Dr. Mahmoud Mostafa El_Sherbiny

Dr. Mahmoud Mostafa El_Sherbiny
OR Introduction & Problem Modeling (Problem Formulation) مقدمة في بحوث العمليات بناء النماذج الرياضية This presentation covers the material in Supplement F; Linear Programming. Dr. Mahmoud Mostafa El_Sherbiny 1

MS / OR Definition: Management Science (MS) or Operations Research (OR) is the scientific discipline devoted to the analysis and solution of complex decision making. تعريف: عِلْم الادارة أَو بحوث العمليات عبارة عن اسلوب علمي يهتم بتحليلِ وحَلِّ اتخاذ القراراتِ المعقّدِ. MS/OR uses a wide variety of skills: math, statistics, probability theory, economics, business, computers, engineering, and physical and behavioral sciences. يستخدم علم الادارة او بحوث العمليات العديد من المهارات: الرياضيات , الاحصاء , نظرية الاحتمالات , الاقتصاد, الحاسب الآلى , الهندسة و العلوم السلوكية والتطبيقية. 1

Difficulty in Decision Making صعوبات اتخاذ القرار
A decision can be difficult to make because اتخاذ القرار من الاشياء الصعبة بسبب: 1) it is complex معقد 2) it deals with uncertainty التعامل في ظل عدم التأكد 3) it concerns multiple objectivesيهتم لتحقيق العديد من الاهداف 4) there are multiple decision makers التعامل مع العديد من متخذي القرار 2

Application Areas مجالات التطبيق Production الانتاج
Health care الخدمات الصحية Finance المالية Marketing التسويق Sports الرياضة Education التعليم Natural resources الموارد البشرية Transportation النقل Human resources managementادارة الموارد البشرية 6

Application Examples امثلة لبعض التطبيقات
Scheduling airline crews جدولة اطقم الطيران Catalog sales and telemarketing operations ادارة كتلوج المبيعات والتسوق عبر التليفون Transportation planning تخطيط عمليات النقل Portfolio management ادارة المحافظ المالية Fast-food restaurant operations عمليات مطاعم الطعام 6

Decision Making Phases
Decision Making: a process of choosing among alternative courses of action for the purpose of attaining a goal or goals (Simon [1977]) searching for conditions that call for decisions Intelligence inventing, developing, and analyzing possible courses of action Design selecting a course of action from those available Choice Implementation Feedback

Decision Making Phases (cont.)
Intelligence phase Reality is examined The problem is identified and defined Design phase Representative model is constructed Alternatives are generated The model is validated and evaluation criteria are set Choice phase Includes a proposed solution to the model/problem If reasonable, move on to the Implementation phase Implementation phase Solution to the original problem Failure: Return to the modeling process Often Backtrack / Cycle Throughout the Process

The Management Science Process

Classification of Management Science Techniques

Modeling & Formulation
MAX (MIN): f0(X1, X2, …, Xn) S.T f1(X1, X2, …, Xn)<=b : fk(X1, X2, …, Xn)>=bk : fm(X1, X2, …, Xn)=bm Modeling & Formulation بناء النماذج الرياضية

Optimization Models نماذج الامثلية
We have to satisfy our Objective? يجب تحقيق الاهداف Constraints and Constrained Optimization امثلية مقيدة وغير مقيدة Realize objective: (maximize profit…minimize cost) ادرك او استيعاب الاهداف Subject to limitations (constraints) في حدود Time-Budget-Space-Capacity-Energy-Demand- Material الوقت – الميزانية- الفراغ – القدرة الاستيعابية – الطاقة – الطلب – المواد الخام Results: Optimal Decisions الناتج: قرار امثل

General Form of an Optimization Problem
MAX (of MIN): f0(X1, X2, …, Xn) Subject to: f1(X1, X2, …, Xn)<=b1 : fk(X1, X2, …, Xn)>=bk fm(X1, X2, …, Xn)=bm Note: If all the functions in the model are linear, the problem is a Linear Programming (LP) problem

General Form of a Linear Programming (LP) Problem
MAX (or MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn Subject to a11X1 + a12X2 + … + a1nXn  b1 : ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn  bk am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm

