1. 第三章 电路定理 ①叠加定理 ② 替代定理 ③ 戴维南定理（诺顿定理 ) ④最大功 率传输定理 ⑤特勒根定理 ⑥互易定理 ⑦对偶原理。 从电阻电路的分析中，我们可以循到线性电阻电路分析的一 些规律，可以将其当做一般性定理来使用。它们分别是： 第一节 叠加定理 一．定理陈述及其解释性证明 1 ．定理陈述：在线性电路中，任一支路的电流或电压是 独立源 ( 激励 ) 电路中各个独立源 ( 激励 ) 分别作用时在该支路中产生的电 流或电压的代数和。 a R1R1 R3R3 + U S1 - I1I1 I S2 - U S3 + 分析图中 U a 、 I 1 与各个激励的关系

2. 叠加定理 R1R1 R3R3 I1′I1′ ＋ U S1 － a U S1 单独作用时 (I S 不作用时开路， U S 不 作用时短路 ) ： R1R1 R3R3 I S2 I1″I1″ 单独作用时 U S3 单独作用时： R1R1 R3R3 - U S3 + I 1 111 显然有 ( 注意到 I 1 " 与 I 1 的参考方向相反 )

3. 叠加原理证明 ２．解释性证明： 线性电路独立变量方程是线性代数方程，其方程右端项与各 电源成正比，由克莱姆法则知独立变量与各电源成正比，再由 支路 VAR 可知各支路 u 、 i 亦与各电源成正比。 二．使用叠加定理的注意点 1 、叠加定理是线性电路叠加特性的概括表征，其重要性不仅仅在于 可用叠加法分析电路本身（分解为简单电路），更重要的是在于它 为线性电路的定性分析和一些具体的计算方法提供了理论依据。 不能用来计算功 3 、只适用于线性电路中求解电压与电流响应，而不能用来计算功 率 率。这是由于只有线性电路中的电压或电流才是激励的一次函数， 注意各电压或 而功率与激励不再是一次函数关系。求 “ 代数和 ” 时要注意各电压或 电流的参考方向。 2 、若 u S 不作用，则短接之，若 i S 不作用，则开路之；而受控源不是 受控源始终保留在电路 激励，即作图分解时受控源始终保留在电路中，此外，定理中 “ 各个 独立源 ” 可换为 “ 各组独立源 ”( 分组叠加 ) 。 Ua Ua Ua Ua =K 1 U S1 =K 1 U S1 + K 2 I S2 K 2 I S2 + K 3 U S3 4 、当线性电路只有一个激励时，则激励扩大 K 倍，任意支路的响应 齐次性线性性质包括 也扩大 K 倍。这称为线性电路的齐次性。实际上：线性性质包括 叠 加性 ( 可加性 ) 和 加性 ( 可加性 ) 和 齐次性 ( 比例性，均匀性 ).

4. 例1： 例1： 求图 (a) 中的 u ab 、 i 1 ． (a) 6Ω3Ω 1Ω - 6V + + 12V - 2A 3A i1i1 ab (b) 6Ω3Ω 1Ω 3A i1′i1′ ab (c) 6Ω3Ω 1Ω - 6V + + 12V - 2A i1″i1″ ab 解：本电路用叠加法，可以化为简单 电路的计算。又电路中的激励独立源 数目较多，一个个地叠加较烦，为此， 我们采用 “ 分组叠加 ” 的方法： ① 3A 电流源单独作用时（图 (b) ）： ②其它独立源共同作用时（图 (c) ）：

5. 例 2 ．图示电路中 N S 为有源线性三端口网络， 已知： I S1 =8A 、 U S2 =10V 时， U X =10V ； I S1 =–8A 、 U S2 = – 6V 时， U X = – 22V ； I S1 =U S2 =0 时， U X = – 2V ；试求： I S1 =2A 、 U S2 =4V 时， U X =？=？ ＋ UX － ＋ UX － I S1 ＋ U S2 － NSNS 解：可根据叠加性用 “ 待定系数法 ” 求解：即可设： UX UX =K 1 I S1 +K 2 U S2 +K 3 其中 K 3 为 N S 内部所有独立源对 UX UX 所产生的贡献。于是有 不 若为无源线性网络，则不考虑内部电源的作用

6. 第二节 替代定理 ( 置换定理 ) 给定 一．定理陈述：在给定的线性或非线性电路中，若已知 第 k 条支路的电压 u K 和电流 i K ，则该支路可以用下列任何 一种元件来替代： ⑴ uS uS = u K 的电压源； ⑵ i S = i K 的电 流源； ⑶ 若pK吸 若pK吸 ＞ 0 ，则可替代为 R K =|u K ／ i K | 的电阻。 若替代前后电路均具有唯一解，则替代后电路中各支路 的电压与电流均保持为原值。 2 ）替代前后电路均具有唯一解，因此替代后① u K 不变； ②其它各支路的电压、电流不变 1 ）设第 K 条支路用 i S = iK iK 来替代，则替代前后① i K 不变； ②其它支路 VAR 未变；③ KCL 、 KVL 未变； 二．定理的证明： 这相当于数学上将具有唯一解的一组方程中的某一未知 量用其解答代替，不会引起方程中其它任何未知量的解 答在量值上有所改变。 三 ．定理的应用：

