1. 1 שונות המשתנה. המודל : הנחות 1-3 מתקיימות. הנחה 4 אינה מתקיימת - כך שלפחות עבור תצפית אחת השונות שונה מהשונות של יתר התצפיות. לפחות עבור s ו t אחד. תוצאות : 1. א. ר. פ הוא אומד חסר הטיה. 2. אומדי השונות של א. ר. פ הם מוטים. 3. א. ר. פ איננו מקיים את משפט גאוס - מרקוב.

2. 2 נגדיר את השונות באופן הבא : כאשר זה המשקל לתצפית ה, שהוא הופכי גודל השונות של התצפית. נביט במודל : כאשר מקיים : המודל המסומן ב * מקיים את ההנחות הקלאסיות ולגביו מתקיים משפט גאוס מרקוב. אם ידוע אפשר לאמוד את המודל *

3. 3 דוגמא : = שנות לימוד וידוע שיש קשר חיובי בין והשונות נניח ש מציבים במשוואה : הרגרסיה הנאמדת היא : משקל של כל תצפית הוא. נאמוד את המודל

4. 4 : : מבחן G.Q. - נחלק את המודל לשתי קבוצות כאשר מספר תצפיות במרכז יורדו - d תצפיות. - תצפיות בהן השונות נמוכה יותר. - תצפיות בהן השונות גבוהה יותר. נאמוד את הרגרסיה בשני חלקים פעם עבור התצפיות בעלות השונות הנמוכה ופעם עבור התצפיות בעלות השונות הגבוהה, כך ש =. בנוסף נשמיט d תצפיות ( כ - 20 %) מהאמצע.

5. 5 אם הנחה H 0 נכונה אזי נצפה לקבל ש - כאשר : k - מספר הפרמטרים של המודל כאשר הערך של F גדול מאוד - דוחים את בדרך כלל נניח שמספר התצפיות זהה בכל את מהקבוצות

6. 6 מודלים דינמיים הכנסת משתנים מסבירים בפיגור - אין בעיה הכנסת משתנים תלויים בפיגור - הנחה 2 לא מתקיימת. מתואם עם - מתאם סידרתי מסדר ראשון - הנחה 3 לא מתקיימת. מבחן לקיום מתאם סידרתי מסדר ראשון : אין מתאם סידרתי מסדר ראשון. כלומר המודל הוא המודל האמיתי + הנחות 1-5. ההשערה האלטרנטיבית היא שקיים מתאם בין ההפרעות האקראיות, השאלה היא מה צורתו של המתאם.

7. 7 דוגמא : מתאם סידרתי מסדר ראשון. - מקדם מתאם סידרתי. נניח ש : עבור אם אזי חוזרים למודל המקורי. : : או מה קורה תחת ההשערה האלטרנטיבית ? 1. א. ר. פ. הוא א. ח. ה 2. א. ר. פ אינו מקיים את משפט גאוס - מרקוב, הנחה 3 אינה מתקיימת. ( הנחה 3 היא הנחה מספיקה אך לא הכרחית לקיום משפט גאוס - מרקוב ולכן יש להוכיח שהמשפט לא מתקיים )

8. 8 הסטטיסטי שלDurbin - Watson נניח שתחת הרצנו את המודל המקורי ע " י OLS וקיבלנו אומדים. רגרסיה על ההפרעות - ולכן

9. 9 המבחן למתאם סידרתי מבוסס על התפלגות הסטטיסטי d. ההתפלגות של הסטטיסטי תלויה בדרגות החופש ורמת המובהקות. עבור מתקבלים הערכים הבאים : כאשר, היא. מתקבלים שני ערכים ל d קריטי - ערך נמוך ו - ערך גבוה. עבור - דוחים את השערת האפס עבור - מקבלים את השערת האפס עבור - לא יודעים כאשר, היא. עבור - דוחים את השערת האפס עבור - לא יודעים עבור - מקבלים את השערת האפס.

10. 10 המשמעות של דחיית למעשה אנו אומדים מודל עם פרמטר נוסף, המודל הוא כדלהלן : 2. בלתי מתואם עם כל לכל t ולכל s. 3. עבור 1. 4. תוצאה 1 - א. ר. פ של משוואות הרגרסיה אינו א. נ. מ תוצאה 2 - א. ר. פ של משוואת הרגרסיה הוא א. ח. ה

11. 11 הוכחה : נסתכל על התוחלת : כלומר, הנחה 1 של המודל המקורי מתקיימת. כלומר, הנחה 2 של המודל המקורי מתקיימת. מאידך

12. 12 תוצאה 3 : א. ר. פ של משוואת הרגרסיה אינו מקיים את משפט גאוס - מרקוב ( כאשר ידוע ) הוכחה : נערוך טרנספורמציה לינארית של המודל נניח ש ידוע - אזי הרגרסיה : (*) כאשר : אזי בהנחות 1-5 א. ר. פ מקיים את משפט גאוס מרקוב ( מתעלמים מאובדן תצפית ) ולכן קיבלנו אומד לינארי עם שונות מינימלית. כלומר, אם ידוע, נאמוד את הרגרסיה (*), כאשר לא ידוע, ישנה שיטת אמידה שהיא קרוב לא. נ. מ זוהי שיטת אמידה בשני שלבים המבוססת על משוואת (*)

13. 13 שיטת Cochran - Orcutt שיטת אמידה בשני שלבים : שלב א ' - אומדים את משוואת הרגרסיה המקורית ומקבלים את. אומדים את מהמשוואה שלב ב ' - מציבים את במשוואת (*) ואומדים את a ואת b ע " י א. ר. פ.

