1. 機率與分配
樣本空間與機率定義
機率的定義
機率的基本定理
隨機變數(Random Variable)
期望值與變異數
常用的機率分配

2. 樣本空間與機率定義 試行 (Trial) 對於不確定性的事進行實驗，稱之為試行。 隨機實驗 (Random Experiment)
假設有一項可以重複試行的實驗，其實際發生的結果全憑機遇，事前無法確知，但在實驗過程，各種可能發生的狀況卻可以加以描述。凡具有前述特性的實驗，稱之為隨機實驗。

3. 樣本空間與機率定義 出象與樣本點 (Outcome, Sample Point) 試行可能出現的結果稱為出像，或稱為樣本點或樣點。
樣本空間 (Sample Space)
以一個隨機實驗的所有可能出像，代表一集合的元素，則此集合稱為樣本空間，常以符號S(或Ω)表示。樣本空間中所包含的樣本點數目，常以符號N(S)表示。

4. 機率的定義 先天的或古典的機率理論 (A prior or classical probability)
設一事件有N 種互斥出像，但有相同出現機會的出像個數，其中具性質A者有 N(A)種，則事件A發生的機率為：
,0 ≦ P ≦ 1

5. 機率的定義 古典機率理論的性質 I.古典機率理論認為機率為合乎某性質出像個數與出像總個數之比。
II. 根據合乎其性質出像的個數和出現總個數，可求得事件發生的機率。
III. 古典機率理論所討論之機率，可依合乎某些基本性質進行運算以獲得新事件發生的機率。如一事件必定發生，則出像個數之比為1；如一事件必定不發生，則出像個數之比為0。

6. 機率的定義 古典機率理論的缺點 I. 若出像的總個數為無限時，不能求得機率
II. 出像的個數雖有限，但若不知其總個數為若干時，仍不能求得機率。
III. 各出像不具同等可能時，亦不能求得機率。

7. 機率的定義 後天的或次數比的機率理論 (A posterior or frequency probability)
此學派是以相對次數表示機率，亦稱為統計機率 (Statistical probability) 。設事件為A，試行總次數為f，其中屬於A的次數為fA，則事件出現的機率為：
若一事件不能重複試行，則不能以此方式求得機率。

8. 機率的定義
主觀或個人的機率理論
(Personal probability)
依個人主觀判斷所設定的信賴程度。

9. 機率的定義 公理體系的機率 (Axiomatic approach)
俄國數學家 A. V. Kolmogroff 於1933提出，是由集合論出發，建立在嚴密的數學體系上，它解決了古典與相對次數概念所遭遇的困難。
公理一：事件A發生的機率 P(A)，為一實數，且P(A)≧0。
公理二：令Ω為樣本空間，則P(Ω)=1。
公理三：設A1, A2, …為彼此戶斥的事件，則

10. 機率的基本定理 1.空集合之機率為0，即P(Φ)=0。 2. 設A1, A2, …為彼此互斥的事件，則
3. 令 為事件A之餘事件，則P( ) = 1- P(A)
4. 任一事件A發生之機率恆為 0 ≦ P(A) ≦ 1
5. 若A, B為Ω中的任兩事件，則：
P(A∪B) = P(A) +P(B) – P(∩B)

11. 機率的基本定理
6. 條件機率：設A, B為隨機實驗樣本空間S中的二事件，若已知事件B發生，則事件A發生的機率，稱之為事件A的條件機率，並以符號P(A|B)表示，其機率值等於下式：
7. 若事件A, B滿足下列條件，則稱A, B彼此獨立。
P(A∩B) = P(A) . P(B)

12. 機率的基本定理 8. 若事件A, B, C滿足下列四個條件，則稱A, B, C彼此獨立。 a. P(A∩B) = P(A) . P(B)
b. P(A∩C) = P(A) . P(C)
c. P(B∩C) = P(B) . P(C)
d. P(A∩B∩C) = P(A) .P(B) . P(C)

13. 機率的基本定理 9. 貝氏定理 (Baye’s Theorem)
由英國哲學家Reverned Thomas Bayes) 提出的導果為因之機率求算方法，先找出結果之機率，然後由果以溯因，以找出事後機率。計算方式如下：

14. 隨機變數(Random Variable)
定義：隨機變數是一函數X，其樣本空間S對應到實數R， 即
X : S R
常以小寫 x 表隨機變數的值，隨機變數的每一可能值 x 代表一事件。

15. 隨機變數(Random Variable)
2. 隨機變數類型：
2.1 離散型隨機變數：若隨機變數的值域X(S)含有有限個或無限但為可數個(Countable)樣本點，則稱S為離散型樣本空間。
2.2 連續型隨機變數：若隨機變數的值域X(S)含有不可數(Uncountable)樣本點，則稱S為連續型樣本空間。

16. 隨機變數(Random Variable)
3. 機率密度函數 (Probability density function)
3.1 定義：將隨機變數個數值出現的機率，按這些數值之大小順序排列，或以函數f(x)表隨機變數所有可能數值及其對應之機率，則稱f為隨機變數X的機率分配或機率密度函數 (簡稱為p.d.f)，即f(x) = P(X=x)。
3.2 機率分配常以繪圖方式表示，有助於了解其機率密度函數。                 

17. 隨機變數(Random Variable)
3.3 機率密度函數具備下述兩個條件：
      a.   f(x)≧0，對任何。 b.

