1. 1 Chapter 3. 排列與組合 3.1 加法原則與乘法原則 3.2 排列 3.3 組合 3.4 Stirling’s Formula

2. 2 3.1 加法原則與乘法原則 加法原則： If one event can occur in m ways and another event can occur in n ways, there are m+n ways in which one of these two events can occur 重點在於「或」 乘法原則： If one event can occur in m ways and another event can occur in n ways, there are m*n ways in which these two events can occur 重點在於「且」「依序」 例 1. 有 5 本 Latin books, 7 本 Greek books and 10 本 French books, 則選出兩本不同語言書的可能有 幾種 ? 5*7 + 5*10 +7*10 =155

3. 3 3.2 排列 1. 異物排列： n 個物件取出 r 個排列 =r 個不同的球，放入 n 個不同的 box ，且每個 box 只能容納一個。  n(n-1)…(n-r+1) = =P(n, r) 例 1. 有 6 位男生與 6 位女生排成一列，有多少種排法？ 若只能男女相間，有多少種排法？ [ 解答 ] (1) (6+6)! = 12! (2) 第一位男生  6!*6! + 第一位女生  6!*6! ， 總共 6!*6!+6!*6! 種。

4. 4 3.2 排列 例 2. 有 n 位學生排成一圓，有多少種排法？ [ 解答 ] 先排列 n! ，在拉兩端，轉 1 個， 2 個 … ， n 個 位置  n!/n=(n-1)! 例 3. 有 6 位男生與 6 位女生排成一圓，有多少種排 法？若只能男女相間，有多少種排法？ [ 解答 ] (1) (6+6-1)! = 11! (2) 5!*6!

5. 5 3.2 排列 r 個球 (q 1 個同一種顏色， q 2 個同一種顏色， …. ， q t 個同一種 顏色 ) 放入 n 個不同的 box ，且每個 box 只能容納一個。 ( 剩下 n- r 當成同一種 )  例 4. 5 dashes and 8 dots 有多少種排法？從這 13 個中取出 7 個， 又有多少種排法？ [ 解答 ] 。

6. 6 3.2 排列 從 A 走到 B ，不是向東 (E) ，就 是向北 (N) (1) 有多少種路線？ (2) 若經過 C ，有多少種路線？ A B C [ 解答 ] A to B 有 6E4N ，有 A to C to B 有 3E2N and 3E2N ，有種 種 例 5.

7. 7 3.2 排列 例 6. 有 (k-1)! 種物品，每一種物品有 k 個，則這些物品的排 列，有多少種排法？ [ 解答 ] 例 7. Use a combinatorial argument to prove that (3n)!/(2 n *3 n ) is an integer. [ 解答 ] 有 n 種物品，每一種物品有 3 個，則這些物品的 排列，有多少種排法？ (3n)!/(3!*3!…3!)= (3n)!/(2 n *3 n )

8. 8 3.2 排列 r 個不同的球，放入 n 個不同的 box ，且每個 box 容量沒有限定。 = n 種相異物件，各有若干個，取出 r 個。  n*n*…*n = n r 例 8. 在 1 至 10000 之整數，總共有多少個整數包含 ”1” ？ [ 解答 ] 有 (10 4 -9 4 )+1 個數包含 1 。 例 9. 由 0,1,2,3 組成之 n-digit quaternary sequence 中，包含偶數 個 ”0” ，有多少個？ [ 解答 ] 2 n +(4 n -2 n )/2 個

9. 9 3.2 排列

10. 10 3.3 組合

11. 11 3.3 組合

12. 12 3.3 組合

13. 13 3.3 組合

14. 14 3.3 組合

15. 15 3.3 組合

16. 16 3.3 組合

17. 17 3.4 Stirling’s Formula n!