1. 社會統計
第三講
機率、常態分配與抽樣分配
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社會統計

2. 機率與統計推論 某民調機構選前電話訪問1000位合格選民，結果顯示40％的民眾支持Ａ候選人，60％支持Ｂ候選人。這代表什麼？
如果Ａ會贏Ｂ的話（母體參數未知），那在樣本中只有40％的人支持Ａ是不是極不尋常？
我們要討論的是如果全體合格選民真的比較支持Ａ的話，那我們得到這個40/60的樣本機率有多大？
推論統計是建立在機率上的
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社會統計

3. Random Variable隨機變數 如果我們在事前無法正確的預測某變數Ｘ的結果，那Ｘ是一個隨機變數。定義
如果我們在事前無法正確的預測某變數Ｘ的結果，那Ｘ是一個隨機變數。
擲一枚銅板1000次，頭像出現的次數。
擲骰子100次總共的點數
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4. Random Variable隨機變數 定義
取一個三十個人的隨機樣本並詢問其就業狀況（失業與就業），樣本中的就業人數為一隨機變數X。X的可能值為？
X的值可以是0至30的任意整數，每一個數值χi都代表此實驗（問三十個人）的一特定結果。
一個隨機變數所有可能的數值稱為「變量」，隨機變數中的每一個變量皆代表一種事件。
習慣上以大寫字母X, Y, Z表隨機變數，以小寫字母x, y, z來代表其相對應的變量。
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5. Random Variable隨機變數 丟銅板三次，樣本空間為：例題
丟銅板三次，樣本空間為：
Ω={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
定義X為丟三次銅板出現反面的次數，隨機變數X為將上面樣本空間對應到實數的函數，此隨機變數的變量為：
S={0, 1, 2, 3}
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社會統計

6. Discrete Random Variable 間斷型（不連續）隨機變數定義
A random variable X is discrete if X can assume only a finite or countably infinite number of different values.
一隨機變數之變量若為有限個或無限但可數，稱為discrete r.v.
台北十月份下雨的天數。
高速公路一天的死亡人數。
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7. Discrete Random Variable 連續隨機變數定義
A random variable X is continuous if it can assume all the values in some interval.
如果隨機變數在某區間的變量為無限個，則稱為連續隨機變數。
身高。
飛機往來北高所需的飛行時間。
計程車司機每月行駛的里程數。
Note: 連續隨機變數無法精確的測量，僅能求近似值。
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8. Discrete Random Variable 間斷隨機變數定義
If X is a discrete random variable, the probability function (p.f.)機率函數 of X is defined as the function f such that for each real number x,
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9. Discrete Probability Distributions
P(X = xi)代表隨機變數等於某特定變量的機率，如P( X = 2)銅板出現兩次反面的機率，有時候會簡化為P(xi) 或f(xi)。
將一個間斷隨機函數的所有可能變量xi所相對應的機率P(X=xi)列出，稱為間斷機率分配(discrete probability distribution)。
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10. Properties of Discrete Probability Distributions
所有非連續機率分配必須滿足下列兩個條件：
假設X為一discrete r.v.,且函數P(X)滿足上述條件，我們說P(X) 為X的p.m.f (probability mass function)機率質量函數
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11. 例題 某汽車經銷商營業員負責賣$10,000, $15,000, $20,000三種價格的車可得5%的佣金抽成。
消費者購買各種車款的機率分別為：
$10,000  30%
$15,000  20%
$20,000  10%
不買車  40%
某顧客走入店中，以隨機變數X代表此營業員可能獲得的佣金，列出X的機率分配(probability distribution)
©Ming-chi Chen
社會統計

12. 例題 x1=$0, x2=$500, x3=$750, x4=$1000 樣本空間S={$0, $500, $750, $1000}
與其相對應的機率為.4, .3, .2, .1*
The probability distribution of a random variable is a theoretical model for the relative frequency distribution of a population.
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13. 例題
擲一個公正的骰子一次，令x為所得的點數，則x的分配為何？
函數表達：
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社會統計