Steps In Formulating LP Models:
0. Understand the problem. Identify the decision variables State the objective function as a linear combination of the decision variables. State the constraints as linear combinations of the decision variables. Identify any upper or lower bounds on the decision variables. تفهم و استيعاب المشكلة تحديد متغيرات القرار تعريف دالة الهدف وبنائها باستخدام متغيرات القرار. تعريف القيود وبنائها باستخدام متغيرات القرار تحديد الحدود العليا والدنيا لمتغيرات القرار

Stratton Company Pipes ‘R Us Type Type 1 2
This slide introduces the problem used in the supplement. The Stratton Company. Type 1 Type 2 3

How much of each type do I make? كم انتج من كل نوع؟
1 Type 2 How much of each type do I make? كم انتج من كل نوع؟ The basic question the company is tying to answer is ‘How much of each type of pipe should they make next week?’ This, of course, helps define the decision variables. 4

Linear Programming Step 1–Define the decision variables
تحديد متغيرات القرار x1 = amount of type 1 pipe produced and sold next week, 100-foot increments كمية المنتج من النوع الاول في الاسبوع بال100 قدم x2 = amount of type 2 pipe produced and sold next week, 100-foot increments كمية المنتج من النوع الثاني في الاسبوع بال100 قدم This slide shows the actual definition of the decision variables, including units of measurement. The slides build on an advance.

Max Z = $34 x1 + $40 x2 Linear Programming Decision variables
Step 2—Define the objective function تحديد دالة الهدف Decision variables متغيرات القرار Max Z = $34 x1 + $40 x2 Finally the coefficients are added completing the equation. Again the arrows will disappear by themselves. Objective Function دالة الهدف Coefficients المعاملات 11

البثق (تكوين عمود الانبوبة) Production Processesعمليات الانتاج
What limits us? ماهي المحددات؟ The next step is to define the constraint equations. These, of course, answer the question ‘What limits us?’. The illustration on this slide shows many of the common forms of limits businesses face: i.e. materials, energy, time, money, and human resources. Cutting & Screwing التقطيع و القلوظة Extrusion البثق (تكوين عمود الانبوبة) 48 h/w 18 h/w 16 h/w Production Processesعمليات الانتاج Inspection الفحص 13

Max Z = $34 x1 + $40 x2  48 (Extrusion) Linear Programming
Step 3—Formulate the constraints بناء القيود Max Z = $34 x1 + $40 x2 Upper limit  Lower limit  Equality =  48 (Extrusion) A ‘post-it’ note is added to show the three basic relational operators available to us. This slide will remain until an advance to allow any necessary discussion. RHS value Type of limit انواع القيود(الحدود) 19

Linear Programming Max Z = $34 x1 + $40 x2 x1 x2  48 (extrusion)
Step 3—Formulate the constraints بناء القيود Max Z = $34 x1 + $40 x2 x x2  48 (extrusion) The decision variables are added at this point. Because both variables participate in all three constraint equations in this example, beginning students have been known to think this is always the case. By making the decision variables a step of their own and not ‘automatic’, the student should consider each variable for each constraint. Again the arrow will disappear automatically. Decision variables متغيرات القرار 21

Linear Programming Max Z = $34 x1 + $40 x2 x1 x2  48 (extrusion)
Step 3—Formulate the constraints بناء القيود Max Z = $34 x1 + $40 x2 x x2  48 (extrusion) 22

Linear Programming Max Z = $34 x1 + $40 x2
Step 3—Formulate the constraints Max Z = $34 x1 + $40 x2 4 x1 + 6 x2  48 (extrusion) Finally the coefficients are added to the equation. Again the arrow will disappear automatically. Coefficients المعاملات 23

Linear Programming Max Z = $34 x1 + $40 x2
Step 3—Formulate the constraints Max Z = $34 x1 + $40 x2 4 x1 + 6 x2  48 (extrusion) 24

2 x1 + 2 x2  18 (Cutting & screwing ) 2 x1 + x2  16 (Inspection)
Linear Programming Step 3—Formulate the constraints Max Z = $34 x1 + $40 x2 4 x1 + 6 x2  48 (Extrusion) 2 x1 + 2 x2  18 (Cutting & screwing ) 2 x x2  16 (Inspection) The remaining two constraint equations are added to the slide. While the authors correctly stress the nonnegativity equations, these have been left off the slide for design and legibility reasons. 25

