1. 專案排程模型 Project Scheduling Models
CHAPTER 5
專案排程模型 Project Scheduling Models

2. 5.1 介紹 (p. 322) 專案(project)昰一組必須完成的工作組合，目標是以最少的時間或最低之成本來完成
藉由計算各活動「開始」及「完成」的「最早」與「最晚」時間，儘早完成專案
計算一個專案在某一期間內完成之可能性.
發現在某一日期能以最小成本完成之專案排程
控制專案進度是否按時進行，並在預算以內

3. 5.1 介紹 專案排程的目標(p.323) 專案中工作(Tasks)稱為”活動” (activities).
調查某些活動得延誤如何影響一個專案整體的完成時間
調整整個專案期間之資源分配
專案中工作(Tasks)稱為”活動” (activities).
每個活動皆有預估的完成時間(Estimated completion time)
活動完成時與投入該活動之資源多寡有關

4. 5.2 確定專案中之活動 為了決定最佳排程，我們需要 藉由這些資訊，我們便可以發展專案管理之方法 確定所有專案中之活動
5.2 確定專案中之活動
為了決定最佳排程，我們需要
確定所有專案中之活動
決定活動之先後順序(precedence)
藉由這些資訊，我們便可以發展專案管理之方法

5. 確定專案活動範例 (p. 323~325) 科隆電腦公司 (KLONE COMPUTERS, INC.)
KLONE Computers需要設計、製造對其產品Klonepalm 2000進行行銷活動
三個主要的工作:
製造新電腦
訓練員工與銷售員代表.
廣告行銷
KLONE需要發展先後順序流程圖來顯示各活動間之先後順序關係

6. 科隆電腦公司活動敘述 (p.324) 活動 敘述 A 設計原型(Prototype model) F 員工訓練
B 材料購買
製造活動 C 原型製造 D 設計修正
E 第一次生產
F 員工訓練
訓練活動 G 員工對產品原型之建議
H 銷售人員訓練
廣告活動 I 生產前廣告活動 J 生產後廣告活動

7. 由前頁之活動敘述表中,我們可以決定每個活動之前置活動 (immediate predecessors).
科隆電腦公司
由前頁之活動敘述表中,我們可以決定每個活動之前置活動 (immediate predecessors).
活動A (Activity A) 為活動B 的一個之前置活動 (immediate predecessor)，因為活動A必須在活動B開始之前完成 A B

8. 科隆電腦公司
活動前後關係表 (表5.3) (p.325)
(Precedence Relationships Chart)

9. 科隆電腦公司 ─ PERT/CPM網路 B 15 B 15 C 5 C 5 E 21 E 21 F 25 F 25 G 14 G 14 D20 D 20 H 28 H 28 A 90 I J 45 J 45 I 30

10. 5.3 專案排程的PERT/CPM 方法 專案排程的PERT/CPM 方法為網路表達方式
反應出各個活動之間的先後關係
活動完成時間
PERT/CPM 方法之目標是希望專案完成時間為最短

11. 科隆電腦公司- 續 科隆電腦公司管理者希望安排活動計劃使得專案完成時間為最短 管理者希望知道: (p. 326) 此專案之最早完成時間
在此日期之下，每個活動之最早與最晚開始時間(earliest and latest start times)
在此日期之下，每個活動之最早與最晚結束時間(earliest and latest finish times)
找出可能被延遲卻不影響專案完成時間的活動

12. 最早開始時間 /最早完成時間 (p.327) 以順向進行(Forward Pass)之方式檢視網路:
令此活動之最早開始時間 ES = 0.
令此活動之最早完成時間 EF為活動時間.
當某活動之所有立即前置活動的ES值都確定後，計算該活動的ES值
ES =所有立即前置活動的ES值之最大值
EF = ES + 該活動之活動時間.
重複此程序直到所有活動皆被評估為止
最後活動之EF值為該專案之最早完成時間

13. 最早開始時間 /最早完成時間 – 順向進行 194 90,105 105,110 149,170 170 B 15 B 15 C 5 C 5
最早開始時間 /最早完成時間 – 順向進行
90,105
105,110
149,170
170 B 15 B 15 C 5 C 5 E 21 E 21
(ES,EF)
110,124 A 90
0,90
90,115
115,129
129,149
149,177
177 F 25 F 25 G 14 G 14 D 20 D 20 H 28 A 90
194
最早完成時間 H 28 I 30 J 45
120,165
149,194
194
90,120 J 45 I 30

14. 最晚開始時間 /最晚完成時間 以反向進行(Forward Pass)之方式檢視網路: (p. 328)
由沒有後向活動之所有活動開始評估. (如：科隆電腦公司中之活動E,H,J)
該活動之最晚完成時間 LF = 最小專案完成時間 (say 194)
該活動之最晚開始時間 LS = LF -活動時間.
計算某活動之LF值若該活動之所有立即後置活動之LS值已決定.
LF =所有立即後置活動的LS值之最小值
LS = LF -活動時間.
重複此程序直到所有活動皆被評估為止.

