1. 1 Numerical Methods 數值方法

2. 2 What is Numerical Methods?

3. 3 Terms Algorithm –A step by step procedure that produce a solution for a particular problem Numerical Methods –An algorithm for solving a problem whose solution consists of one or more numerical values. Most numerical methods give answers that are only approximate to the desired true solution

4. 4 Terms Numerical Solution –numerical form; can obtain solution values at only pre-selected position of the problem domain Analytical Solution –close (symbolic) form; can obtain solution values at any position of the problem domain

5. 5 Tools ?

6. 6 Ready ?

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8. 8 根據牛頓第二運動定律，物體動量的時變率等於施加 於物體的外力。其數學表示式，或者是數學模型如下 其中 F 是施於物體的淨力（ N, 或者是 kg m/s 2 ）， m 為 物體的質量 (kg) 以及 a 是物體的加速度 (m/s 2 ) 。 可將第二運動定律寫成如 (1.1) 式的形式 其中 a 是表示系統行為的應變數， F 是強制函數， m 是參數。 注意，在這個簡單的例子中沒有自變數，因為我們還 沒有探討時間或空間中加速度的變化。

9. 9 其他物理現象的數學模型很可能更為複雜，複雜到無法求出精確的解，或者是 需要利用其他複雜的數學技巧才能求得出解。我們以牛頓第二運動定律決定在地表 附近自由落體的終端速度 (terminal velocity) 來當作一個例子。加速度可以表示成速 度的時變率 (1.4) 其中是速度（公尺 / 秒）。 當物體自由落下，則淨力包含兩部分：由重力造成的往下拉力 F D ， 由空氣阻力造成的往上推力 F U （如圖 1.1 ）， (1.5) (1.6) 其中 g 是重力加速度 (9.81 m/s2) 。 根據流體力學 (1.7) 其中 c d 是比例常數 (proportionality constant) ，叫做阻力係數 (drag coefficient)(kg/m) 。 淨力則是往下和往上的力的總和。因此，綜合 (1.4) 式到 (1.7) 式，我 們可以得到 (1.8)

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11. 11 因為這是一個微分方程式，你知道可利用微積分求出 速度對於時間的函數的解析解 (analytical solution) 或者是精 確解 (exact solution) 。在接下來的本書內容中，我們將說明 另一種求解的方式。我們將會發展一套以電腦為導 向的數值解或者是近似解。 除了介紹如何使用電腦求解特殊的問題之外，要說明 (a) 什麼是數值方法以及 (b) 數值方法在求解工程或科學問題 中所扮演的角色。

12. 12 (1.8) 式是一個將自由落體加速度和所受作用力關連起來的數學 模型。 (1.8) 式是一個微分方程式 (differential equation) ，因為式中包 含了我們關注並且想要預測的變數變化率 (dυ/dt) 。但這個解很難使 用簡單的代數運算求得。我們需要微積分，才能算出正確的解或 解析解。如果參與者起始時為靜止（ υ = 0 當 t = 0 ），微積分求解 (1.8) 式，我們得到 (1.9) 其中 tanh 是 (1.10) 注意 (1.9) 式為 (1.1) 式的一般形式，其中 υ (t) 是應變數， t 是自 變數， c d 和 m 是參數， g 是強制函數。

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15. 15 (1.9) 式稱為解析解 (analytical solution) 或者是閉式解 (closed-form solution) ，因為此解答剛好滿足原始的微分方程式。不幸的，有很多 數學模型根本就沒有辦法確實地算出來。在這樣的情況下，我們只能 採用數值方法去求得精確解的近似值。 而數值方法 (numerical methods) 就是將數學問題重新列式，使之能 利用算術運算來求解。

16. 16 我們藉由圖 1.3 說明， (1.8) 式中速度對時間的變化率可以近似成： (1.11) 其中 Δυ 和 Δt 是速度和時間在一小段區間之內的差分， υ(t i ) 則是在起始時間 t i 的速 度，而 υ(t i + 1 ) 則是在下一個時刻 t i + 1 的速度。注意 dυ/dt ≅ Δυ/Δt 這個近似在 t 有限 小的情況下是成立的。因為微積分曾經教過我們 (1.11) 式則表示反向的程序。

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23. 23 數值方法。其本質，就是將各種數學運算，轉換成可應用於數位電腦的簡單算 術與邏輯運算。數值方法涵蓋的主要範圍：

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