1. LLL 演算法 張圻毓

2. Outline Algorithm Example

3. Algorithm Input : Linearly independent column vector f 1 ……f n Z n Output : A reduced basis (b 1 ……b n ) of the lattice L=Σ 1 ≦ i ≦ n Zf i Z n

4. Algorithm 1. for i =1,…,n do b i  f i compute the GSO G*,M Q n*n, i  2 2.while i ≦ n do 3. for j= i-1,i-2,…,1 do 4. b i  b i - 「 μ ij 」 b j update the GSO {replacement step}

5. Algorithm 5. if i>1 and then exchange b i-1 and b i and update the GSO, i  i-1 else i  i+1 6. return b 1,…,b n

6. Example

8. b 2 * =b 2 -u ij b 1 (b 2 減去 b 2 投影至 b 1 ) (b 1 * =b 1 )

9. Example b 3 * =b 3 -(u 32 b 2 +u 31 b 1 ) (b 3 減去 b 3 投影至 b 1 與 b 2 所成平面 )

10. Example i=2 ≦ n(*n=3 因為三階矩陣 ) j=1 b 2  b 2 – 「 u 21 」 b 1 (u 21 =b 2 ·b 1 * /b 1 * ·b 1 * ) 投影比值 ( ∵ u 21 =1/3 ∴ u 21 取 0 ) 所以 b 2 =b 2 update GSO 也不變 檢查 b 2 與 b 1 ，所以不用 exchange i=i+1

11. Example i=3, j=2 b 3  b 3 – 「 u 32 」 b 2 (u 32 =b 3 ·b 2 * /b 2 * ·b 2 * ) 投影比值 ( ∵ u 32 =13/14 ∴ u 32 取 1 ) 所以 b 3 =b 3 -b 2 =(4,5,4) update GSO

12. Example

13. i=3, j=1 b 3  b 3 – 「 u 31 」 b 1 ( ∵ u 31 =14/3 ∴ u 31 取 4 ) 所以 b 3 =b 3 -4b 1 =(0,1,0) update GSO 因為符合條件所以 b 3 與 b 2 exchange 且 update GSO i=i-1=2

14. Example

16. i=2, j=1 b 2  b 2 – 「 u 21 」 b 1 ( ∵ u 21 =1/3 ∴ u 21 取 0 ) 所以 b 2 =b 2 update GSO 也不變 因為符合條件所以 b 2 與 b 1 exchange 且 update GSO i=i-1=1

17. Example i=1, j=0 不跑 For 迴圈 且檢查 ，所以不用 exchange i=i+1 =2

18. Example i=2, j=1 b 2  b 2 – 「 u 21 」 b 1 ( ∵ u 21 =1 ) 所以 b 2 =b 2 -b 1 =(1,0,1) update GSO 檢查 b 2 與 b 1 ，所以不用 exchange i=i+1 =3

19. Example

20. i=3 j=2 b 3  b 3 – 「 u 32 」 b 2 ( ∵ u 32 =1/2 ∴ u 32 取 0 ) 所以 b 3 =b 3 update GSO 不變 i=3 j=1 b 3  b 3 – 「 u 31 」 b 1 ( ∵ u 32 =0 ) 所以 b 3 =b 3 update GSO 不變 檢查 b 2 與 b 1 ，所以不用 exchange i=i+1 =4 i >n 所以 return(b 1,b 2,b 3 )

21. Example