1. תזכורת: גרפים גרף (G=(V,E V|=n, |E|=m| מכוון \ לא מכוון דרגה של קדקד
מסלול בגרף
רכיבי קשירות

2. מטריצת שכנויות A B C D E A 0 0 0 0 0 B 1 0 0 0 0 C 0 1 0 0 1

3. רשימות שכנות A
12345 E 1 2 5 3 5 1 4 C B D

4. גרף מצביעים class Node { // private data members Node getNbr(int i){
// compute I’th nbr }

5. גרף לא מפורש
class State {
// ….
void move( …. ) {
// change state }

6. סריקת גרף אלגוריתם נאיבי search(s): print s for all u in s.nbrs
search(u)
קלט: גרף G, קדקד s
פלט: כל הקדקדים אליהם יש מסלול ב-G מ-s

7. רעיון לשיפור: Memoization
F = {s}
Repeat
v <- node from F
for all v in u.nbrs
if v not in F
F = F + {v}
Until no new nodes
שיטות סריקה
חיפוש לרוחב:
Breadth First Search
חיפוש לעומק:
Depth First Search
חיפוש לפי טיב
Best First Search
...

8. חיפוש לרוחב: (BFS(G,s while Q not empty u = Q.deque() print u
for all v in u.nbrs
if not v.visited
v.visited=true
Q.enque(v)
אתחול:
Que Q = {}
for all v in V
v.visited = false
s.visited = true
Q.enque(s)

9. מסלולים קצרים ביותר
עובדה: לכל קדקד v (פרט ל- s) קיים קדקד u כך שב-G יש צלע (u,v), ו:
d(s,v) = d(s,u) + 1
הגדרה: אורך המסלול הקצר ביותר ב-G מ-s ל-u יסומן ב-
d(s,u)
עובדה: אם ב-G יש צלע
(u,v) אזי:
d(s,v) <= d(s,u) + 1 u v

10. BFS עם חשוב מרחקים while Q not empty u = Q.deque() for all v in u.nbrs
if not v.visited
v.visited=true
v.d = u.d + 1
v.father = u
Q.enque(v)
אתחול:
for all v in V
v.visited = false
v.d = infinity
v.father = NULL
s.visited = true
s.d = 0
Que Q = {s}

11. נכונות BFS למה: אם d(s,u) < d(s,w) אזי u נכנס לתור לפני w.
הוכחה: באינדוקציה על
d=d(s,u)
משפט: בסוף הריצה, לכל הקדקדים v:
v.d = d(s,v)
הוכחה: באינדוקציה על
d=d(s,v)

12. הדפסת מסלול קצר ביותר משפט: אלגוריתם זה מדפיס מסלול קצר ביותר מ-s ל-v.
path(v)
מדפיס את המסלול הקצר ביותר מ-s ל-v.
if v != s
path(v.father)
print v

13. חיפוש לעומק: DFS אתחול: for all v in V v.visited = false DFS(s)
DFS(u):
// starting with u
u.visited = true
print u
for all v in u.nbrs
if not v.visited
DFS(v)
// finished with u

14. מיון טופולוגי משפט: לגרף G יש מיון טופולוגי אםם אין בו מעגל.
הוכחה: נבנה אלגוריתם!
קלט: גרף G
פלט: מיון טופולוגי של הקדקדים.
הגדרה: מיון טופולוגי הינו סידור של הקדקדים כך שאם יש בגרף צלע (u,v) אזי u יופיע לפני v בסדר.

15. מיון טופולוגי עם DFS אתחול: DFS(u): u.visited = true for all v in V
v.visited = false
v.finished = false
if not v.visited
DFS(v)
DFS(u):
u.visited = true
for all v in u.nbrs
if not v.visited
DFS(v)
else if not v.finished
exit “cycle exists”
print u
u.finished = true

16. נכונות למה: אם בתוך ריצת DFS(u) נתקלנו ב v שהינו
למה: אם בתוך ריצת
DFS(u)
נתקלנו ב v שהינו
visited and not finished
אזי יש מסלול מ-v ל-u בגרף.
משפט 1: אם אין בגרף מעגלים אזי האלגוריתם מדפיס מיון טופולוגי (בסדר הפוך). 2: אם יש בגרף מעגל אזי האלגוריתם אומר כך.