7. 替代定理应用 ① 大网络的 “ 撕裂 ” ： i2i2 B C A i1i1 A i2i2 i1i1 B i1i1 i2i2 C 替代定理推广用于二端网络时，要求该二端 网络内部某部分电压或电流不能是外部受控 源的控制量。 ② 某些线性电路问题的解决 ( 如定理的证明 ); ③ 具有唯一解非线性电路问题的简化分析。 i +u-+u- N i +u-+u- N ④ 是测试或试验中采用假负载的理论依据。 作业：习题卡 3-1 ， 3 ， 5

8. 第三节 戴维南定理与诺顿定理 一．戴维南定理 1 ．定理陈述：任何一个含独立源、线 性电阻、线性受控源的一端口网络 N S ， 对于外电路来说都可以等效成为有伴电 压源 (u OC 与 R i 的串联组合 ) ，其中： u OC ── N S 端口的开路电压， R i ── N S 的 “ 除源电阻 ” ；是指将 N S 内所有的独立源令为零 ( 将 u S 短路， 将 i S 开路 ) 时的入端电阻 ( 除源后的一 端口用 N 0 表示 ) 。 NSNS i +u-+u- 外电路外电路 (a) i +u-+u- 外电路外电路 (b) RiRi +Uoc–+Uoc– 2 ．定理证明： 开路 NSNS + u'= u OC - NONO i + u" - i RiRi i + u"= － R i i - i NSNS i + u - i 替代定理 因此 u= u ‘ +u “ = u OC -R i i 如图（ b ），定理证毕。

9. 方法二：同时求出 u OC 、i 、i SC ， 则： R i =u OC ／ i SC 但当 u OC =0 时， i SC 也为零，此时就不能用上式求 R i 方法三：若除源后 N 0 为含受控源电阻电路 ① 求出 u OC 、 i SC 二者之一； ② 对除源网络 N 0 用外施电源法或控制量为 “1” 法求 R i 方法四 ( 一步法或激励－响应法 ) ：直接对 N S 求解 端口的 VAR ，若求得为 u’ u’ =A+B i’ 则由戴维南等 效电路知： u OC =A ， R i =B ．（当求 u OC 或 i SC 的 电路仍然较复杂时用此法的计算量最少） NSNS i'i' +u'-+u'- +uS-+uS- 方法五：等效变换一步步化简。若 N S 中含受控源，则化简后还 得用上述方法二、三与四才能得到最终结果。 方法六：实验测量法（限于直流电路）： + U R - + U OC - R i I ①测开路电压 U OC ； ②允许短路时测 I SC ，则 R i =U OC ／ I SC ; 否则用一 R 作为外电路并 测其 U 、 I ， 此时，

10. 二．诺顿定理 1 ．定理陈述：任何一个含独立源、线性 电阻、线性受控源的一端口网络 N S ，对 于外电路来说都可以等效成为有伴电流 源 (i SC 与 G i 的并联组合 ) ，其中： i SC ── N S 端口的短路电流； i SC 方向由 u 的 “ + 极 ” 沿外电路至 “ - 极 ” ！ G i =1 ／ R i ── N S 的 “ 除源电导 ” ； 2 ．定理证明：先将 N S 等效为戴维南等 效电路，再用有伴电源等效变换即证。 由等效关系可知： i SC = i| u=0 = u OC ／ R i. NSNS i +u-+u- 外电路外电路 (a) 三．戴维南等效电路或诺顿等效电路的求法 方法一 ( 若除源后 N 0 为简单纯电阻电路 ) ： ①求 u OC 、 i SC 二者之一，其中： u OC ─ 令端口 i=0( 开路 ) ，对电路用已知方法计算之； i SC ── 令端口 u=0( 短路 ) ，对电路用已知方法计算之； ②对除源网络 N 0 ( 简单纯电阻电路 ) 用串、并联的方法求出 R i ． i i SC 外电路外电路 (b) +u–+u– GiGi