Linear Programming Max Z = $34 x1 + $40 x2 x1  0 x2  0
Step 4—Identify any upper or lower bounds on the decision variables.تحديد الحدود العليا والدنيا لمتغيرات القرار Max Z = $34 x1 + $40 x2 4 x1 + 6 x2  48 (Extrusion) 2 x1 + 2 x2  18 (Cutting & screwing ) 2 x x2  16 (Inspection) x1  0 x2  0 25

يتوفر لدى الشركة 200 مضخة و 1566 ساعة عمل و 2880 قدم من الانابيب
An Example LP Problem Blue Ridge Hot Tubs produces two types of hot tubs: Aqua-Spas & Hydro-Luxes. تنتج الشركة نوعان من الأحواض Aqua-Spa Hydro-Lux النوع الثاني النوع الاول Pumps 1 1 Labor 9 hours 6 hours Tubing 12 feet 16 feet Unit Profit $350 $300 There are 200 pumps, 1566 hours of labor, and 2880 feet of tubing available. يتوفر لدى الشركة 200 مضخة و 1566 ساعة عمل و 2880 قدم من الانابيب

Formulating LP Model: By Example
0. Understand the problem. تفهم المشكلة 1. Identify the decision variables. تحديد متغيرات القرار X1=number of Aqua-Spas to produceعدد الاحواض المنتج من النوع الاول X2=number of Hydro-Luxes to produceعدد الاحواض المنتج من النوع الثاني 2. State the objective function as a linear combination of the decision variables. تعريف دالة الهدف وبنائها باستخدام متغيرات القرار MAX: 350X X2 3. State the constraints as linear combinations of the decision variables تعريف القيود وبنائها باستخدام متغيرات القرار 1X1 + 1X2 <= 200 } pumps 9X1 + 6X2 <= 1566 } labor 12X1 + 16X2 <= 2880 } tubing 4. Identify any upper or lower bounds on the decision variables. تحديد الحدود العليا والدنيا لمتغيرات القرار X1 >= 0 , X2 >= 0

Summary of the LP Model for Blue Ridge Hot Tubs
MAX 350X X2 S.T. 1X X <= 200 9X X2 <= 1566 12X1 + 16X2 <= 2880 X1 >= 0 X2 >= 0

مثال: شطائر اللحم يقوم جزار بعمل شطائر اللحم بتكوين من لحم بقري ولحم ماعز. يحتوي لحم البقر على %80 لحم و %20 دهون ويكلف 24 جنيه لكل كيلو في حين ان لحم الماعز على %68 لحم و %32 دهون ويكلف 18 جنيه لكل كيلو. ماهي كمية اللحم من كل نوع يجب ان يستخدمها المحل في كل كيلو من شطائر اللحم اذا علمت انه يجب تخفيض التكاليف والمحافظة علي نسبة الدهون. بحيث لا يزيد عن %25؟

حل مثال شطائر اللحم تحديد المتغيرات: تحديد دالة الهدف:
نفرض ان وزن لحم البقر المستخدم في الكيلو = X نفرض ان وزن لحم الماعز المستخدم في الكيلو = Y تحديد دالة الهدف: تصغير Min Z = 24X + 18Y

حل مثال شطائر اللحم 3. تحديد القيود(المحددات): 0.20 X + 0.32 Y ≤ 0.25
القيد الثاني: ويجب ان يكون وزن لحم البقر و لحم الماعز مجتمعين في كل كيلو من الشطائر هو كيلو واحد. X + Y = 1 القيد الثالث: قيد عدم السلبية X ≥ 0 , Y ≥ 0

حل مثال شطائر اللحم 4. النموذج الرياضي: Min Z = 24 X + 18Y تصغير ٍ S.T
4. النموذج الرياضي: Min Z = 24 X + 18Y تصغير ٍ S.T 0.20 X Y ≤ 0.25 X + Y = 1 X, Y ≥ 0