15. 最晚開始時間 /最晚完成時間 -反向進行 J 149,170 173,194 105,110 90,105 B 15 B C C 5 E21
110,115 E
95,110
129,149
90,115
115,129
149,177
129,149
90, 115
115,129
153,173
166,194
5,95
129,149
0,90
129,149 F F 25 G G 14 D 20 D
146,166
0,90
129,149 H 28 H A A 90
129,149
194
129,149
129,149
129,149
129,149
29,119
149,194
90,120
149,194
119,149 J 45 J I I 30

16. 寬鬆時間 (Slack Times) 專案完成過程中，計劃中的或不可預見延遲(Delay)都會影響活動之開始與完成時間。
有些活動之延遲會影響整體之完成時間
為了解此中延遲之效應，我們計算寬鬆時間(slack time),並決定要徑(critical path).

17. 寬鬆時間 Slack Times 寬鬆時間 = LS - ES = LF - EF

18. 科隆電腦公司專案活動的寬鬆時間
重要活動
(Critical Activities)
必須嚴格按
計畫執行

19. 要徑 The Critical Path
要徑為一組無寬鬆時間(Slack=0)的活動所組成, 此要徑連結 START活動至 FINISH活動.
專案網路中至少存在一條要徑
要徑昰網路中最長之路徑
要徑上所有活動完成時間之總合為計劃最小完成時間

20. 要徑 The Critical Path J 105,110 149,170 90,105 95,110 B B 15 C 5 C
110,115
173,194 E 21 E
0,90
90,115
115,129
129,149
149,177
0,90
90, 115
115,129
129,149
166,194 F 25 F G G 14 D D 20 H 28 H A 90 A
149,194
90,120
149,194
119,149 J 45 J I 30 I

21. 可能延遲分析 (p.332)
可能延遲之類型:
單一延遲(Single delays).
多重延遲(Multiple delays).

22. 單一延遲 Single delays 單一要徑活動(critical activity)之延遲，將造成整個專案產生相同之延遲時間，
非要徑活動之延遲(non-critical activity) 只會造成整體專案落後該延遲超過其寬鬆時間之量，少於寬鬆時間之延遲不會影響專案完成之時間
如活動C(非要徑活動)有5天之寬鬆時間，故延遲4天不會影響專案完成之時間
若延遲7天，整個專案將延遲7-5=2天

23. 多重延遲於非要徑活動: 範例 1: 活動於不同路徑上
多重延遲於非要徑活動: 範例 1: 活動於不同路徑上
ES=149
DELAYED START=149+15=164 B 15 C 5 E 21
LS=173 F 25 D 20 H 28
FINISH A 90 G 14
活動 E與 I 個別延遲15天.
整個專案不受影響，不會延遲 J 45 I 30
ES=90
DELAYED START=90+15 =105
LS =119

24. 90 Activity E Activity I 105 115 129 149 A 90 194 B 15 C 5 D 20 21
甘特圖呈現活動“I”與 “E”各
延遲15天後 ，對整個專案
並無影響 E
Activity E F 25 G 14 H 28 30 J 45
Activity I I

25. 多重延遲於非要徑活動: 範例 2:活動於相同路徑上,且被要徑分隔
多重延遲於非要徑活動: 範例 2:活動於相同路徑上,且被要徑分隔
ES=90
ES=149
DELAYED START =90+4 =94
DELAYED START= =164
LS =95
LS =173 B C E 15 5 21 F G D H A
FINISH 25 14 20 28 90
活動 B延遲 4天,活動 E延遲15天
整個專案不受影響，不會延遲 J I 45 30

26. 多重延遲於非要徑活動: 範例 3:活動於相同路徑上,且未被要徑分隔
多重延遲於非要徑活動: 範例 3:活動於相同路徑上,且未被要徑分隔
ES= 90
整個計劃延遲3天
DELAYED START =94
DELAYED START=
DELAYED FINISH =
=113;
94+15=109 B
LS =110 C E
LS =105 15 5 21 F G D H A
FINISH 25 14 20 28 90
活動 B延遲 4天,活動 C延遲4天
整個計劃延遲3天 J I 45 30

