1. 確率と統計 確率編-
平成23年10月13日(木)

2. 記述統計から推測統計へ
今日はまずいろいろな現象を観察してみましょう。
サイコロ振り
確率と統計2011 (4回目)

3. サイコロ振り サイコロを １０回振ったとき １００回振ったとき １００００回振ったとき 表．サイコロを１０００回振って出た目の度数分布表
出る目 １ ２ ３ ４ ５ ６ 合計 頻度
１７１
１６０
１７０
１５３
１８０
１６６
１０００
平均値＝3.509　　分散＝＿＿＿
自分で計算してみよう！
確率と統計2011 (4回目)

4. 推測のための統計の構造
サンプリング 標本 推測
母集団
確率と統計2011 (4回目)

5. さて、．．． 今日から「確率」の話しをします。 高校までの「確率」の知識は必要ありません。 この授業で「確率」の基礎を身に付けましょう。
とても難しい話? も少ししますが、そこは聞いているだけでもまずは結構です。わかる人はもちろんしっかり理解してください。
確率と統計2011 (4回目)

6. ある質問
イタリアのある貴族がGalileo( )にこう尋ねた。 「３つのサイコロを投げるとき、その目の和が９になる場合と、１０になる場合の数は等しいと思っているので、そのどちらに賭けても同じであると気にしなかったが、実際には１０になる方が少し多く感じられるのはどうしたことか？」
Galileoに代りあなたは答えられますか？
確率と統計2011 (4回目)

7. それでは本題に入りましょう。
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8. 不規則現象（偶然現象） 例： サイコロ投げの結果 コイン投げの結果 明日の天気 測定誤差 雑音 手書き文字・発話音声
確率と統計2011 (4回目)

9. 確率はこのような不規則現象（偶然現象）を取り扱う、数学の１分野である。
以下では、まず確率の基本用語を定義しよう。
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10. 用語の定義 試行 (trial) 標本点 ω (sample) 標本空間 Ω (sample space) 事象 E (event)
単一事象 (simple event)
複合事象 (composite even)
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11. ちょっと一言 現代ギリシア文字(24文字)の本当の読み方 Α α アルファ Ι ι イョタ Ρ ρ ロ Β β ヴィタ Κ κ カパ
Α α
アルファ
Ι ι
イョタ
Ρ ρ ロ
Β β
ヴィタ
Κ κ カパ
Σ σ ς
シグマ
Γ γ
ガンマ
Λ λ
ラムザ
Τ τ タフ
Δ δ
ゼルタ
Μ μ ミ
Υ υ
イプシロン
Ε ε
エプシロン
Ν ν ニ
Φ φ フィ
Ζ ζ
ズィタ
Ξ ξ クシ
Χ χ ヒ
Η η イタ
Ο ο
オミクロン
Ψ ψ プシ
Θ θ シタ
Π π ピ
Ω ω
オメガ
留学生の諸君へ：　日本ではギリシャ文字の読み方が人によりバラバラです。 　　　　　　　　　　　　 通常はギリシア文字を英語読みしたものを採用しています。
確率と統計2011 (4回目)

12. 試行 実験や観測において、繰り返えされる行為のこと。 例えば、コイン投げで、 「表が出たか裏が出たかを調べる」 行為。
例えば、コイン投げで、 「表が出たか裏が出たかを調べる」 行為。
確率と統計2011 (4回目)

13. 標本点ω 試行により起こる結果のこと。 例えば，コイン投げでは、 「表が出る」 とか 「裏が出る」 といった試行の各結果のこと。
例えば，コイン投げでは、 「表が出る」　とか 「裏が出る」 といった試行の各結果のこと。
　<注>標本点を根元事象と呼ぶこともある。
確率と統計2011 (4回目)

14. 標本空間Ω すべての標本点からなる集合のこと。
例えば、コイン投げでは、 { H, T } ただし、 H: 表が出る T: 裏が出る を表す。
確率と統計2011 (4回目)

15. まず、ここまでのことを例題で確認しよう。
確率と統計2011 (4回目)