14. 例題
隨機變數X，其機率函數為：
求c=?
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15. Cumulative Distribution Function
Let X be a discrete or continuous random variable and let x be any real number. The cumulative distribution function (CDF) of X is the function
則稱F(X)為隨機變數X的累加機率函數
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16. Properties of Cumulative Distribution Function
Let X be a discrete r.v. that can assume the values x1, x2, …xn, where x1<x2<…<xn. Then F(x) denote the probability that X assumes a value that is less than or equal to xr, and is given by:
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17. 累加百分比(Cumulative Percentage)
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18. Properties of Cumulative Distribution Function
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19. 例題 續前例： F(500) = .4 + .3 =.7 F(750) = .4 + .3 +.2 =.9 ©Ming-chi Chen
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20. 間斷變數的期望值
The expected value, or mean, of a discrete random variable is the weighted average of the possible values of the random variable where the weight assigned to xi is the probability P(X=xi)
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21. 例題 計算營業人員commission的期望值。
E(X) = (0)(.4)+(500)(.3)+(750)(.2)+(1000)(.1) = $400
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22. 例題
一賭徒玩輪盤，輪盤共有38個號碼，其中18個為「紅」，18個為「黑」，另有兩個號碼為「綠」，壓$1於「紅」，可贏$1，如果出現「黑」，則$1全輸，如果出現「綠」，則輸$.5，求賭徒壓紅的期望值。
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23. Expected value of a function of X
Let X be a discrete random variable, and let Y be any function of X such that Y = g(X). Then the expected value of Y, or the expected value of g(X), is
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24. 例題
若上例賭徒壓$100於「紅」，求期望值。
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25. 例題 隨機函數X的變量 機率函數 隨機函數X = 生三個小孩中，女孩的人數
間斷機率分配Discrete prob. distribution
假設生三個小孩各種情況所相對應的機率為：
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26. 例題
P(X<2)
= F(1)
= P(X ≦ 1)
= =.53
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27. 例題 E(X) =  x．f(x) = (0)(.14) + (1)(.39) + (2)(.36) + (3)(.11) =1.44
= (0)(.14) + (1)(.39) + (2)(.36) + (3)(.11)
=1.44
請問1.44代表的意義為？
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28. Properties of Expectations
Property 1: E(c) = c
若c為任意常數，求E(c) =?
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29. Properties of Expectations
Property 2: if Y=a．X+b, where a and b are constant, then E(Y) = a．E(X) + b =1
E(X)
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30. Properties of Expectations
例題：若E(X)=5, 求 E(3X-5)=?
E(3X-5) = 3E(X) – 5 = 15-5 =10
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31. Joint Probability Tables 聯合機率表複習
如果兩個變數都屬於間斷型的類別變數，則可以用聯合機率表來表示其發生的機率
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32. 聯合機率函數 複習
設X,Y為二元間斷隨機變數，X之值為x1,x2,x3,…xn，Y之值為y1,y2,y3…ym，若f(xi, yj)滿足下列兩條件：
則f(xi, yj)成為聯合機率函數
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33. 邊際機率函數 設X,Y為二元間斷隨機變數，其機率函數為f(xi,yi)，則X, Y的邊際機率函數分別為fx(xi)與fy(yj) 複習
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34. X,Y的聯合機率分配表 複習
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35. Properties of Expectations
property 3: if X1, X2, X3…Xn are n random variable such that each expectation E(Xi) exists (i = 1,2, …n), then E(X1+X2…+Xn) = E(X1) +E(X2) +… E(Xn)
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36. Properties of Expectations
It follows from property 2 and property3 that for any constant a1, a2, …an and b, E(a1X1+a2X2…+anXn) = a1E(X1) +a2E(X2) +… +anE(Xn)
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37. Properties of Expectations
Property 4:
If X1, …Xn are n independent variables such that each expectation E(Xi) exists, then
E(X1．X2．X3…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)
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38. Properties of Expectations
Proof
X and Y are independent variables, P(XY)= P(X)P(Y)
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39. Rules for Means Property 1: c is a constant, then E(c) = c
Property 2: if Y=a．X+b, where a and b are constant, then E(Y) = a．E(X) + b
Property 3: if X1, X2, X3…Xn are n random variable such that each expectation E(Xi) exists (i = 1,2, …n), then E(X1+X2…+Xn) = E(X1) +E(X2) +… E(Xn)
Property 4: If X1, …Xn are n independent variables such that each expectation E(Xi) exists, then E(X1．X2．X3…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)
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40. Variance of Discrete Random Variable
非連續隨機變數的變異數
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41. Variance of Discrete Random Variable
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42. Variance of Discrete Random Variable
= 2.82 – (1.44)2
= ΣX2f(x) – u2
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43. Properties of the variance
Var(c)=0, c 為常數項
更正式的陳述：Var(X)=0 if and only if there exists a constant c such that P(X=c)=1.
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44. Properties of the variance
Property 5:
Var(aX+b)=a2Var(X)
Proof.
因為E(aX+b)=aE(X)+b=au+b
Var(aX+b)=E[((aX+b) – E(aX+b))2]
=E[(aX+b – au –b)2]=E[(aX-au)2]
=a2E[(X-u)2]
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45. Properties of the variance
Property 6:
If X1, …Xn are independent random variables, then Var(X1+…+Xn) = Var(X1)+ …+Var(Xn)
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46. Properties of the variance
Proof.
以n=2為例，If E(X1) = u1 and E(X2) = u2
E(X1+X2)=u1+u2
Var(X1+X2)=E[(X1+X2-u1-u2)2]
=E[(X1-u1)2+(X2-u2)2+2(X1-u1)(X2-u2)]
=Var(X1) + Var(X2) +2E[(X1-u1)(X2-u2)]
X1, X2 are independent, 根據property 4
E[(X1-u1)(X2-u2)]=E(X1-u1)E(X2-u2)=0
©Ming-chi Chen
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47. 例題 X,Y,Z are independent and E(X)=1, E(Y)=4, E(Z)=3
Var(X)=3, Var(Y)=7, Var(Z)=2
What is the mean and variance of
U=3X+4Y
E(U)=E(3X+4Y)=3E(X) + 4E(Y)
=3·1+4·4 = 19
Var(U) = Var(3X+4Y) = 9Var(X) + 16Var(Y)
=9*3+16*7 = 139
©Ming-chi Chen
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48. 例題 成功機械公司之生產經理欲推計該公司某一長期客戶，訂購其產品之生產成本。若經由多年之銷售記錄，訂立了該客戶每月訂購量X之機率分配如下：
X =1 f(X) = .5
X =2 f(X) = .3
X=3 f(X) = .2
(1) 求隨機變數（訂購量）X的期望值及變異數。
（２）若生產經理認為該產品的生產成本為：固定成本每月20,000元，每單位之變動成本為40,000。試求該項交易每月期望總生產成本為？(成大企研）
©Ming-chi Chen
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49. 例題 E(X)=(x)f(x)=1(.5)+2(.3)+3(.2)=1.7
Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 =3.5-(1.7)2=0.61
令Y= X
E(Y)= E(X)=88000
©Ming-chi Chen
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50. 第3.1講
連續變數的機率分配
©Ming-chi Chen
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51. Properties of Continuous probability distributions觀念
嚴格來說，因為測量的侷限，所有的變數皆為「非連續」discrete。
但當某一個變數的變量的數目很多，每一個變量出現的機率很低時，我們通常把它當作「連續」變數來處理。
例如：收入、所得、學校成績等。
©Ming-chi Chen
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52. Approximating a continuous distribution觀念
取100人的樣本並紀錄其完成工作的時間如下：
©Ming-chi Chen
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53. Approximating a continuous distribution觀念
以直方圖來表達：
©Ming-chi Chen
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54. Approximating a continuous distribution觀念
將樣本擴大至1,000
©Ming-chi Chen
社會統計