LP Example: baseball gloves قفازاتِ البيسبول
شركة تنتج نوعان مختلفان من قفازاتِ البيسبول النوع الأول قفاز عادي والنوع الثاني قفاز ممتاز. يتم إنتاج القفازات علي ثلاثة مراحل متتالية. المرحلة الأولى التقطيع والخياطة والمرحلة الثانية التشطيب والمرحلة الثالثة التعبئة والشحن. يتوافر لدي الشركة 900 ساعةُ إنتاج في مرحلة التقطيع والخياطة ، 300 ساعة إنتاج في مرحلة التشطيب، و100ساعة في مرحلة التغليف والشحن.علما بأنّ متطلباتَ وقتِ الإنتاجَ ومساهمةَ الربحَ لكُلّ وحدة مُنتَج متوفرة بالجدول التالى، قم ببناء نموذج البرمجة الخطية الذي يعبر عن تلك المشكلة بافتراضْ أن الشركةَ تُهتَمُّ بتحقيق حدّ أقصى من الربح الكلي. 15

LP Example: baseball gloves قفازاتِ البيسبول
300 900 100 الربح/الوحدة التعبئة والشحن التشطيب التقطيع والخياطة النوع 5 SR 0.125 0.5 1 عادي 8 SR 0.25 0.333 1.5 محسن X Y التشطيب التقطيع والخياطة) 900 h/w 300 h/w 100 h/w Production Processesعمليات الانتاج التغليف والشحن 15

LP Example: baseball gloves حل مثال: قفازاتِ البيسبول
1) Decision variables متغيرات القرار number of regular gloves to be produced عدد المنتج من النوع الاول number of catcher’s mitts to be producedعدد المنتج من النوع الثاني 2) Objective function دالة الهدف maximize the total profit contribution تعظيم هامش الربح 3) Constraints القيود cutting&sewing: 900 hours available عدد الساعات المتاحة للتقطيع والخياطة finishing: 300 hours available عدد الساعات المتاحة للتشطيب packaging&shipping: 100 hours available عدد الساعات المتاحة للتعبئة والشحن 16

LP Example: baseball gloves حل مثال: قفازاتِ البيسبول
1) Let x1 = number of regular gloves x2 = number of catcher’s mitts 2) Max z = 5x1 + 8x2 3) s.t. 1x x2  900 (Cut&Sew) 0.5 x x2  300 (Finishing) 0.125x x2  100 (Pack&Ship) x1, x2  0 (Nonnegativity) 17

Wershon Suit Company Jackets Slacks Available Profit, $/unit 10 15
Material, Square yards Person Hours How many jackets and slacks should be produced ? كم عدد الوحدات من كل نوع يجب انتاجه 25

Wershon Suit Company Type of Objective Function Variable Definition
Maximize Profit Variable Definition J = number of jackets produced / week S = number of slacks produced / week 25

Max Z = $34 J + $40 S ST 2 J + 5 S  50 (Material)
Wershon Suit Company Max Z = $34 J + $40 S ST 2 J + 5 S  50 (Material) 4 J + 2 S  36 (sewing) J , S  (Nonnegativity) 25

Blending Problem المزج (الخلط)
تُنتجُ احدى شركةُ النفط الكبيرةُ نوعين من الجازولينُ ، جازولين عادي وجازولين محسن لمحطاتِ الخدمة. تَصْنعُ المصفاةُ مُنتَجاتُ الجازولينَ بمَزْج مكوّني الزيت الثقيل والخفيف معا. يباع الجازولينَ العادي بـ 1.25$ لكلّ جالونِ ويباع الجازولين المحسن بـ1.40$ لكلّ جالونِ. لفترةِ الإنتاجِ الحاليةِ، حَصلَت الشركة على 4000 جالونِ مِنْ الزيت الخفيف بـ 0.9$ لكلّ جالونِ و6000جالون مِنْ الزيت الثقيل بـ 1$ لكلّ جالونِ. تُحدّدُ مواصفاتُ الإنتاج للجازولينِ العادي و المحسن كمياتِ كُلّ مكوّن من الزيوت الذي يُمْكِنُ أَنْ يُستَعملَ في كُلّ مُنتَج جازولينِ. يتكون الجازولينِ العادي من الزيت الخفيف الي الزيت الثقيل بنسبة 75 الي 50 علي التوالي. في حين نسبة الزيت الخفيف الي الزيت الثقيل في الجازولين المحسن بنسبة 50 الي 75 علي التوالي. تتساءل الشركة عن كيفية خلط المكوّنين لإنتاج نوعي الجازولينَ الذي يحقق اكبر ربح ممكن . 22