27. 5.4 PERT/CPM 線性規劃法 變數 目標函數 限制式 Xi = 活動開始時間 i=A, B, C, …,J
X(FIN) = 計劃完成時間
目標函數
以最少時間完成專案.
限制式
對於每個弧 為一個限制式，表示M活動的開始時間不能比前置活動 L的完成時間來的早 L M

28. 線性規劃法
定義 X(FIN) = 專案完成時間 ，
目標函數為
Minimize X(FIN)

29. 線性規劃法(see p.330 圖5.3) All X s are nonnegative Minimize X(FIN) ST
X(FIN) ³ XE + 21
X(FIN) ³ XH + 28
X(FIN) ³ XJ + 45
XD ³ XG + 14
XE ³ XD XG ³ XC+ 5
XH ³ XD XG ³ XF+ 25
XJ ³ XD XI ³ XD+ 90
XJ ³ XI XF ³ XA+ 90
XC ³ XB+ 15
XD ³ XG+ 14
XB ³ XA+ 90 C 5 F 25 G
All X s are nonnegative

30. 線性規劃法 Minimize XA+XB+…+XJ 此目標函數確定各活動ES值之最佳解. Xj = ES EF = Xj + 活動時間
因此整個專案之活動時間為最小

31. 5.5 使用Excel以獲得結果

32. 5.6 甘特圖 Gantt Charts (p. 337) 甘特圖 (Gantt charts)昰一種用來展示及監督專案進度的工具
甘特圖 為圖形表示法:
橫軸代表時間，縱軸代表各個活動，活動之完成時間以長條表示.
最早時間之甘特圖，長條開始於某活動之於某活動之最早開始進行之時間.

33. 90 科隆電腦公司之最早時間甘特圖 105 115 129 149 A 90 B 15 194 C 5 D 20 E 21 F 25 GH 28 I 30 J 45

34. 甘特圖 - 監控專案進度 甘特圖可以用來監控各個活動之進度 做法昰在以完成之部份就其所佔之比例在長條上畫上陰影.
甘特圖 - 監控專案進度
甘特圖可以用來監控各個活動之進度
做法昰在以完成之部份就其所佔之比例在長條上畫上陰影.
管理者可以檢視此圖就可以了解專案是否按時間完成

35. 監控專案進度 陰影部份長條代表進行 135天後完成之工作 並不表示某活動延遲 會造成完工時間延遲 因活動 “I” 有寬鬆時間，90 A 15
194 B 5 C 20
陰影部份長條代表進行
135天後完成之工作 D 21 E 25 F 14 G 28
並不表示某活動延遲
會造成完工時間延遲 H 30 I
因活動 “I” 有寬鬆時間，
因此可以延遲!!! 45 J
135

36. 甘特圖之優缺點 (p. 339) 優點 缺點 容易製作 可決定最早完成時間. 提供一個能符合專案之最早開始與完成時間之活動排程
甘特圖只提供一個可能之會早活動排程
無法辨識專案進度是否落後
未顯示活動之先後順序關係，由甘特圖無法明顯看出某活動之延遲如何影響另一活動之開始時間.

37. 5.7 資源均分法 (略)

38. 5.8 專案排程機率法 (p. 345) The Probability Approach to Project Scheduling
活動之完成時間很少能100% 正確估算，經常發生變動，故活動完成時間可視為隨機變數
視活動完成時間為隨機變數之專案排程技術稱為PERT.
PERT 中用來表示完成時間變動性之方法稱為 三種時間估計法(Three Time Estimate approach)

39. 機率法– 三種時間估計法 三種時間估計法提供每個活動之完成時間估計. 使用符號(notation): a = 執行該活動之樂觀時間.
機率法– 三種時間估計法
三種時間估計法提供每個活動之完成時間估計.
使用符號(notation): a = 執行該活動之樂觀時間.
m = 執行該活動之最可能時間.
b =執行該活動之悲觀時間.

40. 活動分配，平均數與標準差 在只有(a,m,b)存在之情形下很難預測其機率分配
對於活動完成時間平均數與標準差之近似值可以用Beta 分配估計 (see p. 346, 圖5.13)

41. 專案完成時間之機率分配- 假設
為了計算專案完成時間之平均數與標準差，我們有以下之假設.