11. 例 1 ．试分别求当负载电阻 R L 为 7Ω 和 17Ω 时电流 I 之值 解：此题特点：求解量均在 R L 支路 (a 图 ) 。最好选用戴维南定理 （或诺顿定理）求解, 可用方法一求解： ①求 U OC: 其最简单的解法是用回路法 (b 图 ) ： ②对除源后的简单电阻电 路用串并联的方法求 R i ： ③由戴维南等效电路求 I ： IRL IRL ＋ 4V － 9Ω 此题若用独立变量法，则对 R L 的 两个值将求解两次方程，可见上 述解法简化了计算。 3Ω 20Ω 4Ω 8Ω RLRL - 16V + 1A I abab a 32I 1 -20×1=16 ， 得 I 1 = 9 ／ 8A, U OC =–8I 1 +16–3×1=4V abab b 3Ω 20Ω 4Ω 8Ω - 16V + 1A I1I1 + U OC - 3Ω 20Ω 4Ω 8Ω abab RiRi c

12. 例 2 ．求右边电路的最简等效电路。 解法一：求 U OC 、Ri、Ri ②除源（受控源不得除去）求 R i （图 b ） 消去非端口变量 I 1 得： R i =15Ω ； + 20V - 15Ω a+U-ba+U-b I 5Ω5Ω 10Ω 5Ω5Ω 1Ω1Ω + 12V - 2I12I1 I1I1 I a+U-ba+U-b a 5Ω5Ω 10Ω 5Ω5Ω 1Ω1Ω 2I12I1 I1I1 I a+U-ba+U-b b ① I =0 求 U OC. （图 a ）

13. 解法二：同时求 U OC 与 I SC ① U OC 的求法同解法一 ②求 I SC 对应的电路如图 c ： 5Ω 10Ω 5Ω 1Ω + 12V - 2I12I1 I1I1 I c I SC I3I3 I2I2 由 KVL ： 5I SC -10I 1 = 0 得： I 1 =0.5I SC 从而 I 3 =I 1 +I SC =1.5I SC ， I 2 =2I 1 – I 3 = –0.5I SC 注意控制量 I 1 在不同状态时的变化：短路时 I 1 =2 ／ 3A ， 开路时 I 1 =1.5A. 解法三：一步法（直接求端口 VAR ） 由另一回路的 KVL ： 1×I 3 – 5I 2 +5I SC =12 即： (1.5+2.5+5)I SC =12 得： I SC =4 ／ 3A ；从而 R i =U OC ／ I SC =20 ／ (4/3)=15Ω 得： U=20+15I I 1 =(-5I+U) ／ 10=0.1U-0.5I （ KVL ） I 2 =I1+I =I1+I =0.1U + 0.5I （ KCL ） I 3 =2I 1 – I 2 =0.1U-1.5I （ KCL ） U=5I ＋ 5I 2 – I 3 +12 （ KVL ） U=5I+0.5U+2.5I-0.1U+1.5I+12 解法四：先等效变换化简再求解 （略）. 作业：习题卡 3-7 ， 9 ， 14 5Ω 10Ω 5Ω 1Ω + 12V - 2I 1 I1I1 I a+U-ba+U-b a I2I2 I3I3

14. 第四节 最大功率传输定理 一．最大功率传输定理的结论与证明 I a + U － R L b NSNS 问题：如图 R L =? 时， N S 传给 R L 的 P R L =P max =? I a + U - R L b + U OC - R i 得 R L =R i ，此时 R L 可获得 P max 匹配 求解：戴维南等效电路如图则有： （最大功率传输定理） 通常 U OC 发出的功率并不等于 N S 中原来电源所发出的功率，匹 配时的效率并不高，对 U OC 来讲， η 只有 50 ％ ( 对 N S ， η≠50 ％ ) 。因 此，对于强电而言，不能工作在匹配状态；但对弱信号的传输，往 往就需要实现最大功率传输。

15. 例：求 R L =? 时 P RL 吸 =P max =? RiRi + U OC - RLRL 1 1' i RLRL 20Ω 10Ω 2A 1 1' + 15V - + 5V - i 解：先进行戴维南等效：

16. 第五节 特勒根定理 一、特勒根定理１对于一个具有 n 个节点和 b 条支 路的电路，若其第 k 条支路的电压 u k 、电流 i k 取为 关联方向（ k=1,2,… ， b ），则恒有： 证明：为了简化证明，考虑 n=4 、 b=6 的电路 如图，各支路只用线段表示，线段的方向表 示支路的关联方向，并令 0 为参考节点，则： 4 ① 2 ② 3 ③ 1 5 6 0 原式 = u n1 i 1 +(u n1 -u n2 ) i 2 +(u n2 -u n3 ) i 3 +(u n1 -u n3 ) i 4 + u n2 i 5 + u n3 i 6 = u n1 (i 1 +i 2 +i 4 )+u n2 (-i 2 +i 3 +i 5 )+u n3 (-i 3 –i 4 +i 6 ) = u n1 ·0+u n2 ·0+u n3 ·0=0 用上述类似的过程，对任何具有 n 个节点和 b 条支路的集总电路， 均可证明上式成立 。 物理意义：功率平衡