16. 例題１ サイコロ投げ 試行： サイコロを投げ、出る目を記録する。
例題１　サイコロ投げ
試行：　サイコロを投げ、出る目を記録する。
標本点：　 １の目が出る (①と記す) ２の目が出る (②と記す) ３の目が出る (③と記す) ４の目が出る (④と記す) ５の目が出る (⑤と記す) ６の目が出る (⑥と記す)
標本空間： Ω={ ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥ }
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17. 例題２ ２個のコイン投げ 試行： コイン２個を同時に投げ、 出る面を記録する。
例題２　２個のコイン投げ
試行：　コイン２個を同時に投げ、 　　　　　出る面を記録する。
標本点：　 「表が出る 」をH、「裏が出る」をTと記すと、 HH, HT, TH, TT
標本空間： Ω={ HH, HT, TH, TT }
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18. 例題３ くじ引き 設定： 当たり１枚、はずれ２枚 試行： くじを１枚引く
例題３　くじ引き
設定： 当たり１枚、はずれ２枚
試行： くじを１枚引く
標本点： A, H1, H2 A: 当たりくじ H1, H2: はずれくじ
標本空間： Ω={ A, H1, H2 }
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19. 例題４ じゃんけん 設定：２人、１回勝負 試行：じゃんけんをし、それぞれが何を 出したかを記録する。
例題４　じゃんけん
設定：２人、１回勝負
試行：じゃんけんをし、それぞれが何を 出したかを記録する。
標本点： (G, G), (G, C), (G, P), (C, G), (C, C), (C, P), (P, G), (P, C), (P, P)
標本空間Ω={ (G, G), (G, C), (G, P),(C, G), (C, C), (C, P), (P, G), (P, C), (P, P) }
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20. 例題５　２個のサイコロ投げ
試行：
標本点：
標本空間：
自分で考えてみよう！
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21. 例題６ 壺からの球の取出し(1) 設定：赤球２個、白球１個。 試行：球を１個取り出し、球の色を記録する。 標本点：①, ②, ①
例題６　壺からの球の取出し(1)
設定：赤球２個、白球１個。
試行：球を１個取り出し、球の色を記録する。
標本点：①, ②, ①
標本空間Ω={ ①, ②, ① }
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22. 例題7 壺からの球の取出し(２) 設定：赤球２個、白球１個。 ２個を同時に取り出す。 試行：球を2個取り出し、球の色を記録する。
例題7　壺からの球の取出し(２)
設定：赤球２個、白球１個。 　　　　２個を同時に取り出す。
試行：球を2個取り出し、球の色を記録する。
標本点：{①, ②}, {①, ①}, {②,①}
標本空間 Ω={ {①, ②}, {①, ①}, {②,①} }
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23. 用語の定義(2) 試行 (trial) 標本点 ω (sample) 標本空間 Ω (sample space) 事象 E (event)
単一事象 (simple event)
複合事象 (composite even)
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24. 用語の定義 試行 (trial) 標本点 ω (sample) 標本空間 Ω (sample space) 事象 E (event)
単一事象 (simple event)
複合事象 (composite even)
確率と統計2011 (4回目)

25. 事象 標本空間Ωの部分集合のこと。 例えば、コイン投げでは、 {H}, {T}, {H, T} などはすべて事象である。
{H}は「表が出る出来事」と解釈でき、 {H,T}は「表が出るか裏が出る出来事」と解釈できる。
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26. 単一事象と複合事象 単一事象：要素が１個の事象 複合事象：要素が２個以上の事象
例えば、Ω={HH, HT, TH, TT}に対して、 単一事象： {HH}, {HT}, {TH}, {TT} 複合事象： {HH,HT}, {HH,TH}, {HH,TT}, 　{HT,TH}, {HT,TT}, {TH,TT}, 　{HH,HT,TH},{HH,HT,TT},{HH,TH,TT}, HT,TH,TT}
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27. ここまでのことをまとめると…
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28. 例題８　コイン投げ
標本空間Ω={H, T}
事象の集合F={φ, {H}, {T}, Ω} {H}: 単一事象 {T}: 単一事象 φ: 空事象 Ω: 全事象
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29. 例題９ ２個のコイン投げ Ω={HH, HT, TH, TT}
例題９　２個のコイン投げ
Ω={HH, HT, TH, TT}
F={φ, {HH}, {HT}, {TH}, {TT}, {HH, HT}, {HH, TH}, {HH, TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HH, TH, TT}, {HT, TH, TT}, Ω}
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30. 例題９ ２個のコイン投げ Ω={HH, HT, TH, TT}
例題９　２個のコイン投げ
Ω={HH, HT, TH, TT}
F={φ, {HH}, {HT}, {TH}, {TT}, {HH, HT}, {HH, TH}, {HH, TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HH, TH, TT}, {HT, TH, TT}, Ω}
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31. ここまで準備ができれば後は簡単。
確率を定義しよう！
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32. 確率の定義
ある試行で起こりうる単一事象の総数（標本点の個数と同じ）がNで、これらの単一事象がすべて同じ確からしさ（蓋然性）で起こるものとする。このとき、ある事象Aがｎ個の単一事象からなるならば、その事象Aの起こる確率は、 P(A) = n / N である。
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33. 確率の定義（２）
P(A)=#A / #Ω
ただし、#Sとは集合Sの要素の個数を表す。
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34. 例題１０　サイコロ投げ
Ω={ ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥ }
１の目が出る確率： P({①}) = #{①} / #Ω = 1 / 6
奇数の目が出る確率： P({①,③,⑤}) = #{①,③,⑤} / #Ω = 3 / 6 = 1 /2
５以上の目が出る確率： P({⑤,⑥}) = 2 / 6 = 1 / 3
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35. 例題１０　サイコロ投げ(2) ⑤ ① ③ ⑥ ② ④
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36. 自由研究　Galileo問題
３個のサイコロを投げるとき、その目の和をTとする。このとき、 P(T=10) = P(T=9) ? P(T=10) < P(T=9) ? P(T=10) > P(T=9) ? 実際にサイコロを投げて調べてみよう。 （理論値は次回説明します。）
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37. 確認
来週は休講です。
次回までに「レポートNo.1」を
　やっておいてください。
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