1. Aðferðafræði og menntarannsóknir 50. 00. 04 http://starfsfolk. khi
Tölfræði - 2
Meyvant-JE-SRJ-KKS 23. janúar 2008, Kennaraháskóla Íslands

2. Verkefni úr síðasta tíma
Dæmi 1 var hugsuð sem æfing í Excel
Summa (SUM – ath. táknið Σ)
Margfeldi (PRODUCT)
Dæmi 3
Nafnbreyta –virkur/óvirkur
Raðbreyta-mjög virkur-frekar virkur-frekar óvirkur mjög óvirkur eða hversu virkur á kvarða 1-7
Dæmi 5
Setja tölu: Algengt að nota “hattinn”: ^

3. Meðaltal er hærra en miðgildi
Dreifing
Jákvætt skekkt (bls í McMillan)
Mörg gildi eru á lægri enda kvarðans (Mynd 2)
T.d ef fleiri eru með lágar einkunnir, lág laun
Meðaltal er hærra en miðgildi

4. Jákvætt skekkt dreifing
Einkunn
Mean
3,15
Standard Error 0,
Median 3
Mode 1
Standard Deviation 1,
Sample Variance 3,
Skewness 0,
Range 6
Minimum
Maximum 7
Sum 63
Count 20

5. Meðaltal lægra en miðgildi
Dreifing
Neikvætt skekkt (bls )
Fleiri gildi eru á hærri enda kvarðans (Mynd 3)
Margir með háar einkunnir, margir með há laun
Meðaltal lægra en miðgildi

6. Neikvætt skekkt dreifing
Mynd 3
Mean
4,578947
Standard Error
0,399677
Median 5
Mode 6
Standard Deviation
1,74215
Sample Variance
3,035088
Kurtosis
-0,58636
Skewness
-0,53516
Range
Minimum 1
Maximum 7
Sum 87
Count 19

7. Dreifing verkefni 9
Búðu til talnasafn og súlurit með tveimur tíðustu gildum (tvítoppa/bimodal)
Sjá McMillan bls 136
1,2,2,2,2,3,4,5,6,6,6,6,7
Passa að slá inn tíðnina og setja gildin á x ásinn

8. Staðalfrávik-hvað segir það okkur ?
Hversu langt að meðaltali tölurnar eru frá meðaltalinu
Skoðum mismunandi dreifingar með sama meðaltal en mism. staðalfrávik

9. Staðalfrávik framh Stökin raðast í kringum meðaltalið sem er 5
Það eru allir með 4,5,eða 6
Staðalfrávikið er 0,2
Meðaltalið er 5
Stökin dreifast mun meira
Staðalfrávikið er hærra
Staðalfrávikið er 2,3

10. Meira um dreifingu, túlkun og tengls breyta
Normaldreifing og normalkúrfa (bjöllukúrfa)
Stöðlun tölugilda (einkunna)
Z-gildi, staðalníur og fleiri staðlaðar einkunnir
Fylgni
Stutt kynning á aðhvarfsgreiningu (regression)

11. Fyrst nokkur atriði til upprifjunar
X: 3, 6 og 9 Y: 2, 5 og 8
ΣX = =
ΣX2 =
(ΣX)2 = ( )2 =
ΣXY = ( )
(ΣXY)2 = ( )2
Ath einnig nokkur atriði í Excel: Gera myndrit, Meðaltal, staðalfrávik, miðgildi, tíðasta gildi, hlutfallstíðni, fylgni,vegið meðaltal ...

12. Normaldreifing - Normalkúrfa
Graf sem hefur lögun eins og “bjalla”, samhverf með einn topp.
Einkenni: Mælingar eru flestar kringum meðaltalið, en fækkar svo til beggja hliða.
Geta haft mismunandi meðaltöl og staðalfrávik, en meðaltal, miðgildi og tíðasta gildi það sama í hverju tilviki.

13. Dæmi: Greindarvísitala – Meðaltal 100, staðalfrávik 15
Mælingar á raunverulegum fyrirbærum í menntun aldrei fullkomlega normaldreifðar, en slík dreifing heppileg til að nota við stöðlun prófa og túlkun niðurstaðna.

14. z-gildi
Breyta má einkunnum í svonefnd z-gildi og fá normalkúrfu þeirra. Segjum að nemandi fái einkunnina 7, meðaltal hópsins sé 6,5 og staðalfrávikið 0,8 þá má reikna z-gildið:
(7 – 6,5)/0,8 = 0,63

15. z-gildi
Kosturinn við stöðluð gildi eins og z-gildi er að auðveldlega má bera saman ólíkar mælingar.
Hvert er meðaltalið skv. bjöllu-myndinni? Hve mörg % eru fyrir ofan það?
Hve stór hluti mælinganna liggur milli z = -1 og z = +1?
Mikilvægt að hafa í huga til að lesa úr töflum:
.3413 = 0,3412 = 34,12%
Ef z-gildi er 0,22 má lesa í töflu að (8,7%) er stærð svæðis milli meðaltalsins og z-gildisins, þ.e. þetta samsvarar því að 58,7% einkunna eru fyrir neðan.