Gasoline Blending خلط الجازولين
Prem. Reg Cost Stock gal gal. $/gal. gal. المخزون التكاليف الجازولين الجازولين العادي المحسن Price, $/gal.السعر Light Oil زيت خفيف Heavy Oil زيت ثقيل At least 60% of all gasoline must be Regular يجب ان ينتج 60% من الانتاج من الجازولين العادي Find the maximum profit gasoline mix. اوجد كميات الخلط التي تحقق اكبر ربح 25

Gasoline Blending خلط الجازولين(النموذج الرياضي)
Type of Objective Function ? Maximize Net Revenue Variable Definition متغيرات القرار P = Number of premium gallons produced كمية المنتج من الجازولين المحسن R = Number of regular gallons produced كمية المنتج من الجازولين العادي H = Number of heavy crude gallons used كمية المستخدم من الزيت الثقيل L = Number of light crude gallons used كمية المستخدم من الزيت الخفيف 25

Gasoline Blending خلط الجازولين(النموذج الرياضي)
Max Z = 1.4 P R L H ST H = 0.75 P R L = 0.50 P R H  6000 L  4000 R  0.6 (R+P) R, P, H, L  0 25

Gasoline Blending: Two Variables خلط الجازولين(النموذج الرياضي)
Max Z = 1.4 P R - 0.9 (0.50 P R) 1.0 (0.75 P R) ST (0.75 P R)  6000 (0.50 P R)  4000 R  0.6 (R+P) R, P  0 25

Gasoline Blending: Two Variables
Max Z = 1.4 P R - 0.9 (0.50 P R) 1.0 (0.75 P R) ST (0.75 P R)  6000 (0.50 P R)  4000 R (R+P)  0 R, P  0 25

Gasoline Blending: Two Variables خلط الجازولين(النموذج الرياضي)
Max Z = 1.4 P R - 0.9 (0.50 P R) 1.0 (0.75 P R) ST (0.75 P R)  6000 (0.50 P R)  4000 0.4 R - 0.6P  0 R, P  0 25

Portfolio Problem محفظة الاوراق المالية
يمتلك احد المستثمرين 100,000 ريال و يَبْحث عن فرصِ استثمارية لتلك الاموال. وقد اَوصي احدي المُحلّلينَ الماليين للمستثمر بأن يستثمر ّ كُلّ المبلغَ في صناعةِ النفط، صناعة فولاذ، أَو في السندات الحكومية. بشكل مُحدّد، ميّزَ المُحلّلَ 3 فرصَ استثمار: نفط المحيط الهادي، فولاذ وسط الغرب، وسندات حكومية بمعدلات العائد السنوي المُتوقّعةِ مِنْ 10.3 %, 6.4%، و4.5 %، على التوالي. فَرضْ المستثمر ثلاثة تعليمات استثمارية. (1) لا يستثمر اكثر من 50,000 ريال في اين من النفطَ أَو صناعةَ الفولاذ مِنْ مجموعِ الاستثمارات. (2) يَجِبُ أَنْ تَكُونَ السندات حكومية على الأقل 25 % مِنْ الاستثمارات في صناعةَ الفولاذ. (3) حيث ان الاستثمار في نفطِ المحيط الهادي ذو عائد عالي ولكن المخاطرة عالية جداً، لذا لا يجب أَنْ يستثمر به أكثر مِنْ 50 % من مجموعِ الاستثمارات. بناء على ما سبق فما هو التوزيع الأمثل لمبلغ 100,000 ريال علي الثلاثة فرص استثمارية والذي يحقق اكبر عائد استثماري؟ 18

Portfolio Problem Let P = dollars invested in Pacific Oil
M = dollars invested in Midwest Steel G = dollars invested in Government bonds Max z = 0.103P M G (Total return for the portfolio) S.T. P + M + G = 100,000 (Fund availability) P  50,000 (Guideline #1) M  50,000 (Guideline #1) G  0.25 M (Guideline #2) P  0.50 (P + M + G) (Guideline #3) P, M, G  0 (Nonnegativity) 19