55. Approximating a continuous distribution觀念
將樣本擴大至10,000
©Ming-chi Chen
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56. Approximating a continuous distribution觀念
將樣本擴大至100,000，隨著樣本數的增加，每一個變量之間的間隔愈小，曲線愈趨於平滑。
這個曲線可以被視為是根據母體（試驗重複很多次）的相對次數分配所畫出來的直方圖。
©Ming-chi Chen
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57. Density Function 觀念
若某一連續隨機變數X的機率分配可以用數學函數f(x)及其所對應的平滑的曲線表達，則f(x)為X的機率密度函數(density function)。
©Ming-chi Chen
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58. Density Function 設X為一連續r.v.，若函數f(x)滿足下列條件: 則稱f(x)為機率密度函數。 定義
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59. Density Function 任何機率分配所有的“相對次數”的和為? 也就是說，曲線底下的面積和為1 觀念 ©Ming-chi Chen
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60. Density Function 界於a與b之間曲線下的面積如何計算？ 步驟一，先將a至b的區間切割成n等分： x1 x2 a b 觀念
©Ming-chi Chen
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61. Density Function 第一塊長方形區域的面積為： f(x2) f(x1) 第二塊長方形區域的面積為： x1 x2 a b 觀念
©Ming-chi Chen
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62. Density Function 觀念
若將a至b之間的區間做更細的切割，則長方形的面積和將為愈來愈趨近於曲線下的面積。如將上圖的五等分再細分成十等分。
f(x1) x1 x2 a b
©Ming-chi Chen
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63. Density Function 若再進一步細分成n份，則 f(x1) 當n趨近於無限大時，則 a b 觀念 ©Ming-chi Chen
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64. Density Function 如果f在[a,b]的區間中為連續，且c,d介於a與b之間，則x介於c與d之間的機率為： a b c d定義
如果f在[a,b]的區間中為連續，且c,d介於a與b之間，則x介於c與d之間的機率為： a b c d
©Ming-chi Chen
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65. Density Function 在連續隨機函數中，任意單獨變量所相對應的機率為 0。 a b定義
在連續隨機函數中，任意單獨變量所相對應的機率為 0。 a b
因為連續函數的變量x有無限個不同的值，任一特定變量a出現的機率等於1/∞
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66. Expected value 觀念
一非連續隨機變數(discrete r.v.)的變量為x1,x2,…xn，且每個變量的相對應的機率為p1,p2,…pn，則此隨機變數的期望值為：
f(x1)=p1 x1 x2 a b
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67. Expected value 將非連續隨機函數的期望值算法推演至連續隨機變數： f(x1) 先將a與b之間的區間分成n等分： x1 x2 a觀念
將非連續隨機函數的期望值算法推演至連續隨機變數：
f(x1)
先將a與b之間的區間分成n等分： x1 x2 a b
n個區間的範圍分別為：
©Ming-chi Chen
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68. Expected value p1為x落在[x0,x1]之間的機率，p2為x落在[x1,x2]區間的機率…觀念
p1為x落在[x0,x1]之間的機率，p2為x落在[x1,x2]區間的機率…
P2=f(x2) P1
p2為函數f曲線介於x1與x2之下的面積 x1 x2 x0 b
p1為函數f曲線介於xo與x1之下的面積
©Ming-chi Chen
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69. Expected value 觀念
P2=f(x2) P1 x1 x2 x0 b
©Ming-chi Chen
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70. Expected value 當n趨於無限大，x趨近於0時： x1 x2 x0 a b P2=f(x2) P1 定義
©Ming-chi Chen
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71. Variance 非連續變數的變異數： 連續變數的變異數： x1 x2 x0 a b P2=f(x2) P1 定義
©Ming-chi Chen
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72. 第3.2講
常態分配/標準常態分配/標準化
©Ming-chi Chen
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73. Normal Distribution常態分配定義
常態分配的機率密度函數PDF為:
We say that X is normally distributed with parameter μ and σ, denote X~N(μ, σ2)
©Ming-chi Chen
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74. 常態分配之重要性質 The curve is bell shaped and symmetric about the value X=μ觀念
X=μ
The curve is bell shaped and symmetric about the value X=μ
The curve extends from -∞ to +∞
©Ming-chi Chen
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75. 常態分配之重要性質 觀念
X=μ
The total area under the curve is 1. (this is required for all density function)
The curve is always above X-axis (f(x) ≧0, for all x)
μ=.Md=Mo
©Ming-chi Chen
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76. 常態分配之重要性質 不同μ，相同σ 相同μ，不同σ μ為位置參數，σ為形狀參數 μ1 μ2 μ3 μ 觀念 ©Ming-chi Chen
社會統計

