2. 非线性科学 中的若干逆问题 非线性科学 中的若干逆问题

3. 一、引论 : 一个逆问题的典范 —— 陈难先院士工作简介 二、 非线性科学中的逆问题 1. 逆强对称, 逆对称和逆可积梯 队 2. 从李代数到李群的逆问题 3. 求群不变解的逆问题 4. 分离变量法的逆问题

4. 一. 陈难先院士工作简介 原子链结合能的逆问题

5.  n  n 

6.  n g(x)=g(nx),T m T n g(x)=T m g(nx) =g(mnx)-> T m T n =T mn

7. 数论基本事实 : 任何一个自然数都可 以因式化成某些素数的乘积 :

8.  泰勒级数 

9. 其中

10.  provided that the convergence of sums is good enough. This can be hold in most physical problems.

11. 比热问题的反问题 — 拜公式和爱恩斯坦公式 的统一表达式及其一般化 比热问题的反问题 — 拜公式和爱恩斯坦公式 的统一表达式及其一般化

12. Einstein’s solution ? Debye’s solution?

14. This is the general solution of the inverse specific heat problem. This solution has covered not only both Einstein’s solution and Debye’s solution, but also something else.

17. 用 Μöbius 反演导出了统一解发展并 统一了爱因斯坦解和德拜解 : 统一解在低频时可表为一级数, 第一项就是德拜解 统一解在高频时也可表为一级数, 第一项就是爱因斯坦解

18. 傅立叶级数展开的反问题和保密通信

19. （方波函数）

22. 输入信号 调制信号 输入信号 调制信号

23. 调制后信号 调制后信号

24. 传输信号（理想情况） 传输信号（理想情况）

25. 传输信号（传输过程中加入白噪声的情况） 传输信号（传输过程中加入白噪声的情况）

26. 解调后信号（理想情况） 解调后信号（理想情况）

27. 解调后信号（加入白噪声情况） 解调后信号（加入白噪声情况）

28. 解调信号 低通滤波后输出信号（加入白噪声情况） 解调信号 低通滤波后输出信号（加入白噪声情况）

29. 解调信号 低通滤波后输出信号（理想情况） 解调信号 低通滤波后输出信号（理想情况）

30. 新材料设计

31. 3:29 Nd 3 (Fe,Ti) 29 -type2:17 Th 2 Zn 17 -type 1:12 ThMn 12 -type 1:12 SmZn 12 -type In future 4:41 structure 2:17 Th 2 Ni 17 -type 1:7 TbCu 7 -type 1:5 CaCu 5 -type

34. 2(RFe 5 )---->>R+Fe 2 +2Fe 5---------- >>RFe 12

35. Energy Minimization by Steepest Descent Method

36. Energy minimization by conjugate gradient method leads to the same result

37. Molecular Dynamics Using Constant NPT Method (T=300K, P=1atm.)

38. 新结构－ 4:41

39. 二、非线性科学中的逆问题 1. 逆强对称, 逆对称和逆可积梯队 2. 从李代数到李群的逆问题 3. 求群不变解的逆问题 4. 分离变量法的逆问题 5. 求确定方程对称群的逆问题............

40. 逆强对称, 逆对称和负可积梯队 强对称 ( 递推算子 ): 问题：如何从 结果： 逆强对称： 逆对称： 负可积梯队： 得到  ？

41. KdV 方程 : 强对称算子 : ( 传统观点 : 上述算子无逆 ) 逆强对称算子 : 逆对称 ( 非局域对称 ): 负可积梯队 

42. 从李代数到李群的反问题 正问题：先求李代数 （线性问题） [ 传统方法 ] 再求李群 （求解初值问题） 缺点：不能求得一般变换群 求解初值问题不易 李群表达式复杂 反问题：先求一般变换群 （非线性问题） [ 新方法 ] 再求李群 （选择子群） 再求李代数 （极限问题） 优点：克服正问题所有缺点. 例 :KP 和 DS 方程楼, 马楼, 马

43. 例 :KP 方程 : 一般假设 : 等价简化 : 结果 : ( 计算 ) 计算

44. 求群不变解的逆问题 正问题：已知对称群求严格解 方法：经典李群约化法 反问题：如何从一个已知解求 相应的对称？ 方法：循环约化法 ( 连, 楼 ) ( 连, 楼 )

45. 分离变量法的逆问题 正问题：求解一个给定非线性 方程的各种分离变量解： 多线性分离变量解 ( 唐, 楼, 阮, 胡, 钱等 ) 唐, 楼 一般多线性分离变量解 ( 唐, 楼 ) 唐, 楼 形式分离变量解 ( 曹, 李, 程, 曾, 楼, 范 等 )... 反问题：给定一种分离变量形式， 寻求所有可能用这种方法 求解的方程。 泛函分离变量法 (Zadanov, 屈, 张, 楼 ) 导数相关泛函分离变量法 ( 张, 楼, 屈 ) 张, 楼, 屈 )

46. 求确定方程对称群的逆问题 正问题：求解一个给定非线性 方程的对称变换群 反问题：给定一种对称变换群， 寻求所有具有这种对称群 的方程。 例 :KP 型方程 : SY LOU and XY Tang JMP 45 (2004) 1020

47. 例 : 具有共同 Kac-Moody-Virasoro 对称群的 KP 型方程 正问题：寻求 KP 方程的对称变换群 反问题：寻求与 KP 方程具有相同对 称群的所有方程

50. 谢谢大家