Production&Inventory Control التحكم في الانتاج والمخزون
قسم تخطيط الانتاج بشركة النصر للسيارات تريد تخطيط الانتاج للاربعة اربع القادمة من العام لاحدى انواع سياراتها. الجدول التالي يعرض التكاليف ذات العلاقة و حجم الطلب على السيارات . تكلفة الاحتفاظ بكل سيارة للربع التالي. تكلفة انتاج السيارة في كل ربع . تريد الشركة معرفة عدد السيارات المنتجة في كل ربع من العام التالي والذي يقلل التكاليف الكلية. علما بان المخزن يحتوي علي 20 سيارة من نفس النوع. تكلفة الانتاج Production Cost/unit تكلفة الاحتفاظ بالمخزون Inventory Holding Cost/unit Quarter الربع Demand الطلب 1 200 $2000 $100 2 100 $1950 $100 3 120 $2100 $100 4 180 $2000 $100 24

Production&Inventory Control التحكم في الانتاج والمخزون
Let qi = quantity to produce in quarter i, i = 1, 2, 3, 4 الكمية المنتجة في الربع i Ii = inventory at the end of quarter i, i = 1, 2, 3, 4 الكمية المخزنة في نهاية الربع i Min 2000q q q q I I I I4 s.t. I1 = 20 + q1 – 200 I2 = I1 + q I3 = I2 + q I4 = I3 + q qi, Ii  0, i = 1, 2, 3, 4 Inventory Balance Equation: معادلة المخزون Inventory Balance Equation: Ending Inventory = Beginning Inventory + Production – Demand نهاية المخزون = بداية المخزون + الانتاج - الطلب 25

Blending Problem المزج (الخلط)
تُنتجُ احدى شركةُ النفط الكبيرةُ نوعين من الجازولينُ 91 ونوع 95ُ لمحطاتِ الخدمة. تَصْنعُ المصفاةُ مُنتَجاتُ الجازولينَ بمَزْج مكوّني النفطِ. إنّ الجازولينَ 91 يباعُ بـ 1.00$ لكلّ جالونِ والجازولينِ 95 يباع بـ1.08$ لكلّ جالونِ. لفترةِ الإنتاجِ الحاليةِ، حَصلَت الشركة على 5000 جالونِ مِنْ المكوّنِ الاول بـ 0.50$ لكلّ جالونِ و10,000 جالونِ مِنْ المكوّنِ الثاني بـ 0.60$ لكلّ جالونِ. تُحدّدُ مواصفاتُ الإنتاج للجازولينِ 91 و 95 كمياتِ كُلّ مكوّن الذي يُمْكِنُ أَنْ يُستَعملَ في كُلّ مُنتَج جازولينِ. نسبة مئوية المكوّنِ الاول في الجازولينِ 91 يَجِبُ أَنْ يَكُونَ على الأغلب 30 %، ونسبة مئوية المكوّنِ الثاني في الجازولينِ 91 يَجِبُ أَنْ يَكُونَ على الأقل 40 %. نسبة مئوية المكوّنِ الاول في الجازولينِ 95 يَجِبُ أَنْ يَكُونَ على الأقل 25 %، ونسبة مئوية المكوّنِ الثاني في الجازولينِ 95 يَجِبُ أَنْ يَكُونَ على الأغلب 40 %. تتساءل الشركة عن كيفية خلط المكوّنين لإنتاج نوعي الجازولينَ الذي يحقق اكبر ربح ممكن . 22

بناء النموذج الرياضي لمشكلة المزج (الخلط)
متغيرات القرار: Let xij = gallons of component i used in gasoline type j. i = 1, 2, j = R, P x1R تمثل كمية المكون الاول المستخدمة في الجازولين العادي (91) x2R تمثل كمية المكون الثاني المستخدمة في الجازولين العادي(91) x1P تمثل كمية المكون الاول المستخدمة في الجازولين المحسن(95) x2P تمثل كمية المكون الثاني المستخدمة في الجازولين المحسن (95) دالة الهدف : تعظيم الربح = المبيعات - التكاليف = سعر بيع اللتر * الكميات المباعة – سعر شراء اللتر من المكونات * كميات المكونات = (سعر اللتر من النوع العادي *( x1R+ x1R) + سعر اللتر من النوع المحسن *( x1p+ x1p) - (تكلفة اللتر من المكون الاول *( x1R+ x1R) + تكلفة اللتر من المكون الثاني *( x1p+ x1p) Max z = 1.00(x1R + x2R) (x1P + x2P) (x1R + x1P) (x2R + x2P) 23