17. 二．特勒根定 理２ 二．特勒根定理２：对于两个具有 n 个节 点和 b 条支路的电路 N 和 N ^ ，若它们的 拓扑结构（图）相同，设 N 与 N ^ 的对应 支路编号一致，所取关联方向相同，如 支路电流与电压分别记为 (i 1 ， i 2 ， … ， i b ) 、 (u 1 ， u 2 ， … ， u b ) 和 ( i ^ 1 ， i ^ 2 ， … ， i ^ b )、)、 ( u ^ 1 ， u ^ 2 ， … ， u ^ b ) ，则恒有： 特勒根定理２同样适用于任何集总参数电路，物理意义为拟 功率平衡 例． N 、 N' 的各支路电流均已标出，试验证特勒根定理 1 和特勒根 定理 2 b 2 b 4 b 1 b 3 b 5 0.8A5Ω ＋ 3V － － 1V ＋ 1A － 6V ＋ 5Ω ＋ 4V － N 2A 3Ω 2Ω ＋ 5V － 1A 5Ω1A

18. 特勒根定理 ２ b1b1 b2b2 b3b3 b4b4 b5b5 Σ N u34-65 i-0.80.8-0.211 u iu i-2.43.20.2-650 ^N^N u'1510523 i'-22111 u' i'-30205230 N与^NN与^N u' i-128230 u i'-68-650 可列表（ u 的单位为 V ， i 的单位为 A ， p 的单位为 W ）来验 证： 有时两个电路结构并不完全相同，可用开路或短 路来替代或填补某些支路。

19. 第六节 互易定理 “ 互易 ”─ 若线性电路只有一个激励，则该激励与电路中某个响应的 位置互换后，其激励与响应的关系保持不变（共有三种形式）： +uS-+uS- i 1 i 2 + u 2 =0 - N R +u1-+u1- 12 2'2 +uS-+uS- 12 2 + u 1 =0 - +u2-+u2- i 1 i 2 N R 一、互易定理的第一种形式：设下列两图中 N R 为同一 仅含线性电阻的网络：则 = i 2 即恒压源与短路电流响 应可互易 ) 证明：设总共有 b 条支路， 则由特勒根定理 2 ： 又 因

20. 二．互易定理的第二种形 式 i 1 i 2 +u2-+u2- N R +u1-+u1- 12 2'1' iSiS i 1 i 2 + u 2 - N R +u1-+u1- 12 2'1' iSiS 证明：此时将 ， 代入式（ * ） 证明：此时将 ； 代入式（ * ） ： i 1 i 2 + u 2 =0 - +u1-+u1- 1 2 2'2 iSiS NR NR 2 i 1 =0 i 2 + u 2 - N R +u1-+u1- 12 ＋uS－＋uS－ 三．互易定理的第三种形式：设下列两图中 N R 为同一仅含 线性电阻的网络，若 u S =i S ( 量值上 ) ，则 ( 量值上 ) 二．互易定理的第二种形式：设下列两图中 N R 为同一仅含 线性电阻的网络，则 ( 恒流源与开路电压响应可互 易 ).

21. 四、互易定理应用时的几点说明 ①式（ * ）是互易定理三种形式的统一表达式，用各种互易定理 解题时，可统一使用它，但根据其证明中使用了特勒根定理，就 要求这些端口变量取关联参考方向（对 N R 以外的端口支路而言）。 此外，若 N R 的激励端口与响应端口的总和超过２，则该式可作相 应的推广。 ②网络互易条件是两网络为同一纯电阻网络 N R ，这只是网络互易的 充分条件。若网络中还含有受控源，则有时互易！ ③响应与激励位置互换后， N R 内部支路的电压、电流一般会改变。 例．如图，求 ＋u2－＋u2－ 2A 5Ω5Ω ＋u1－＋u1－ i1 i1 i2 i2 12 1' 2' NRNR 解法一：第二种形式 解法二：直接用 (*) 式来解 ＋ 10V － 12 1' 2' i1i1 i 2 =0 NR NR 2A ＋ 5V －

22. 第七节 对偶原理 即系统中某些元素之间的关系（或方程）用对应的 另一些元素置换后，所得的新关系（或新方程）也 一定对应地成立。 电路中互为对偶的元素、变量有： u 、 R 、 L 、开路、有伴电压源、磁链、 …… 、 u OC 、节点、 节点自电导、 i S …… i 、 G 、 C 、短路、有伴电流源、电荷、 …… 、 i SC 、网孔、网 孔自电阻、 u S …… 电路中互为对偶的方程如： u=Ri ； i C =C(du C ／ dt) ； ψ L = Li L ； …… ； i=Gu ； u L =L(di L ／ dt) ； q C = Cu C ； ……. R 1 R 3 + u S 1 - i l1 R 2 i l2 + u S 3 - ①② G2G2 G1G1 G3G3 i S1 i S3 互为对偶的电路