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I Think about Mechanics College One 我对大一力学的思考 大一力学的学习中,我遇到了不少值得我 去思考的问题。让我们在这里分享一下我 曾经的思考。或许你会觉得十分简单,也 或许你没有想过这样的 a piece of cake. Anyway, let’s take.

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2 I Think about Mechanics College One

3 我对大一力学的思考 大一力学的学习中,我遇到了不少值得我 去思考的问题。让我们在这里分享一下我 曾经的思考。或许你会觉得十分简单,也 或许你没有想过这样的 a piece of cake. Anyway, let’s take a look.

4 1 用力的观点解释进动 杠杆陀螺(会转仪)的进动问题,用角动量的观点去解 释是方便的。但是用力的观点呢?如果不用里的观点去 解释,我以为这是避重就轻。如果用力的观点解释不通, 那么理论很可能是出了问题。

5 用力的观点解释的困难 如图 1 ,取杠杆为研究对象,分析它的 受力情况。 重力的合力 G 杠杆轴受到的压力和拉力 那么杠杆要能平衡,必须还受到转轮给 它的拉力和向上的一个弹力 然而,这个 F 弹 是很难以理解的。 为什么这个飞轮可以给杠杆以向上的挤 压,那么它受到的反作用力不是向下的 吗?它可是自身难保啊。 图1图1 G N f拉f拉 f 拉 2 F弹F弹

6 换一个参考系来看这个问题 如图 2 ,在转动参考系中,取杠杆和转 轮整体为研究对象,分析其受力情况 类似于图 1 的受力 如图杠杆绕支撑轴有角速度 Ω 转轮又在高速自转 那么在转动参考系里,转轮当受到如图 的科里奥利力 图中画出一对科里奥利力是转轮上每个 质点所受的和效果力 正是这对力(的力矩)使得杠杆不会掉 下 那么,在转动参考系中,我们就已经用 力的观点解释了进动的维持 图2图2 N f拉f拉 G Ω ω v’ f cor

7 进动的产生 我们刚才假设杠杆已经绕支撑轴转起来,才 有刚才的科里奥利力。那么最初这个转动是 怎么产生的呢? 如图 3 ,在重力的作用下,杠杆要往下掉,那 么在 O 点有如图的 ω 0 , 这时转盘受到如图中的科里奥利力 f cor, f cor 力 矩就会使杠杆产生图 2 中的 Ω 。接着,就可以 用上边的分析了。这就是进动产生的原因。 可见,这样产生的进动是从小的扰动开始的, 也就容易理解这样产生的进动其实会是章动。 图3图3 G N u ω0ω0 v’ ω f cor

8 2 有关刚体力学的 “ 小佯谬 ” 这个问题曾让我迷惑万分。

9 一个有关转动惯量的问题 刚体力学中,我们知道力偶矩对于任意选定的转动轴, 其大小和方向都是一样的。并且我们还知道,角速度 ω 和角加速度 β 是具有绝对性的,即任意选定转轴, 其大小和方向同样。 入图 4 ,刚体受到一对大小相等,防向相反的力的作 用。这两个力的力偶矩为 M. 对于质心 C ,由转动方程 M=I c β (1) Ic 为以质心 C 为转轴的转动惯量, β 为角加速度。 我们可以找到一个相对于惯性系瞬时静止的 O 点(瞬 心),这完全可以做到。 以 O 为轴,由转动方程 M=I 0 β (2) (2) 式中的 M 和 β 与 (1) 式中的一样,原因已经解释过 了。但是,由平行轴定理 I 0 =I c +md 2 (3) 其中 (3) 式中的 d 为 O 、 C 之间的距离。联立 (1)(2)(3) 式, 明显出现了矛盾。 那么,是什么样的伪装蒙住我们眼睛呢? Just think about it. F F C O 图4图4

10 解释 原因就在于瞬心 O 点。的确, O 点是在瞬时相对于惯性系静 止,但选取 O 点为轴,这相当于选取了什么样的参照系呢? 首先,它是个平动参考系,千万不可认为这是转动参考系。 因为我们在转动方程里写出了角加速度的,如果是转动参考 系,是没有这个角加速度的。 其次,它又是一个非惯性系。仔细分析一下, O 点相对于惯 性系是有加速度的。我们可以这样求得这个加速度。 如图 5 ,以 C 为参照系, C 是一个惯性系 ( 质心运动定理 ) 。由 于 O 此刻的速度为 0 ,径向的向心加速度为 0 。但切向加速度 a=β r oc 所以 O 点在惯性系中是有加速度的。在换以 O 为轴(就换到 以 O 为系), C 点因该加上惯性力,则 M+r oc (-ma 0 )=I o β (2)’ 这样,用 (2)’ 式代替 (2) 式,就没有矛盾了。 图5图5 F F C O a0a0

11 3 从音叉说起谈干涉条件 从一些书上,我们可以看到这样的演示 试验:音叉振动发声时,两个叉子正好 满足相干波源的条件,于是耳朵在周围 空间运动(或者我们转动音叉)时,就 可以听到强(振动相长)弱(振动相消) 变化。 但是,真的有人听到音叉的干涉了吗? 我相信,那一定是极为敏锐的耳朵!事 实上,健康的我是没有能够听见这样的 声音的。 为什么? 振动相长的点 振动相消的点 波峰 波谷

12 思考 这其中的原因,是忽略了音叉这个特定模型的特殊条件。 由此我们也可以想到:发身干涉现象的条件(严格地说, 发生明显干涉的条件)除了 ( 1 )两列波具有相同频率 ( 2 )两列波相差恒定 ( 3 )两列波振动方向相同 外,我们还可以再补充一点。

13 解释 什么是音叉的特殊性呢?我们知道,两个振动的叉子间距是很小的,只有几 个厘米,而声波的波长大约是几米(这里随便取一种合理的声波),就是说 声波的波长是很长的。我们再来看一下刚才的图,发现应该这样画。

14 解释 注意到两个波源相隔太近, 波长太长!波峰和波谷根 本没有叠加的机会。两列 波在周围空间中,就如同 是一个波源发出来的一样。 实际情况比这个图更明显, 为了清楚,图中波源的距 离是画大了的。 由此,我们想到,干涉条 件可以再补充一条 那么应该怎样的大才是合 理的呢? 波长不能比波源间距太大。

15 解释 假设两列波 S 1 、 S 2 能够明显干涉,那么 最近的几个波长相差半波长的奇数倍的 点波程差是 λ/2 。要能够构成三角形, S 1 、 S 2 的间距应该不小于 λ/2 。 d ≧ λ/2 要使得在周围空间发生更明显的干涉,条 件应该更强。 S1S1 S2S2 P

16 THE END Thanks! © Copyright PB03203238 赵仲华


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