77. 常態分配之重要性質 μ為位置參數，σ為形狀參數 若X～N(μ, σ2)，令Y=aX + b，則 Y~ N(aμ+b, a2σ2)觀念
μ為位置參數，σ為形狀參數
若X～N(μ, σ2)，令Y=aX + b，則 Y~ N(aμ+b, a2σ2)
若X～N(μ1, σ12) ，Y～N(μ2, σ22)，且X與Y獨立，則Z=X+Y之分配為 Z～N(μ1＋μ2, σ12＋ σ22)
©Ming-chi Chen
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78. 標準常態分配 Standard normal distribution觀念
A random variable is said to have the standard normal distribution if it has the normal distribution with mean μ=0 and σ2=1. Z~N(0, 1)
σ=1
μ=0
©Ming-chi Chen
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79. 標準常態分配曲線下的面積 觀念
34.1%
34.1%
13.6%
2.1%
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80. 標準常態分配曲線下的面積 P(Z<0) = 0.5 P(Z>0) = 0.5 P(Z< -z) = 1-P(Z  z)觀念
P(Z<0) = 0.5
P(Z>0) = 0.5
P(Z< -z) = 1-P(Z  z)
P(Z< -z) = P(Z > z)
©Ming-chi Chen
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81. Z介於零與一正數之間 例題
例題：Find P(0≦Z≦0.62)=?
z =0.62
©Ming-chi Chen
社會統計

