתים u ו - v קיים מסלול אשר נקודת ההתחלה שלו היא u ונקודת הסיום היא v. a b c d e4e4 e3e3 e2e2 e1e1 y x e5e5 דוגמא לגרף לא קשיר:

21. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 21 Cut חתך Cut חתך חתך ( cut ) בגרף G ( V, E ) הוא תת-קבוצה S של קבוצת הצמתים V. נאמר שקשת e חוצה ( crosses ) את החתך S אם קצה אחד של e נמצא ב - S, והקצה השני מחוץ ל - S. a b c d דוגמא לחתך: חתך קשת לא-חוצה קשתות חוצות

22. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 22 חתכים בגרפים קשירים טענה : גרף קשיר אם " ם בכל חתך לא ריק יש לפחות קשת אחת כלומר : a b c d e4e4 e3e3 e2e2 e1e1 y x e5e5

23. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 23 חתכים בגרפים קשירים תוצאה ( תרגיל בית ): בגרף קשיר, לכל תת - קבוצה ממש ולא ריקה של קשתות יש קשת מחוץ לקבוצה הנוגעת בקשת שבקבוצה, כלומר :

24. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 24 גרף פשוט גרף פשוט גרף לא-מכוון יקרא פשוט אם אין בו חוגים עצמיים וקשתות מקבילות גרף כללי (לא פשוט) נקרא לעיתים: multi-graph בגרף G ( V, E ) פשוט בגרף פשוט

25. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 25 Digraph גרף מכוון v1v1 v3v3 v4v4 v2v2 v5v5 e1e1 e3e3 e2e2 e4e4 e5e5

26. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 26 Set of vertices V קבוצת צמתים V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } v1v1 v3v3 v4v4 v2v2 v5v5 e1e1 e3e3 e2e2 e4e4 e5e5

27. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 27 Set of edges E קבוצת קשתות E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } v1v1 v3v3 v4v4 v2v2 v5v5 e1e1 e3e3 e2e2 e4e4 e5e5

28. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 28 DiGraph G(V, E) גרף מכוון v1v1 v3v3 v4v4 v2v2 v5v5 e1e1 e3e3 e2e2 e4e4 e5e5

29. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 29 Finite Graph גרף מכוון סופי כמעט תמיד ( אלא אם יצוין אחרת ) גם V וגם E יהיו קבוצות סופיות. במקרה זה נאמר שהגרף G(V,E) הוא גרף סופי דוגמא לגרף לא - סופי : G = ( N, {(i, j) : j = 2*i})

30. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 30 self loops untiparallel and parallel edges חוגים עצמיים ואנטי-מקבילות קשתות מקבילות v1v1 v3v3 v4v4 v2v2 v5v5 e1e1 e3e3 e2e2 e4e4 e5e5 חוג עצמי קשתות מקבילות קשתות אנטי - מקבילות e6e6

31. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 31 קשת בגרף מכוון קשת בגרף מכוון בגרף מכוון: צמתי הקצה של קשת מהווים זוג סדור ( u, v ). הצומת u נקרא צומת ההתחלה ( start-vertex ) של הקשת והצומת v נקרא צומת הסיום ( end-vertex ). כמו כן נאמר שהקשת מכוונת ( directed ) מ - u ל - v. u v e

32. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 32 דרגת היציאה ( out-degree ) של צומת v, d out (v), היא מספר הפעמים ש-v הינו צומת-התחלה של קשת v1v1 v3v3 v4v4 v2v2 v5v5 e3e3 d out (v 4 ) = 0 d out (v 3 ) = 0 d out (v 1 ) = 3 d out (v 5 ) = 0 d out (v 2 ) = 2

33. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 33 דרגת הכניסה ( in-degree ) של צומת v, d in (v), היא מספר הפעמים ש-v הינו צומת-סיום של קשת v1v1 v3v3 v4v4 v2v2 v5v5 e3e3 d in (v 4 ) = 1 d in (v 3 )=d out (v 3 ) = 0 Isolated ( מבודד ) d in (v 1 ) = 1 d in (v 5 ) = 2 d in (v 2 ) = 1

34. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 34 סכום דרגות בגרף סופי טענה : בגרף סופי סכום דרגות הכניסה = מספר הקשתות הוכחה : אם כל קשת " תשלם " לצומת הסיום שלה 1$ 1 דולרים ·| E סה " כ תשלומים = | דולרים d in (v) מגיעים בסה " כ v ל - השוויון השני - אנלוגי v1v1 v2v2 v5v5 $$ $$ $$ $$ $$

35. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 35 Directed path מכוון מסלול Directed path מכוון מסלול דוגמא אורך המסלול : a b c d e4e4 e3e3 e2e2 e1e1

36. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 36 Directed cycle מכוון מעגל Directed cycle מכוון מעגל דוגמא אורך המעגל : a b c d e4e4 e3e3 e2e2 e1e1 e5e5

37. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 37 מסלול ומעגל פשוט – באופן דומה... מסלול נקרא פשוט אם אין בו צומת המופיע בו יותר מפעם אחת מעגל נקרא פשוט אם אין בו אף צומת המופיע יותר מפעם אחת, חוץ מצומת ההתחלה/סיום. כמו כן נדרוש שצומת ההתחלה/סיום לא יופיע בשום מקום אחר במסלול.

38. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 38 Strongly connected graphs גרפים קשירים היטב גרף מכוון יקרא קשיר-היטב ( strongly connected ) אם לכל זוג צמתים u ו - v, קיים מסלול מכוון שנקודת ההתחלה שלו היא u ונקודת הסיום שלו היא v. דוגמא לגרף לא קשיר היטב: a b c d y x

39. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141 39 The underline graph of digraph גרף התשתית של גרף מכוון גרף התשתית של גרף מכוון = הגרף הלא מכוון המתקבל מ " מחיקת " הכוונים דוגמא לגרף מכוון לא קשיר - היטב אבל גרף התשתית שלו קשיר a b c d y x