القيود : s.t. x1R + x1P  5000 x2R + x2P  10,000 x1R  0.30 (x1R + x2R) x2R  0.40 (x1R + x2R) x1P  0.25 (x1P + x2P) x2P  0.40 (x1P + x2P) xij  0 for all i and j (Nonnegativity) (Availability) حجم المتاح (Regular specification) مواصفات 91 (Premium specification) مواصفات 95 23

Let xij = gallons of component i used in gasoline type j. i = 1, 2, j = R, P Max z = 1.00(x1R + x2R) (x1P + x2P) (x1R + x1P) (x2R + x2P) (Total profit contribution) s.t. x1R + x1P  5000 x2R + x2P  10,000 x1R  0.30 (x1R + x2R) x2R  0.40 (x1R + x2R) x1P  0.25 (x1P + x2P) x2P  0.40 (x1P + x2P) xij  0 for all i and j (Nonnegativity) (Availability) حجم المتاح (Regular specification) مواصفات 91 (Premium specification) مواصفات 95 23

Product Mix Problem TJ’s, Inc., makes 2 nut mixes for sale to grocery chains in the states. The 2 mixes, referred to as the Regular Mix and the Deluxe Mix, are made by mixing different percentages of 3 types of nuts. In preparation for the fall season, TJ’s has just purchased 6000 pounds of almonds, 6000 pounds of pecans, and 7500 pounds of walnuts. The Regular Mix consists of 30% almonds, 20% pecans, and 50% walnuts. The Deluxe Mix consists of 35% of almonds, 30% pecans, and 35% walnuts. TJ’s accountant has analyzed the cost of packaging materials, sales price per pound, and other factors and has determined that the profit contribution per pound is $1.65 for the Regular Mix and $2.00 for the Deluxe Mix. TJ’s is committed to using the available nuts to maximize total profit contribution over the fall season. 20

Product Mix Problem Let R = amount of regular mix (pounds)
D = amount of deluxe mix (pounds) Max z = 1.65R D (Total profit) s.t. 0.3R D  (Availability with 0.2R + 0.3D  ingredient 0.5R D  specifications) R, D  (Nonnegativity) 21

Scheduling Problem The personnel manager must schedule a security force in order to satisfy staffing requirements shown below. Each worker has an eight hour shift and there are six such shifts each day. The starting and ending time for each of the 6 shifts is also given below. The personnel manager wants to determine how many people need to work each shift in order to minimize the total number of officers employed while satisfying the staffing requirements. Time # Officers Required Shift Shift Time 12am-4am 5 1 12am-8am 7 15 12 9 4am-8am 8am-noon noon-4pm 4pm-8pm 8pm-12am 4am-noon 8am-4pm noon-8pm 4pm-12am 8pm-4am 2 3 4 6 26

Scheduling Problem Let xi = number of officers who work on shift i, i = 1, ..., 6 Min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 (Total number of officers employed) s.t. x6 + x1  5 (12am-4am) x1 + x2  7 (4am-8am) x2 + x3  15 (8am-noon) x3 + x4  7 (noon-4pm) x4 + x5  12 (4pm-8pm) x5 + x6  9 (8pm-12am) xi  0, i = 1, ..., 6 (Nonnegativity) 27

اختيار وسيلة اعلان تسويقي
Medium Audience Reached Per Ad Cost Per Ad($) Maximum Ads Per Week TV spot (1 minute) 5,000 800 12 Daily newspaper (full-page ad) 8,500 925 5 Radio spot (30 seconds, prime time) 2,400 290 25 Radio spot (1 minute, afternoon) 2,800 380 20

Win Big Gambling Club : Maximize + 2800 2400 8500 5000 X : to Subject
3 2 1 X : to Subject ) spots/week TV (max 12 X 1 ads/week) newspaper max 5 2 ( X ) spots/week radio sec. - 30 max 25 3 ( X ) spots/week radio min. - 1 (max 20 4 X budget) ad weekly + 8000 380 290 925 800 4 3 2 1 ( X expense) radio (max 1800 380X 290X 4 3 + ) spots/week (min 5 X

