1. 吉林大学远程教育课件 主讲人 : 杨凤杰学 时： 64 ( 第三十九讲 ) 离散数学

2. 例 8.2.5 设 S 是一个集合， ρ （ S ）是 S 的幂集合，集合 的交（ ∩ ），并（∪）是 ρ （ S ）上的两个代数运算， 于是，（ ρ （ S ）， ∩ ，∪） 是一个格。而由例 8.2.1 知 （ ρ （ S ），  ）是半序格。 易见对 A  B  A∩B = A  A ∪ B = B 。

3. 例 8.2.6 设 I + 是所有正整数 集合，两个正整数的最高公 因 × ，  最小公倍可看做是 I + 上两个代数运算，于是， （ I + ， × ，  ）是一个格。 而由例 8.2.2 知（ I + ， D ）是半 序格。易见，对任意 a ， b  I + ， a D b  a×b = a  a  b = b 。 例 8.2.7 设 n 是一个正整数， S n 是 n 的所有 因数的集合, 两个正整数的最高公因 ×, 最 小公倍  可看做是 S n 上两个代数运算, 于 是, （ S n ， × ，  ）是一个格。

4. 定理 8.2.1 定义 A 所定义的格 和定义 B 所定义的格是等价的， 亦即，一个部份序格必是一个 代数格；反之亦然。 证明： i ）若（ L ， ≤ ）是一个格， 则对任意 a ， b ∈ L ，记 inf{a ， b} 为 a×b ； sup{a ， b} 为 a  b 。由于对任意 a,b, 其 inf{a ， b},sup{a ， b} 是唯一的，所 以，如上定义的 × ，  是集合 L 上的两种 二元代数运算。不难证明，对于 × ，  满 足交换律，结合律，吸收律。我们只证 明吸收律： a× （ a  b ） =a 其它算律的证明留给读者。

5. 因为 a× （ a  b ）是 a 与（ a  b ） 的最大下界，所以 a× （ a  b ） ≤a ；另一方面， 由于 a≤a ， a≤a  b ，所以， a 是 a 与 a  b 的下界， 故 a≤a× （ a  b ）， 故 a = a× （ a  b ）。 因此，根据定义 B ，（ L ， × ，  ）是一个 格。 ii ）若代数系统（ L,×,  ）是一个格, 在集合 L 上定义一个关系 ≤ 如下： 对任意 a ， b ∈ L ， a≤b  a×b=a 往证： ≤ 是一个部份序关系。

6. 因为 a×a=a× （ a （ a×a ）） =a 所以有 a≤a 。 若有 a≤b,b≤a, 则应有 a×b=a ， b×a=b ，而 a×b = b×a ， 所以 a=b 。 若 a≤b ， b≤c ，则有 a×b=a ， b×c=b ，故 a×c= （ a×b ） ×c = a× （ b×c ） = a×b = a ，亦即，有 a≤c 。 由此证明了关系 ≤ 具有反身性， 反对称性，传递性。故 ≤ 是部份序关系。

7. 不难证明： a×b = a  a  b = b 。 若 a×b = a ，则 a  b = （ a×b ）  b=b 。 若 a  b = b ，则 a×b=a× （ a  b ） =a 。 因此，对任意 a ， b ∈ L ， a≤b a  b = b 。 下面证明，对任意 {a ， b}  L ， 存在 inf{a ， b} ， sup{a ， b} ，

8. 由吸收律知 a× （ a  b ） = a ， b× （ a  b ） = b ， 故有 a≤ （ a  b ）， b≤ （ a  b ）。 亦即， a  b 是 {a ， b} 的上界。 若 c ∈ L ，且 c 是 {a ， b} 的上界， 亦即有 a≤c ， b≤c ，则应有 a  c=c ， b  c=c ，于是， （ a  b ）  c = （ a  b ）  （ c  c ） = （ a  c ）  （ b  c ） = c  c = c 故有（ a  b ） ≤c 。这就说明了（ a  b ）是 {a ， b} 的最小上界， 即 sup{a ， b} = （ a  b ）。

9. 同理可证， inf{a ， b} = （ a×b ）。 故（ L ， ≤ ）称为半序格， （ L ， × ，  ）称为代数格。 由此定理知, 给出一个半序格 （ L,≤ ）, 就有一个与之等价 的代数格（ L ， × ，  ）。反之， 给出一个代数格（ L ， × ，  ），就有一个 与之等价的半序格（ L ， ≤ ）。 互为等价的两个格 :(L,≤) 和 (L,×,  ), 其 × ，  分别是在部份序关系 ≤ 下的最大下界运算 和最小上界运算。 今后，提到一个格，可随便将其理解为半 序格或者是与之等价的代数格。

10. 定义 B′ 设（ L ， × ，  ） 是一个格， S 是 L 的一个子集， (S,×,  ) 称为 (L,×,  ) 的一 个子格，当且仅当在运算 ×,  下， S 是封闭的。 显然，子格是一个格。 例如，（ S n ， × ，  ）是 （ I + ， × ，  ）的子格，其中 × ，  分别是 最高公因和最小公倍。 从定义 B′ 不难说明，若（ L ， × ，  ）是一 个格,S  L, 并且（ S,×,  ）也是格, 则（ S,×,  ）是（ L,×,  ）的子格。 亦即 : （ S,×,  ）是格（ L,×,  ）的子格的充 要条件是： S  L 且（ S ， × ，  ）是一个 格。

11. 最后指出一点：设（ L ， ≤ ） 是一个格，与其等价的代数 格为（ L ， × ，  ）， S 是 L 的 一个子集。若（ S ， × ，  ）是定 义 B′ 下的（ L ， × ，  ）的子 格，则显然，（ S ， ≤ ）是定 义 A′ 下的（ L ， ≤ ）的子格；若 (S,≤) 是定义 A′ 下的（ L ， ≤ ）的子格， 则（ S ， × ，  ）不一定是定义 B′ 下的 （ L ， × ，  ）的子格。 例如：设（ L ， ≤ ）是如下图的一个格，其 中 L={a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,a 8 } 。

12. 取 S 1 ={a 1 ， a 2 ， a 4 ， a 6 } ，则（ S 1 ， ≤ ）是 （ L ， ≤ ）的子格（定义 A ′ ）， 也是 ( L,×,  ）的子格（定义 B ′ ）。 取 S 2 ={a 1 ， a 2 ， a 4 ， a 8 } ，则（ S 2 ， ≤ ）是 （ L ， ≤ ）的子格（定义 A ′ ）， 但是（ S 2 ， × ，  ）不是（ L ， × ，  ）的 子格（定义 B ′ ）。因为， a 2 × a 4 =a 6 ，而 a 6  S 2, 亦即, S 2 在运算 × 下不是封闭的。 a6a6 a3a3 a1a1 a2a2 a4a4 a5a5 a8a8 a7a7