16. z-gildi
Jóna fékk einkunnina 7,0. Meðaltal hópsins var 8,0 og staðalfrávik 1,2. Hvar stendur hún samanborið við aðra nemendur?
z = - 0,83
Skv. töflu (sjá vef) eru rúm 20% nemenda lægri en hún.
Hve mörg % mælinga liggja milli z = -1,1 og z = 0,0?
Hve mörg % liggja milli z = -2,3 og z = -0,2?
z-gildi er í raun hlutfall því það sýnir mismun mælitölu og meðaltals (frávik) sem hluta af staðalfráviki (hluti/heild).

17. Fleiri stöðluð gildi í notkun
T-gildi: Engar negatívar tölur og eingöngu heilar tölur. Þá er meðaltalið stillt á 50 og staðalfrávikið á 10, en reikniformúla byggð á z-gildi:
T = 10 z + 50.
Nemandi fær 21 stig á prófi þar sem meðaltalið er 27 og staðalfrávikið 6. Þá er z-gildið hans -1 og T-gildið er 40.
Stanine-gildi (staðalníur), einnig án negatívra talna og námundað að heilum tölum 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eða 9:
Stan = 2 z + 5.

18. Stöðlun einkunna í samræmdum prófum hjá Námsmatsstofnun
NMST-gildi: Engar negatívar tölur og eingöngu heilar tölur. Normaldreifðar einkunnir á kvarðanum Meðaltalið stillt á 30 og staðalfrávikið á 10, en reikniformúla byggð á z-gildi:
NMST = 10 z + 30
Nemandi fær 63 stig á 100 stiga prófi þar sem meðaltalið er 67 og staðalfrávikið 12.
Hvar stæði hann samanborið við aðra nemendur?
Hver væri NMST-einkunn hans?

19. Fylgni – Að skoða tengsl milli breyta, t.d. X og Y
Margs konar fylgnistuðlar til. Hér er fjallað um Pearsons r:
Dæmi gæti verið tengsl milli einkunna í stærðfræði og íslensku
Þótt fylgni geti verið sterk gildir það jafnan ekki um allar breytur í gagnasafninu
Fylgnistuðull getur bæði verið jákvæður og neikvæður, Pearsons r getur verið á bilinu -1 til +1
Fylgni upp á 0,8 eða meira telst mjög sterk, einnig fylgni upp á -0,8 eða þar fyrir neðan.
Varast að draga ályktanir um orsakasamband þegar tengsl eru milli breyta.

20. Fylgni Dæmi: tengsl milli menntunar og kjörsóknar
Hér er fylgni milli menntunar og kjörsóknar í 5 sveitarfélögum skoðuð
X er meðalárafjöldi í skóla
Y er kjörsókn í %
Sveitar-félag X Y A
11,9 55 B
12,1 60 C
12,7 65 D
12,8 68 E
13,0 70

21. Færum inn í töflu X Y X2 Y2 XY 11,9 55 141,61 3025 654,5 12,1 60
146,41
3600
726
12,7 65
161,29
4225
825,5
12,8 68
163,84
4624
870,4
13,0 70
169
4900
910
∑X = 62,5
∑Y = 318
∑X2 =782,15
∑Y2 = 20374
∑XY = 3986,4

22. Reiknum svo samkvæmt formúlu:

23. Aðhvarfsgreining (regression):
Tengsl milli breyta nýtt til að spá fyrir um eina breytu út frá annarri breytu, t.d. Árangur á æðra skólastigi út frá árangri á lægra skólastigi
Við söfnum gögnum um einkunnir af báðu skólastigum og skoðum sambandið milli þeirra með grafi: Fundir er lína sem tengir báðar breyturnar

24. Aðhvarfsgreining (regression):
Deplar tákna gögnin
Fjólubláa línan er svokölluð aðhvarfslína.
Grafið notað til að spá fyrir um árangur nemenda sem eru að hefja nám eða til að velja inn í skóla
Science education research center
Carleton College

25. Formúla fyrir aðhvarfslínu
Y’=bX + a
Y’ er breytan sem spáð er fyrir um
b táknar hallatölu línunnar
X er breytan sem er notuð til að spá með
a er skurðpunkturinn við Y-ásinn

26. Dæmi af vef Amalíu Björnsdóttur
Aðhvarfslínan sem spáir fyrir um námsgengi í KHÍ út frá meðaleinkunn í menntaskóla gæti verið eftirfarandi:
Y’=0,8X + 0,6
Umsækjandi A var með 6,2 í meðaleinkunn í menntaskóla. Hverju er spáð um meðaleinkunn umsækjanda A í KHÍ?

27. Dæmi af vef Amalíu Björnsdóttur - frh.
Y’=0,8X + 0,6
Y’= 0,8*6,2 + 0,6=5,56
Við spáum að A fái 5,56 í meðaleinkunn í KHÍ.
Okkar spá verður sjaldan alveg rétt fyrir hvern einstakling
Fyrir hópinn sem heild er villan samt minni en ef við notum einhverja aðra línu til að spá