82. 標準常態分配曲線下的面積 P(Z>0.62) =0.5-P(0≦Z≦0.62)例題
查表Table A Area under the standard normal distribution from 0 to z
小數點第二位
小數點第一位
P(Z>0.62)
=0.5-P(0≦Z≦0.62)
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83. Z介於零與一負數之間 Z~N(0,1), find P(-1.67Z 0)？例題
Z~N(0,1), find P(-1.67Z 0)？
查表可知， P(0<Z<1.67) =.4525
Z=-1.67
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84. Z介於一負數與正數之間 Z~N(0,1), find P(-1.21Z 2.15)？例題
Z~N(0,1), find P(-1.21Z 2.15)？
P(-1.21Z 2.15) =P(-1.21<Z<0)+ P(0<Z<2.15) = =.8711
Z=2.15
Z=-1.21
©Ming-chi Chen
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85. Z介於兩正數之間 Z~N(0,1), find P(1.21Z 2.15)？ P(0<Z<2.15) =.4842例題
Z~N(0,1), find P(1.21Z 2.15)？
P(0<Z<2.15) =.4842
P(0<Z<1.21) =.3869
P(1.21Z 2.15)
=P(0<z<2.15) – P(0<Z<1.21) =
Z=2.15
Z=1.21
©Ming-chi Chen
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86. Z介於兩負數之間 Z~N(0,1), find P(-2.15  Z  -1.21)？例題
Z~N(0,1), find P(-2.15  Z  -1.21)？
P(-2.15<Z<-1.21) =P(1.21Z 2.15) =
Z=-2.15
Z=-1.21
©Ming-chi Chen
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87. Z大於一正數 Z~N(0,1), find P(Z >1.64)？ P(0Z 1.64) =.4495例題
Z~N(0,1), find P(Z >1.64)？
P(0Z 1.64) =.4495
P(Z>1.64) = =.0505
Z=1.64
©Ming-chi Chen
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88. Z小於一負數 Z~N(0,1), find P(Z -2.02)？例題
Z~N(0,1), find P(Z -2.02)？
P(-2.02<Z<0) =P(0<Z<2.02) =
P(Z<-2.02) =
Z=-2.02
©Ming-chi Chen
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89. Z大於或小於4 Z~N(0,1), find P(Z >4.63)？ P(Z<4.63) =1 P(Z>4.63) =0例題
Z~N(0,1), find P(Z >4.63)？
P(Z<4.63) =1
P(Z>4.63) =0
©Ming-chi Chen
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90. 給定面積，求Z？ 例題
Z~N(0,1), find value z1 and z2 such that the area to the right of z2 is and the area to the left of z1 is 0.025？
P(Z>z2)=0.025
P(0<Z<z2)=.4750
查表得知z2=1.96 z1 z2
©Ming-chi Chen
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91. 標準常態分配中常用的累積機率 例題
右表為常用的數據，可以熟記
©Ming-chi Chen
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92. 求一般常態分配的面積 已知標準常態分配N(0,1)的面積，可以設法將任意常態分配N(μ, σ2)轉換成N(0,1)，利用查表即可求面積 觀念
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93. 標準化standardizing transformation觀念
X ~N(μ, σ2)，then standardized score or Z score =
Z ~N(0, 1)
Z score或是標準化分數的意義就是某數離均數有幾個標準差
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94. 給定常態分配，求介於兩數的機率？ 例題
Suppose X~N(10,25), find the area under the curve between x1=12 and x2=16? 10 12 16
P(.4<Z<1.2)= =.2295
u=0
z1=0.4
z2=1.2
©Ming-chi Chen
社會統計

95. 給定常態分配，求介於兩數的機率？ 一隧道工程每週的進度X~N(100,400), 求下週進度介於80 至120的機率 ?例題
一隧道工程每週的進度X~N(100,400), 求下週進度介於80 至120的機率 ?
400 80
100
120
P(80<X<120) =P(-1<Z<1) =
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96. 給定面積，求原始分數？ 高普考的成績為常態分配，平均分數為250，標準差為11.5，如果只錄取求2.5%，求最低錄取分數為何？例題
高普考的成績為常態分配，平均分數為250，標準差為11.5，如果只錄取求2.5%，求最低錄取分數為何？
11.5
P(Z<z0) = 0.975
250
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