1. ISING MODEL

2. Ising Model
מה זה?

3. מודל אייזינג זהו מודל בעיה פיסיקלית של ספינים מגנטים בחומר.

4. התהליך שמתבצע הוא שהספינים באטומים או מולקולות נפרדות מיושרים לאותו כיוון.
הספינים יוצרים סכום שדות מגנטים והם יוצרים את התופעה שנקראת מגנטיזציה.
בחומרים מגנטים רבים יש נקודת מעבר בין מגנטיזציה לאי מגנטיזציה התלויה בטמפרטורה.

5. קצת היסטוריה ארנסט אייזינג נולד בשנת 1900 בגרמניה.
ב-1924 חקר אייזינג את המקרה המיוחד של שרשרת ליניארית של מומנטים מגנטים שביכולתם להימצא בשתי פוזיציות בלבד- למעלה או למטה.
  1+
כמו כן ארנסט הוכיח שלא ניתן להסביר מגנטיזציה ספונטנית באמצעות הגירסה החד מימדית של מודל זה.

6. אבל...
פריצת הדרך האמיתית הייתה בשנת 1943 כאשר קרמר וווינר חישבו את הערך הנומרי לטמפרטורת קארי בבעיה הדו מימדית של מודל אייזינג.
אולם, הפתרון המדויק הושג ע"י אונסגר ב-1944.

7. חזרה למודל... במודל הדו-מימדי לכל ספין 2 מצבים אפשריים ספין חיובי
ספין שלילי
כאשר ע"י שינוי הטמפרטורה ניתן לראות שהמגנוט של הספינים במערך משתנה.
הערה: טמפ' קריטית היא
Tcrit=2/ln(1+sqrt2)=2.269

8. טמפרטורה נמוכה
מיגנוט גבוה
טמפרטורה גבוהה
מיגנוט נמוך

9. תכונות המיגנוט ע"י מודלים
הפרמטרים בהם נשתמש :
אנרגיה: E
עוצמת התגובה: J
מיקום במערך: i S (יכול לקבל ערכים של 0.5+)
שכן של ן S : j S(גם יכול לקבל ערכים של 0.5+)
לכל תא יש 4 שכנים.

10. מגנטיזציה:
אנרגיה:

11. דרכים לפתרון המודל 1/2
הפתרון, E(T), אנליטי עבור הבעיה הדו מימדית כאשר החישוב יבוצע ע"י סימולצית מחשב כך שעבור חישוב בטמפרטורה קבועה נפתור עבור כל האופציות האפשריות.
דוג:
עבור מערך בגודל N*N נקבל 2N^2 קונפיגורציות.

12. דרכים לפתרון המודל 2/2 ניעזר באלגוריתמים שונים לפתרון הבעיה
-מונטה קרלו
-מטרופוליס

13. מונטה קרלו
שיטת מונטה קרלו מספקת פתרון מקורב ע"י דגימות סטטיות בעזרת המחשב.
נחשב חישוב מקורב ל-PI:
נזכיר את הניסוי המתבצע.
מגרילים N נקודות בתוך הריבוע.

14. ומכאן נקבל שעבור מספר גדול של הטלות:
4* (מספר נקודות שנפלו בעיגול)/ (מספר הנקודות שנפלו בריבוע) =PI

15. שימוש באלגוריתם מטרופוליס 1/2
נגדיר פונקצית הסתברות המעבר ממצב A ל-B ע"י W תוך שימוש בעובדה שהתהליכים הם תהליכים מרקוביים. הסתברות המעבר נתונה ע"י:

16. שימוש באלגוריתם מטרופוליס 2/2
בכל צעד ננסה להפוך את מצב הספין של תא אקראי.
נחשב את שינוי האנרגיה במערכת כתוצאה מהשינוי.
אם ההפרש קטן מ-0 נקבל את השינוי במערכת.
אחרת, נקבל את השינוי רק בהסתברות
במילים אחרות, נגריל מספר r בין 0 ל-1 ו..
אם נדחה את השינוי.
אם נקבל את השינוי.

17. עבודה עם המחשב

18. בעיות מימוש באלגוריתם מטרופוליס
כאשר אנו מדברים על מודל במימדים גדולים (עם הרבה תאים), אלגוריתם מטרופוליס לא יעיל מכיוון שהוא מעדכן כל תא בנפרד.
שיטות אחרות:
באלגוריתם אחרים יש אפשרות לעדכן אזורים בו זמנית במקום תא אחר תא.
אלגוריתם אלה אינם מתאימים למיקבול מכיוון ששיטות
אלו יוצרות קבוצות לא אחידות בגודלן וצורתן.
כמו כן ישנה בעיה באיזון עומסים.
בעיה עם תקשורת רבה בין הקבוצות.

19. אבל בכל זאת...

20. מיקבול המטרופוליס להלן הסיבות ליעילות המיקבול בשיטת מטרופוליס:
נוסחת החישוב קבועה עבור כל איזור ולכן ניתן להשיג איזון עומסים טוב.
תא משפיע רק על השכנים הקבועים ולכן קיים צורך רק בתקשורת מקומית.

21. השיטות ניתן לעדכן את כל התאים מאותו צבע כי הם בלתי תלויים.
אם לכל מעבד יש יותר מ-4
תאים אז ניתן לעבור על המערך
תא תא ולא יהיה חשש שתאים
מעודכנים יהיו סמוכים
(ראה ציור).

22. ערכים גלובליים
האנרגיה והמגנטיות של המערך הם סכומים גלובלים של מידות מקומיות . קל למצוא ערכים אלה בצורה מקבילית:
חשב את המידות המקומיות. חישוב זה יכול להתבצע באופן מקבילי לחלוטין.
סכם את התוצאות של כל המעבדים. עבור MPI ניתן להשתמש בפקודה MPI_Reduce.

23. אז איך מייעלים את החישוב
יעלות המיקבול

24. יעלות במיקבול (המשך)
במודל D2 בעל N*N=S תאים בהנחה שיש לנו P*P מעבדים נקציב לכול מעבד שטח במערך s=N/P
זמן החישוב הלוקלי O (s^2)
זמן התקשורת s)) O s

25. רעיונות לשיפור המיקבול
את זמן התקשורת נחפוף עם זמן החישוב המקבילי
את ערכי תאי הגבול נשלח בפעם אחת (חיסכון Latency)
בזמן שליחת ערכי הגבול נחשב את הערכים הפנימיים

26. THE GOAL נכתוב תוכנית מקבילית ע"י MPI
ע"י רעיונות לשיפור נקבל זמן מיקבול מינימלי
נבחן את השפעת השינוי במספר
המעבדים
גודל המערך
חלוקת המערך בצורה המתאימה (איזון עומסים)
על זמן ההרצה

27. ביבליוגרפיה

28. THE END
Any questions?