18. 隨機變數(Random Variable)
累積分配函數 (Cumulative distribution function)
設X為一隨機變數，x為一實數，且設 F(x) = P(X≦x)，
則稱F為隨機變數X的累積分配函數，以C.D.F表示。
若X為離散型，則F(x) = P(X=x) = 。
若X為連續型，則F(x) = P(X=x) = 。

19. 期望值與變異數
1. 期望值定義：設f(x)為隨機變數X的pdf，隨機變數的期望值以E(X)表示，而E(X)是X之所有可能觀測值的加權平均數，以各機率值為其權數。E(X)簡稱為X機率分配之平均數，常以μ表示，即E(X)= μ。
當X為離散型時： ，
當X為連續型時： 。

20. 期望值與變異數
2.變異數定義：設f(x)為隨機變數X的pdf，平均數為μ，定義X之變異數為 E(X-μ) 2，常以V(X)或σ 2表示變異數。變異數之平方根稱為標準差，以σ表示。
σ 2 = E(X-μ) 2 = E{([X-E(X)] 2)
當X為離散型時：
當X為連續型時： 。

21. 常用的機率分配 二項分配 (Binomial Distribution)
超幾何分配 (Hypergeometric Distribution)
負二項分配 (Negative Binomial Distribution)
卜瓦松分配 (Poisson Distribution)
常態分配 (Normal Distribution)
加瑪分配 (Gamma D.)
指數分配 (Exponential D.)
一致分配 (Uniform D.)
韋氏分配 (Weibull D.)

22. 二項分配 (Binomial Distribution)
定義一：在有限試行次數為n的試驗中，每次出像只有兩種結果，分成失敗和成功，每次成功或失敗之機率均相同(母體總數為N，每次抽樣後均放回)，且每次試行均相互獨立，則稱此事件為二項試驗或Bernoulli Experiment。

23. 二項分配 (Binomial Distribution)
定義二：在 n 次之二項試驗中，若令 X 表示成功之總次數，則X稱為二項隨機變數，其pdf為：
通常以b(x; n, p)表示，稱 X 之分配為二項分配。

24. 超幾何分配 (Hypergeometric Distribution)
定義：設隨機變數X為一二項試驗，但每次自母體抽出之樣本不放回，則稱X為超幾何分配。超幾何分配之pdf為
其中屬於成功者有K項，屬於失敗者有n-K項。
當N非常大時，超幾何分配趨近於二項分配。

25. 負二項分配 (Negative Binomial Distribution)
定義：在二項試驗中，若隨機變數X表示自試驗開始至第r次成功為止之試驗，則稱X為負二項隨機變數。設p為每次成功之機率，則X之pdf為
當 r=1時， ，
稱為幾何分配。

26. 卜瓦松分配 (Poisson Distribution)
由法國數學家 Simon Denis Poisson提出。卜氏分配之特性：
a. 在兩個不相交的時間間隔，特定事件發生變化的次數為獨立。
b. 在短時間間隔或小空間區域發生一次變化的機率，近乎與區間長度、面積或體積成正比。
c. 在同樣的一個短時間間隔，有兩個或以上的變化發生之機率近乎0。滿足上述特性者，稱之為卜瓦松過程。若隨機變數X表示卜瓦松過程每段時間變化的次數，則X稱為卜瓦松隨機變數。
d. 發生於一段時間或某特定區域的成功次數之期望值為已知。

27. 卜瓦松分配 (Poisson Distribution)
卜瓦松分配之推演：設 g(x,w) 表示在長 w 的時間內有X次變化的機率，則由卜瓦松過程知：
a. 設X1表示在 h 1時間間隔內發生之次數，X2 表示在 h2 時間間隔內發生之次數，若 h1、h2 不相交，則X1、X2為隨機獨立。
b. g(1 , h) = αh + o(h)，其中α為一常數，h > 0，且o(h)表任何滿足 c.

28. 卜瓦松分配 (Poisson Distribution)
由上述三個式子導出X的pdf為
此分配常以p(x , λ)表示。

29. 常態分配 (Normal Distribution)
此分配理論首先由法國學者 De Moivre 提出，約一百年後學者Gauss & Laplace 亦導出相同的結果，在英美地區(包括我國)稱此分配為高斯分配。因為分配圖形類似鐘型，因此又稱為鐘型分配或常態分配(Normal D.)。
常態分配重要性：
a. 自然界中大部分之分配現象均屬常態分配。
b. 許多複雜而非常態的分配，可用常態分配近似(大數法則，中央極限定理)。
c. 統計上許多推定和檢定，均引用常態分配，例如抽樣分配理論。

30. 常態分配 (Normal Distribution)
N.D. 之pdf
若連續隨機變數X之pdf 為
則稱X為常態隨機變數，X之分配稱為常態分配，μ為平均數，σ為標準差。

31. 常態分配 (Normal Distribution)
標準常態分配
若將常態分配之隨機變數X與以正常化處理：， ，
則隨機變數Z服從常態分配 N(0 , 1)，其中平均數為0，標準差為1。此分配稱為標準常態分配。

32. 加瑪分配 (Gamma D.)
加碼分配: 為等候時間常用之機率分配，例如顧客到達銀行要求服務的人數，若單位時間內平均到達λ人之卜瓦松分配，而此銀行自某時間開始到第 k 個顧客到達為止所經過之時間為W，則W服從加碼分配。若連續隨機變數Xpdf為: 其中

33. 指數分配 (Exponential D.)
當加瑪分配之 時，
隨機變數X之 pdf 為
則稱X服從指數分配。

34. 一致分配 (Uniform D.)
若隨機變數X在區間[ a , b ]上為一致分配，則X之 pdf 為

35. 韋氏分配 (Weibull D.) 當隨機變數X之pdf為 其中β稱為線型參數(Shape parameter)，
θ – δ稱為量化參數 (Scale parameter)，
θ為MTBF。