42. 專案完成時間之機率分配- 假設 (p.347) 假設1 假設2 假設3 要徑，可用活動之平均完成時間來決定.
專案平均完成時間為要徑上各活動之平均完成時間總和來決定.
假設2
完成某活動之時間與完成另外一個活動之時間無關.
假設3
要徑上有足夠之活動，故專案之完成時間可以用常態分配來估計

43. 專案完成時間之機率分配 (p. 349) 此三個假設可以暗示，整個專案之完成時間近似一個常態分配 N(μ,σ2)。
平均數( Mean) μ = 要徑上平均完成時間之總合
變異數 (Variance) σ2 = 要徑上個活動完成
時間變異數之總合
標準差 (Standard deviation) σ = √Variance

44. 機率分配– 科隆電腦公司

45. 機率分配– 科隆電腦公司 (p. 349) 科隆管理階層對下列問題有興趣. 專案在194天內完成之機率 專案在180天內完成之機率.
專案超過210天完成之機率.

46. 科隆電腦公司– 計算活動之平均數與變異數 (P.350)
mA =(a+4m+b)/6 = [76+4(86)+120]/6 = 90
sA = (b-a)/ = ( )/6 = 7.33 sA2 = (7.33)2 = 53.78 s2

47. 科隆電腦公司– 計算要徑平均數與變異數 所有活動之平均時間與PERT/CPM問題相同 因此，要徑為A - F- G - D – J.
科隆電腦公司– 計算要徑平均數與變異數
所有活動之平均時間與PERT/CPM問題相同
因此，要徑為A - F- G - D – J.
平均完成時間 = mA +mF +mG +mD +mJ=194.
專案之變異數 = sA2 +sF2 +sG2 +sD2 +sJ2 = 85.66
專案之標準差= = 9.255 s2 s2

48. 機率分配
令X=專案完成時間則 X ~ N(194, ) 近似
194
專案於194天內完成之機率為 =

49. 機率分配 95%信賴區間為 m s ± z 95%信賴區間為 = 194 ± 1.96(9.255) @ [175, 213] 天.
0.025
.95 m
95%信賴區間為 = 194 ± [175, 213] 天.
也就是說，完工時間為 [175,213]天之機率為 0.95.

50. 機率分配 180天內完工之機率 = P(X £ 180) = P(Z £ -1.51) = 0.5 - 0.4345 = 0.0655
194 X Z
P(X £ 180) = P(Z £ -1.51) = =

51. 機率分配
超過210以上之完工機率為 X Z
194
210
1.73 ?
0.0418
.4582

52. 機率分配 專案「幾乎確定」如期完成(假設僅能有1%延遲)，則專案必須於何時完成?X Z
194
由分配圖知，有 99%機率
專案將於 天內完成. X0
2.33
0.01
.49
P(X³X0) = 0.01, or P(Z ³ [(X0 – m)/s] = P(Z³ Z0) = .01
P(Z ³ 2.33) = 0.01; X0=m+Z0s = (9.255) = days.

53. 機率分配 – 使用試算表作機率分析 See P.41說明 NORMDIST(194, 194, 9.255, TRUE)
機率分配 – 使用試算表作機率分析
See P.41說明
NORMDIST(194, 194, 9.255, TRUE)
NORMINV(.025, 194, 9.255)
NORMINV(.975, 194, 9.255)
NORMDIST(180, 194, 9.255, TRUE)
1 - NORMDIST(210, 194, 9.255, TRUE)
NORMINV(.99, 194, 9.255)

54. 使用試算表作要徑分析 (PERT Input) (p.349)

55. 使用試算表作要徑分析 (PERT Output)

56. 5.9 使用期望值法進行成本分析 (略)

57. 5.10 使用要徑法(CPM)進行成本分析 (p. 356) 要徑法 (CPM) 為一種專案計畫之明確方法
計畫之完成時間牽涉到每個活動所分配到的金錢資源.
以額外之金錢來降低活動所需時間之過程成為趕工“crashing.”

58. 趕工時間Crash time/趕工成本Crash cost
每種活動有兩種重要的完成時間.
正常完成時間 (TN).
趕工完成時間 (TC), 最小可能完成時間.
TC < TN
每種活動有兩種重要的成本
正常成本 (CN), 若活動於TN時間內完成.
趕工成本 (CC),若活動於TC 時間內完成.
CC > CN

59. 趕工時間/趕工成本 CPM 線性假設 R=TN – TC =某活動最大可能減少時間 E=CC – CN=達到最大可能減少時間所需之趕工成本
若某個介於(CN ,CC )之間之金額被用於一活動上，則活動減少之時間與成本之增加成正比

60. CPM 線性假設 正常 總成本 = $2600 時間 (天) 工作時間 = 18 days 20 18 16 …省下更多之完工時間 14
CN = $2000
TN = 20 days
總成本 = $2600
工作時間 = 18 days
時間 (天)
CPM 線性假設 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
省下之完工時間
…省下更多之完工時間
… 省下25% 最大
完工時間
加入25%額外
趕工成本
於正常成本外
加入更多趕工成本
於正常成本外
加入趕工成本 趕工
CC = $4400
TC = 12 days
成本 ($100)

