1. Теория выбора в условиях неопределенности - 2
Модель спроса на страховку как приложение теории ожидаемой полезности
Частный случай: спрос рискофоба на актуарно справедливую страховку
Контингентные блага
Модель спроса на страховку в терминах контингентных благ
Функция ожидаемой полезности в пространстве контингентных благ: иллюстрация отношения к риску

2. На какую сумму индивид застрахует свой ущерб?
Примеры использования теории ожидаемой полезности: модель спроса на страховку
- индивид-рискофоб, предпочтения описываются функцией ожидаемой полезности
- первоначальное богатство составляет w
- с вероятностью p  (0; 1) происходит несчастный случай
- если он происходит, индивид несет потери L  (0; w)
- Страховая компания предлагает индивиду застраховать ущерб:
- стоимость страховки: γ за каждую единицу покрытия (то есть, заплатив γx долларов, индивид, в случае наступления ущерба, получит возмещение x долларов).
На какую сумму индивид застрахует свой ущерб?

3. Так на какую же сумму индивид застрахует ущерб?
Индивид стремится выбрать размер покрытия x так, чтобы максимизировать свою ожидаемую полезность:
Поскольку индивид – рискофоб, v(.) – строго вогнутая функция. Функция ожидаемой полезности, таким образом, тоже оказывается строго вогнутой.
Условия первого порядка, необходимые и достаточные для ее максимизации:
Несколько непривычный вид F.O.C. связан с тем, что на рынке страховых услуг запрещено страховаться на сумму, превышающую стоимость ущерба - это считается мошенничеством!
Так на какую же сумму индивид застрахует ущерб?
Чтобы ответить, нам нужны какие-то предположения о p, γ и v(.)!

4. Давайте рассмотрим один из наиболее важных случаев: случай актуарно справедливой страховки.
Актуарно справедливой называется схема страховки, при которой цена единицы страхового покрытия равна вероятности наступления страхового случая: γ = p. В этом случае страховая компания, не имеющая иных издержек, кроме страховых выплат, имела бы нулевую прибыль при любом объеме продаваемой страховки: (γx – px = 0).
Перепишем выведенные ранее условия первого порядка, заменив γ на p. Начнем с условия (1):
Последнее равенство может выполняться только при x = L, т.к. v(.) – монотонно возрастающая функция. Но L > x >0  этот случай не является решением задачи!

5. Теперь рассмотрим случай (2):
Это условие не может выполняться, т.к. по нашим предположениям, индивид является рискофобом:
 v”(.) < 0
 v’(.) - монотонно убывающая функция, ее значения могут быть одинаковы только тогда, когда одинаковы аргументы!

6. Наконец, рассмотрим условие (3):
Именно оно и характеризует решение задачи этого индивида.
Мы приходим к важному выводу:
при актуарно справедливой страховке, рискофоб всегда страхуется на полную стоимость ущерба!

7. Контингентные блага
Для описания выбора в условиях неопределенности иногда бывает удобно переопределить понятие блага:
- Пусть S – мн-во состояний мира
- ps – объективная вероятность состояния мира s  S
Будем называть контингентным благом xis право на получение x единиц i-того физического блага в состоянии мира s.
Реальный пример контингентного блага – фьючерсный контракт.
Эта конструкция оказывается очень полезной при формулировке, например, моделей общего равновесия в экономике с неопределенностью.
Но помимо этого, она также позволяет создавать красивые и удобные иллюстрации для более простых моделей – например, модели спроса на страховку 

8. Модель спроса на страховку в терминах контингентных благ
Вернемся к модели спроса на страховку.
В ней фигурирует только одно физическое благо – деньги или богатство, и имеется два состояния мира:
L: страховой случай наступает (вероятность: p)
NL: страховой случай не наступает (вероятность: 1 – p)
Таким образом, можно задать два контингентных блага:
xL: богатство в состоянии мира L
xNL: богатство в состоянии мира NL
Предположительно, вначале агент не имеет никакой страховки, поэтому его богатство составляет w – L рублей, если страховой случай наступает, и w, если он не наступает. Таким образом, его первоначальный запас контингентных благ:
(w – L, w)

9. Выведем уравнение бюджетной линии в терминах контингентных благ:
Как и прежде, обозначим объем приобретаемой индивидом страховки за x. Тогда богатство индивида в состояниях мира L и NL описывается следующей системой уравнений:
Эта система задает уравнение бюджетной линии параметрически; XL, и XNL выражены через переменную x. Чтобы получить собственно уравнение бюджетной линии в терминах контингентных благ, выразим x, например, из второго уравнения системы и подставим в первое.
После некоторых преобразований, мы получим:

10. А вот графическая иллюстрация бюджетного ограничения в модели спроса на страховку в терминах контингентных благ.
Пунктирная 45º линия – это т.н. «безрисковая линия». В любом наборе, принадлежащем ей, индивид обладает одинаковым богатством в каждом состоянии мира.
Зеленый отрезок – это бюджетная линия. Он ограничен двумя точками:
Точка ω (первоначальный набор контингентных благ, (w – L, w)) соответствует минимальному (x = 0) объему страхового покрытия.
Точка на безрисковой линии (w – γL, w – γL) соответствует максимально возможному (x = L) объему страхового покрытия.
Между двумя этими точками расположены те наборы контингентных благ, которые достигаются при 0 < x < L.
XNL
бюджетная линия ω w
w –γL
«безрисковая линия»
w – L
w – γL XL

