1. 1 An algorithm for finding a shortest vector in a two- dimensional modular lattice An algorithm for finding a shortest vector in a two- dimensional modular lattice Theoretical Computer Science M. Lempel, A. Paz 1994 田錦燕 95/6/30

2. 2 outline 前言 Lemma - Geometrical basis Lemma - Find shortest vector The main algorithm Min-cross basis Complexity

3. 3 前言 題目： finding a shortest vector in a two-dimensional modular lattice 使用方法： 1. 由向量 v 1 取 determinant 為 ± d 的另一向量形成一 basis, 再 依該 basis 求得最短向量 v 2. 2.v 2 取代 v 1 重覆步驟 1, 直到沒有更短的向量. { (ia mod d, ib mod d ) | 0 ≦ i<d } Example: L 7 ((2,3))={(0,0),(2,3),(4,6),(6,2),(1,5),(3,1),(5,4)}

4. 4 Lemma - Geometrical basis 在 L d (a,b) 上的一向量 (c,e), 其中 gcd(c,e)=1, 另有 一向量 (c 1,e 1 ), 且 時, 稱 (c,e) 和 (c 1,e 1 ) 為 L d (a,b) 的一 geometrical basis Example: (L 7 (2,3))={(0,0),(2,3),(4,6),(6,2),(1,5),(3,1),(5,4)} Lattice 中的任兩個向量的 determinant 為 ±kd, 0<k<d

5. 5 Lemma - Find shortest vector (c,e) 和 (a,b) 為 L d (a,b) 的一 geometrical basis 最短向量為下列兩者之一： ( 求出的向量為正的情形下,i 0 儘可能大,i 1 儘可能小 ) Example: (c,e)=(1,5) (a,b)=(2,3) => (1,5)- i 0 (2,3) min i 0 =0 －＞ (1,5) -(1,5)+ i 1 (2,3) min i 1 =2 －＞ (3,1) (shortest)

6. 6 The main algorithm Crossing basis

7. 7 Min-Cross(1)

8. 8 Min-Cross(2)

9. 9 Min-Cross(3)

10. 10 範例 (1) L 13 (5,11)

11. 11 範例 (2) L 13 (5,11)

12. 12 範例 (3) L 13 (5,8) ( 無條件進位 ) ( 無條件捨去 )

13. 13 範例 (4) L 13 (5,8)

14. 14 範例 (5) L 20 (14,5)

15. 15 範例 (6) L 20 (14,5)

16. 16 Complexity Complexity ：