Win Big Gambling Club : Maximize + 2800 2400 8500 5000 X : to Subject
3 2 1 X : to Subject 12 X 1 X 5 Line things up! 2 X 25 3 X 20 4 800 X + 925 X + 290 X + 380 X 8000 1 2 3 4 X + X 5 3 4 290X + 380X 1800 3 4

Manufacturing Applications
Production Mix - Fifth Avenue Variety of Tie Selling Price per Tie ($) Monthly Contract Minimum Demand Material Required per Tie ( Yds) Require ments All silk 6.70 6000 7000 0.125 100% silk All polyester 3.55 10000 14000 0.08 Poly- cotton blend 1 4.31 13000 16000 0.10 50% poly/50% Poly- 4.81 6000 8500 0.10 30% cotton - poly/70% blend 2 cotton

Fifth Avenue 4.00X 3.56X 3.07X 4.08X : Maximize + 1) blend max,
2 1 + 1) blend max, (contract X 16000 2) 8500 min, 6000 13000 polyester) all 14000 1000 silk) 7000 to Subject cotton) (yards 1600 07 05 . 3000 03 08 of 800 125

Truck Loading - Goodman Shipping Item Value ($) Weight ( lbs) 1 22,500 7,500 2 24,000 3 8,000 3,000 4 9,500 3,500 5 11,500 4,000 6 9,750

Goodman Shipping 1 10000 3500 4000 3000 7500 9750 11500 9500 8000 24000 22500 6 5 4 3 2 + X (Capacity) : to Subject value load Maximize

Blending Problem - Low Knock Oil Company Crude A(%) B(%) Cost/Barrel Oil ($) Type X100 35 55 30.00 X220 60 25 34.80

Low Knock Oil Company 25 05 15 10 32000 25000 80 34 30 £ - ³ + X . :
25 05 15 10 32000 25000 80 34 30 4 2 3 1 - + X . : to Subject Minimize

Thanks

The Principle of Choice
What criteria to use? Best solution? Good enough solution? Selection of a Principle of Choice A decision regarding the acceptability of a solution approach Normative Descriptive Political

Summary of the LP Model for Blue Ridge Hot Tubs
MAX 350X X2 S.T. 1X X <= 200 9X X2 <= 1566 12X1 + 16X2 <= 2880 X1 >= 0 X2 >= 0

Solving LP Problems: An Intuitive Approach
Idea: Each Aqua-Spa (X1) generates the highest unit profit ($350), so let’s make as many of them as possible! How many would that be? Let X2 = 0 1st constraint: 1X1 <= 200 2nd constraint: 9X1 <= or X1 <=174 3rd constraint: 12X1 <= or X1 <= 240 If X2=0, the maximum value of X1 is 174 and the total profit is $350*174 + $300*0 = $60,900 This solution is feasible, but is it optimal? No!

Farmer Spanky Pigs Type of Objective Function Minimize Cost
Variable Definition Alfa = Pounds of Alfalfa used in mix Bukw = Pounds of Alfalfa used in mix 25

3 Alfa + 5 Bukw  50 (Vitamin A) 8 Alfa + 8 Bukw  32 (Vitamin B)
Farmer Spanky Pigs Min Z = $ 7 Alfa + $ 9 Bukw ST 3 Alfa + 5 Bukw  50 (Vitamin A) 8 Alfa + 8 Bukw  32 (Vitamin B) 7 Alfa + 2 Bukw  14 (Vitamin) Alfa , Bukw  (Nonnegativity) 25

Prelude to Linear Programming
8 small blocks 6 large blocks Table: Profit = $8 each Chair: Profit = $5 each 13

Linear Programming (LP)
General Description Problem: to determine decision variables Objective: to maximize or minimize an objective function Restrictions: represented by constraints Solution methods: graphical, simplex, computer 14

Dr. Mahmoud Mostafa El_Sherbiny

Similar presentations

Presentation on theme: "Dr. Mahmoud Mostafa El_Sherbiny"— Presentation transcript:

Similar presentations

About project

Feedback

Log in

Auth with social network:

Dr. Mahmoud Mostafa El_Sherbiny

Similar presentations

Presentation on theme: "Dr. Mahmoud Mostafa El_Sherbiny"— Presentation transcript:

Similar presentations

About project

Feedback