11. Теперь давайте перейдем к иллюстрации предпочтений в пространстве контингентных благ.
NB! В наших иллюстрациях мы будем опираться на т.н. обобщенную функцию ожидаемой полезности, в которой элементарная ф-ция полезности v(.) может зависеть от состояния мира.
Вначале, рассмотрим несколько простых, но довольно радикальных примеров:
Пример 1: Индивид заботится только о своем богатстве в состоянии мира L. Такая предпосылка реалистична для тех, кто склонен сильно переоценивать вероятность несчастных случаев.
Этим людям неважно, каким будет их богатство, если несчастного случая не будет – ведь они уверены, что беда обязательно случится!
XNL XL

12. Пример 2: Индивид заботится только о своем богатстве в состоянии мира NL. Эта предпосылка характеризовала бы чрезвычайно беспечных людей, сильно недооценивающих вероятность несчастных случаев.
Этим людям неважно, каким будет их богатство, если несчастный случай все-таки произойдет: каждый из них уверен, что «уж со мной-то такого точно не случится!»
XNL XL

13. U(.) = pLvL(xL) + (1 – pL)vNL(xNL)
Пример 3: Герой этого примера – индивид, нейтральный к риску. Его обобщенная функция ожидаемой полезности имеет вид:
U(.) = pLvL(xL) + (1 – pL)vNL(xNL)
где vL(xL) = aL + bLxL и vNL(xNL) = aNL + bNLxNL
Предельная норма замещения блага контингентного блага xL контингентным благом xNL для такого агента постоянна и отрицательна:
Кривые безразличия функции ожидаемой полезности этих людей представляют собой прямые линии.
XNL XL

14. Пример 4: Рассмотрим радикальную форму рискофобии, когда индивид заботится только о той сумме, которую он получит гарантированно (независимо от состояния мира), а в возможность случайно выиграть что-то сверх нее он просто не верит.
Кривые безразличия для функции ожидаемой полезности такого агента были бы сходны с таковыми для Леонтьевской функции:
XNL
безрисковая линия XL

15. U(.) = pLv(xL) + (1 – pL)v(xNL)
Пример 5: Рассмотрим классического рискофоба, чья элементарная функция полезности строго вогнута и не зависит от состояния мира. Его функция ожидаемой полезности имеет вид:
U(.) = pLv(xL) + (1 – pL)v(xNL)
где v’(.) > 0, v”(.) < 0
Модуль предельной нормы замещения контингентного блага xL контингентным благом xNL непрерывно убывает по xL (и непрерывно возрастает по xN):
Кривые безразличия функции ожидаемой полезности для него строго выпуклы.
XNL XL

16. Пример 6: Рассмотрим классического рискофила, чья элементарная функция полезности строго выпукла и не зависит от состояния мира. Рассуждая аналогично предыдущему случаю, можно показать, что кривые безразличия его функции ожидаемой полезности строго вогнуты:
XNL XL

17. Вернемся к нашей модели, и проиллюстрируем рассмотренный ранее пример со спросом рискофоба на актуарно справедливую страховку:

18. Графическая иллюстрация решения задачи страхователя является очень удобным инструментом для быстрого ответа на качественные вопросы, касающиеся сравнительной статики, например: как меняется спрос на страховку с изменением вероятности несчастного случая? с изменением цены страховки? с изменением отношения к риску, и т.д.
Но при необходимости (если ответ не очевиден сразу, или решение внутреннее и нам необходим точный ответ) мы могли бы сформулировать и решить задачу страхователя в терминах контингентных благ аналитически:
Решать ее «в лоб» довольно тяжело: к счастью, при монотонных предпочтениях и некоторых предпосылках о v(.) для каждого из трех типов страхователей (рискофоб, рискофил, риск-нейтрал) есть лишь три типа решений:

19. Для рискофоба существует всего три возможных типа решений:
Тип 1: Ущерб не страхуется.
Это решение имеет место, если тангенс угла наклона бюджетной линии превышает тангенс угла наклона кривой безразличия в точке (w – L, w):
XNL w
w –γL
w – L
w – γL XL

20. Тип 2: Ущерб страхуется частично (внутреннее решение).
Это решение находится из уравнения бюджетной линии и условия касания кривой безразличия и бюджетной линии. При этом нужно иметь в виду, что решение должно лежать правее точки первоначального запаса, и левее точки полной застрахованности:
XNL w
w –γL
w – L
w – γL XL

21. Тип 3: Ущерб страхуется полностью.
Это решение имеет место, если тангенс угла наклона бюджетной линии меньше тангенса угла наклона кривой безразличия в точке полной застрахованности, (w – γL, w – γL):
XNL w
w –γL
w – L
w – γL XL
А каковы возможные типы решения задачи страхователя-рискофила? Риск-нейтрала?

22. Отношение к риску: CE(L) и RP(L) в пространстве контингентных благ
Лотерея L в состоянии мира А приносит Х’A рублей, в состоянии мира B – Х’B рублей.
Розовые линии – кривые безразличия для функции ожидаемой полезности
3) Синяя линия – множество лотерей с таким же ожидаемым выигрышем, как у L. Она же – кривая безразличия риск-нейтрала.
Набор контингентных благ, соответствующий лотерее L XA
X’A
«Безрисковый» набор, эквивалентный E(L)
E(L)
RP(L)
«Безрисковый» набор, эквивалентный лотерее L
CE(L)
X’B XB