14. 14 בדיקת השערות 1. סטיות התקן של המודל המקורי שנאמד ע " י OLS הן מוטות. לעיתים קרובות כלפי מטה ! ולכן ערכי t מוטים כלפי מעלה. למרות שהאומדים חסרי הטיה המבחנים הרגילים אינם תקפים. 2. האומדנים שמתקבלים משלב ב ' של האמידה הם מוטים אבל עקיבים. אומדני סטיות התקן הם עקיבים. עקיבות - כאשר ההטיה שואפת לאפס. ולכן מבחני t למודל המתקבל מ - CORC הם תקינים אך ורק במדגמים גדולים. 60-70 תצפיות ( דרך אחת לבדוק היא להשמיט תצפית ולראות את הרגישות ).

15. 15 3. מבחני F תקפים, אבל תחת, תמיד אותו. כנ " ל ולמבחני יציבות - אחד לשתי תקופות המדגם. 4. תחזית - התחזית לוקחת בחשבון את. כלומר, בהינתן התחזית ל תהיה :

16. 16 משואות סימולטניות נושאים : 1. אומד משתנה עזר - אומד עקיב. 2. מערכת של משוואות עם יותר ממשתנה אנדוגני אחד. 3. אומדן ר. פ בשני שלבים - Two stage L.S

17. 17 תוצאות : 1. אם ו - אזי 2. אם הוא א. ח. ה. ל אזי ( ההפך אינו נכון ) עקיבות - מה קורה לאומד בהסתברות כאשר הגדרה : הוא אומד עקיב ל אם כאשר ההסתברות ש שווה ל, שווה לאחת. כלומר, עבור כל קטן כרצוננו מסמנים :

18. 18 הנחה : עבור כל המשתנים המיקריים ( תצפיות ) הממוצע במדגם של פונקציה שואף לתוחלת של אותה פונקציה, כלומר : או באופן ספציפי : דוגמא : במודל זה מתואם עם ולכן א. ר. פ הוא מוטה, נבדוק האם אומד זה הוא עקיב

19. 19 אומד משתנה עזר - מחליף את א. ר. פ נניח ש במודל מתואם עם. נניח שיש בידינו משתנה שאינו שייך למודל זה או למשוואה זו אך הוא מקיים את התנאים הבאים : הנחה 6 : בלתי תלוי ב - לכל s ולכל t. תלוי ב - אם מתקיימת הנחה 6, אזי נקרא משתנה עזר (Instrumental Variable) הוא א. מ. ע ל -b אם הוא פותר את המשוואות הנורמליות :

20. 20 נניח ש לא מקיים את הנחה 2 הטיה ! מהו כיוון ההטיה בגבול ? כיוון ההטיה הוא המתאם בין ל, בדומה להשמטה של משתנה רלוונטי כיוון ההטיה שווה לסימן של מקדם המשתנה שהושמט. או במקרה שלפנינו :

21. 21 משתנה תלוי בפיגור כאשר הוא i.i.d.

22. 22 משוואות סימולטניות בכלכלה זו פונקצית היצע פשוטה. איך אומדים אותה ? האם מתואם עם ? במודל זה ו הם זהים. נניח ש אקסוגני. ו אנדוגניים. איך מחליטים ? עפ " י התיאוריה הכלכלית. ו אקסוגניים ולכן בלתי תלויים ביניהם, על פני זמן ועם המשתנים האקסוגניים.

23. 23 משוואות ההיצע והביקוש הן משוואות המבנה של המודל המבני של הכלכלה. הפתרון של המודל המבני למשתנים האנדוגניים הוא הצורה המצומצמת. תוצאה : א. ר. פ למשוואות נותן אומדן מוטה עבור, כיוון ההטיה הוא כלפי מטה !!! והוא נקבע לפי המתאם בין ל ( נאמוד את ע " י כמשתנה עזר ).

24. 24 זיהוי של פרמטרים במשוואות סימולטניות זיהוי - משוואה בודדת במערכת משוואות סימולטניות היא מזוהה אם ניתן במסגרת המודל לקבל אומדים עקיבים למשוואה. כלל הכרחי ( לא מספיק ) לזיהוי : משוואה במערכת משוואות סימולטניות היא מזוהה אם מספר המשתנים האקסוגניים שאינם נכללים המשוואה גדול או שווה למספר המשתנים האנדוגניים פחות אחד. אם גדול - יש זיהוי יתר. אם שווה - יש זיהוי במדויק.

25. 25 אמידה בשני שלבים 2SLS שלב א ' - אומדים את המשתנה האנדוגני מהצורה המצומצמת. שלב ב ' - אומדים את המשוואה תוך שימוש במשתנה האנדוגני החזוי. אומדי 2SLS הם יותר יעילים מאומדי משתני עזר רגילים תוצאות לגבי התפלגות האומדים, או, מתפלגים בגבול נורמלית. כמו כן מתפלג בגבול ולכן היחס מתפלג בגבול כמו כן מתקיימים מבחני F כפי שלמדנו בכיתה במונחים של התפלגויות גבוליות עבור מדגמים גדולים.