61. 趕工時間/趕工成本 CPM 線性假設(p.357) = (4400 - 2000)/(20 - 12) = $300 per day M =
總成本 = $2600
工作時間縮短 X days
M = E R
X =
300
= 2

62. 趕工活動 – 以最小成本達到期限要求 若一專案無法於正常時間之期限(Dead_Line)完成，則需要使用額外資源與費用於趕工活動上
趕工活動 – 以最小成本達到期限要求
若一專案無法於正常時間之期限(Dead_Line)完成，則需要使用額外資源與費用於趕工活動上
其目的為以最小額外成本達到期限要求

63. 芭茄餐廳範例–(p.358) 芭茄餐廳 (BB) 為墨西哥是速食餐廳，該餐廳希望於19週中設立一家新的餐廳 管理者希望 評估此計畫之可能性
了解計劃是否可以在19週之期限內完成

64. 芭茄餐廳範例 若不花費額外費用，餐廳將於29週後以正常成本$200,000完工.
若趕工的話，參廳可於17週後以加工成本$300,000完工.
Determined by the PERT.xls template

65. 芭茄餐廳 – 網路圖形 E O I K B A F G J M N C H P D L

66. 芭茄餐廳 – 邊際成本 R = TN – TC = 5 – 3 = 2 E = CC – CN = 36 – 25 = 11
芭茄餐廳 – 邊際成本
R = TN – TC = 5 – 3 = 2
E = CC – CN = 36 – 25 = 11
M = E/R = 11/2 = 5.5

67. 芭茄餐廳 – 啟發式演算法求解 小型演算法可以用啟發式演算法求解 啟發式演算法需考慮下列三種結果：
只有在要徑上之活動被縮減時，專案時間才可以被縮減.
每個活動之最大縮減時間是有限的
另一非要徑路線 ,可能在縮減時間之過程中成為另一條要徑
要徑上某活動可以被縮減之數量是有限的

68. 芭茄餐廳 – 趕工之線性規劃模式 線性規劃模式 變數 目標函數 限制式 Xj = 第i個活動之開始時間. Yj =第i個活動之被縮減之量.
極小化趕工需要花費的額外總費用.
限制式
所有活動不可超過最大允許的縮減量
每個活動之開始時間不可以早於所有前置活動的完成時間
專案完成時間必須在期限( deadline date) D完成.

69. 芭茄餐廳 – 趕工之線性規劃模式 Minimize 總趕工成本
Min 5.5YA+10YB+2.67YC+4YD+2.8YE+6YF+6.67YG+10YH+ 5.33YI+12YJ+4YK+5.33YL+1.5YN+4YO+5.33YP
Minimize 總趕工成本

70. 線性規劃模式 滿足期限 最大時間 縮減限制式 Y £
Min 5.5YA+10YB+2.67YC+4YD+2.8YE+6YF+6.67YG+10YH+ 5.33YI+12YJ+4YK+5.33YL+1.5YN+4YO+5.33YP 19
FIN X ) ( ST H F E D C B A
0.5
2.0
2.5
1.0
1.5 Y
Y G
……..
滿足期限
最大時間
縮減限制式

71. 線性規劃模式
Min 5.5YA+10YB+2.67YC+4YD+2.8YE+6YF+6.67YG+10YH+ 5.33YI+12YJ+4YK+5.33YL+1.5YN+4YO+5.33YP XA
XB³XA+(5 – YA)
-YA A A
XA+5-YA
XA+5 B XB B XB B XB B XB B XB
每個活動之開始時間
不可以早於所有
前置活動的完成時間

72. 線性規劃模式
Min 5.5YA+10YB+2.67YC+4YD+2.8YE+6YF+6.67YG+10YH+ 5.33YI+12YJ+4YK+5.33YL+1.5YN+4YO+5.33YP
XB³XA+(5 – YA)
XC³XA+(5 – YA)
XD³XA+(5 – YA)
Xe³XA+(5 – YA)
XF³XA+(5 – YA)
XB³XB+(1 – YB)
XF³XC+(3 – YC)
XG³XF+(1 – YF)
X(FIN)³XN+(3 – YN)
X(FIN)³XO+(4 – YO)
X(FIN)³XP+(4 – YP)
每個活動必須
於所有前置活
動完成完成後
才能開始
……..

73. 芭茄餐廳 – Deadline 試算表