1. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 第 2 章 線性規劃：基本概念  學習目標 2.2  偉伯玻璃公司產品組合問題 （ 2.1 節） 2.3  在試算表上架構偉伯問題模式 （ 2.2 節） 2.4–2.8  偉伯問題之代數模式 （ 2.3 節） 2.9  利用圖解法求解偉伯問題 （ 2.4 節） 2.10–2.20  用 Excel Solver 求解偉伯問題 （ 2.5 節） 2.21–2.26  最小化範例 —The Profit & Gambit 公司 （ 2.6 節） 2.27–2.32 補充教材  線性規劃導論（華盛頓大學上課教材） 2.33–2.48  圖解法與 LP 解之性質（華盛頓大學上課教材） 2.49–2.57

2. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-2學習目標  在讀完本章後，你應該能夠： 1. 解釋什麼是「線性規劃」。 2. 了解建構試算表模式前所必須找出的三項核心問題。 3. 指出及確認線性規劃試算表模式中四種儲存格的目的。 4. 根據問題描述於試算表中建構線性規劃模式。 5. 在試算表中表示線性規劃模型的代數式。 6. 運用圖解法求解雙變數線性規劃問題。 7. 使用 Excel 求解線性規劃試算表模式。

3. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-3偉伯玻璃公司產品組合問題  偉伯公司發展以下的新產品： – 鋁框 8 呎玻璃門 –4 呎  6 呎可雙面懸掛的木框窗戶  公司擁有三間工廠 ： – 工廠 1 ：生產鋁框及金屬器件 – 工廠 2 ：生產木框 – 工廠 3 ：生產玻璃並進行門及窗戶的組裝 問題 ： 1. 公司是否應該從事新產品的生產？ 2. 如果是的話，最佳的產品組合為何？

4. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-4發展試算表模式  步驟一：資料儲存格 – 在試算表上輸入問題所有相關的資料 – 使用一致性的欄與列儲存方式 – 利用不同顏色來顯示這些「資料儲存格」（例如：淺色）是不錯 的方法

5. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-5發展試算表模式（續）  步驟二：變動儲存格 – 在試算表上替每個需要做的決策設置一儲存格 – 若是你沒有特殊的起始解（ initial values ）考量，只要輸入 0 即 可 – 利用顏色與框線等來顯示這些「變動儲存格」（例如：淺色並 加框線）是不錯的方法

6. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-6發展試算表模式（續） 步驟三：目標儲存格 – 發展一個方程式來定義模式的目標 – 基本上此方程式涉及資料儲存格與變動儲存格以便決定感興 趣的數量（例如：總利潤或總成本） – 利用顏色來顯示這個儲存格（例如：深色並加粗框線）是不 錯的方法

7. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-7發展試算表模式（續）  步驟四：限制式 – 對於受限制的資源，在試算表某一儲存格中計算該資源使用 量（輸出儲存格） – 在三個連續的儲存格中定義限制式。例如：若數量 A <= 數量 B ，將此三項（數量 A 、 <= 、 數量 B ）置於相鄰的儲存格

8. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-8一組試驗解  偉伯問題試算表中將一組試驗解（ 4 扇門及 3 個窗戶） 輸入於變動儲存格

9. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-9偉伯玻璃公司之代數模式 令 D = 玻璃門的生產數量 W = 木框窗戶的生產數量 最大化 P = $300D + $500W 受限於 D ≤ 4 2W ≤ 12 3D + 2W ≤ 18 且 D ≥ 0, W ≥ 0

10. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-10產品組合示意圖

11. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-11 滿足限制式： D ≥ 0 及 W ≥ 0 之區域示意圖 木框窗戶的產能木框窗戶的產能 玻璃門的產能

12. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-12 滿足 D ≤ 4 之非負解 木框窗戶的產能木框窗戶的產能 玻璃門的產能

13. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-13 滿足 2W ≤ 12 之非負解 木框窗戶的產能木框窗戶的產能 玻璃門的產能

14. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-14 限制式 3D + 2W ≤ 18 之邊界線 木框窗戶的產能木框窗戶的產能 玻璃門的產能

15. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-15改變右側值將產生一些平行的限制式邊界線 木框窗戶的產能木框窗戶的產能 玻璃門的產能

16. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-16 滿足 3D + 2W ≤ 18 之非負解 木框窗戶的產能木框窗戶的產能 玻璃門的產能

17. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-17可行解區域之示意圖

18. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-18 目標函數（ P = 1,500 ） 木框窗戶的生產率 玻璃門的生產率 可行 區域

19. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-19尋找最佳解

20. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-20圖解法摘要  畫出每個函數限制式的限制邊界線，利用原點（或其 他不在線上的點）決定線的哪一邊才能滿足限制式。  確定是否同時滿足所有的限制式，找出可行區域。  求出目標函數線的斜率，所有的目標函數線的斜率要 相同。  以這個斜率，在可行區域內往可改善目標值的方向移 動線段，直到此線段與可行區域只交於一點即停止移 動，包含這條線段的直線即是最佳目標函數線。  在最佳目標函數線上的可行點即為最佳解。

21. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-21辨識目標儲存格與變動儲存格  從「工具」選單選擇「規劃求解」  在「設定目標儲存格」視窗中，選擇你想要最佳化的 儲存格  依據你是否要最大化或最小化目標儲存格，選擇「最 大值」或「最小值」  在「變動儲存格」視窗中輸入所有變動儲存格

22. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-22新增限制式  若要輸入限制式，選擇限制式視窗右側的「新增」按 鈕  在「新增限制式」對話視窗中輸入限制式相關資料

23. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-23完整的「規劃求解」對話視窗

24. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-24一些重要的選項  按「選項」鈕，並且選取「採用線性模式」以及「採 用非負值」二個選項 – 「採用線性模式」告訴規劃求解這是一個線性規劃模式 – 「採用非負值」會將非負限制式加到所有變動儲存格

25. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-25「規劃求解結果」對話視窗

26. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-26最佳解

27. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-27 Profit & Gambit 公司  管理階層決定推動一個新的廣告活動，並把目標鎖定在以下三種 主要產品上： – 噴霧去漬劑 – 液態洗衣精 – 洗衣粉  這個活動將運用電視及平面媒體作廣告  最根本的目標是希望增加這些產品的銷售量  管理階層為該廣告活動訂定以下目標： – 去漬劑的銷售額至少要增加 3% 。 – 洗衣精的銷售額至少要增加 18% 。 – 洗衣粉的銷售額至少要增加 4% 。 問題：目標是要決定於各種媒體應該廣告多少數量，在達到銷售目 標的前提下，使總成本最小化？

28. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-28 Profit & Gambit 公司試算表模式

29. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-29 Profit & Gambit 公司問題之代數模式 令 TV = 電視廣告的單位數量 PM = 平面媒體廣告的單位數量 最小化 成本 = TV + 2 PM ( 百萬美元 ) 受限於 去潰劑增加的銷售量： PM ≥ 3 液狀洗衣精增加的銷售量： 3 TV + 2 PM ≥ 18 洗衣粉增加的銷售量： –TV + 4 PM ≥ 4 TV ≥ 0, PM ≥ 0

30. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-30運用圖解法 電視廣告的單位數量 平面媒體廣告的單位數量 可行 區域

31. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-31最佳解 電視廣告的單位數量 平面媒體廣告的單位數量 可行 區域 最佳解

32. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-32圖解法摘要  畫出每個函數限制式的限制邊界線，利用原點（或其 他不在線上的點）決定線的哪一邊才能滿足限制式。  確定是否同時滿足所有的限制式，找出可行區域。  求出目標函數線的斜率，所有的目標函數線的斜率要 相同。  以這個斜率，在可行區域內往可改善目標值的方向移 動線段，直到此線段與可行區域只交於一點即停止移 動，包含這條線段的直線即是最佳目標函數線。  在最佳目標函數線上的可行點即為最佳解。

33. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-33一個生產問題 原物料每週供給量： 8 個小木塊 6 個大木塊 產品： 桌子 利潤 = $20/ 桌子 椅子 利潤 = $15/ 椅子

34. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-34線性規劃  線性規劃使用數學模式來找出對於各項活動最佳的資 源配置以使得利潤最大或是成本最小 令 T = 桌子生產量 C = 椅子生產量 最大化 利潤 = ($20)T + ($15)C 受限於 2T + C ≤ 6 大木塊 2T + 2C ≤ 8 小木塊 且 T ≥ 0, C ≥ 0

35. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-35圖形表示

36. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-36線性規劃模式的組成元素  資料儲存格  變動儲存格（決策變數）  目標儲存格（目標函數）  限制式

37. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-37線性規劃的四項假設  線性（ Linearity ）  不可分割性（ Divisibility ）  確定性（ Certainty ）  非負值（ Nonnegativity ）

38. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-38何種情況下試算表模式為線性？  所有方程式（輸出儲存格）必須具有以下形式： = ax + by + cz + … 其中 a, b, c 為常數（資料儲存格）且 x, y, z 為變動儲存格  若 C1:C6 為變動儲存格， D1:D6 為資料儲存格 以下何者可能為 LP 模式的一部分？ –SUMPRODUCT(D1:D6, C1:C6) –SUM(C1:C6) –C1 * SUM(C4:C6) –SUMPRODUCT(C1:C3, C4:C6) –IF(C1 > 3, 2*C3 + C4, 3*C3 + C5) –IF(D1 > 3, C1, C2) –MIN(C1, C2) –MIN(D1, D2) * C1 –ROUND(C1)

39. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-39為何使用線性規劃？  線性規劃模式較易於（較有效率）求解  最好的（最佳的）解確保可以找到（若存在的話）  可以產生有用的敏感度分析相關資訊  許多問題本質上是線性的

40. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-40發展試算表模式  步驟一：資料儲存格 – 在試算表上輸入問題所有相關的資料 – 使用一致性的欄與列儲存方式 – 利用不同顏色來顯示這些「資料儲存格」（例如：淺藍色） 是不錯的方法

41. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-41 發展試算表模式 ( 續 )  步驟二：變動儲存格 – 在試算表上替每個需要做的決策設置一儲存格 – 若是你沒有特殊的起始解（ initial values ）考量，只要輸入 0 即可 – 利用顏色與框線等來顯示這些「變動儲存格」（例如：黃色 並加框線）是不錯的方法

42. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-42發展試算表模式（續） 步驟三：目標儲存格 – 發展一個方程式來定義模式的目標 – 基本上此方程式涉及資料儲存格與變動儲存格以便決定感興 趣的數量（例如：總利潤或總成本） – 利用顏色來顯示這個儲存格（例如：橙色並加粗框線）是不 錯的方法

43. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-43發展試算表模式（續）  步驟四：限制式 – 對於受限制的資源，在試算表某一儲存格中計算該資源使用 量（輸出儲存格） – 在三個連續的儲存格中定義限制式。例如：若數量 A <= 數量 B ，將此三項（數量 A 、 <= 、 數量 B ）置於相鄰的儲存格

44. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-44定義目標儲存格  從「工具」選單選擇「規劃求解」  在「設定目標儲存格」視窗中 ， 選擇你想要最佳化的儲存格  依據你是否要最大化或最小化目標儲存格 ， 選擇「最大值」或「最 小值」

45. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-45辨識變動儲存格  在「變動儲存格」視窗中輸入所有變動儲存格 – 你可以將游標點一下儲存格位址或是直接輸入位址 – 若有多組變動儲存格，以逗號將其隔開

46. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-46新增限制式  若要輸入限制式，選擇限制式視窗右側的「新增」按鈕  在「新增限制式」對話視窗中輸入限制式相關資料

47. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-47一些重要的選項  按「選項」鈕，並且選取「採用線性模式」以及「採用非負值」 二個選項 – 「採用線性模式」告訴 Solver 這是一個線性規劃模式 – 「採用非負值」會將非負限制式加到所有變動儲存格

48. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-48解  在按下「求解」後，你將會看到以下四則訊息其中之 一： – 「規劃求解找到一解，可滿足所有的限制式及最佳狀況」 – 「規劃求解找不到合適的解」 – 「儲存格所設的值並不收斂」 – 「線性模式的假設並不成立」

49. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-49以圖解法求解線性規劃問題  將問題建構成為一個線性規劃模式  畫出限制式  找出可行解區域  畫一條與目標函數平行的直線（ Z = a ）  找出最佳解

50. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-50 範例 # 1 最大化 Z = 3x 1 + 5x 2 受限於 x 1 ≤ 4 2x 2 ≤ 12 3x 1 + 2x 2 ≤ 18 且 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

51. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-51 範例 # 2 最小化 Z = 15x 1 + 20x 2 受限於 x 1 +2x 2 ≥ 10 2x 1 – 3x 2 ≤ 6 x 1 + x 2 ≥ 6 且 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

52. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-52 範例 # 3 最大化 Z = x 1 + x 2 受限於 x 1 +2x 2 = 8 x 1 – x 2 ≤ 0 且 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

53. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-53線性規劃解之特性  最佳解必定落在可行解區域的邊緣  線性規劃有四種可能的結果： – 找到唯一最佳解 – 存在有無窮多組最佳解 – 不存在可行解 – 有無窮大（或無窮小的）目標函數值（沒有最佳解）  若一個 LP 模式有最佳解，則此解必定落在端點 （ corner point ）上  若一個 LP 模式有許多組最佳解，則其中至少有二組解 會落在端點上

54. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-54 範例 # 4 （多組最佳解） 最小化 Z = 6x 1 + 4x 2 受限於 x 1 ≤ 4 2x 2 ≤ 12 3x 1 + 2x 2 ≤ 18 且 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

55. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-55 範例 # 5 （無可行解） 最大化 Z = 3x 1 + 5x 2 受限於 x 1 ≥ 5 x 2 ≥ 4 3x 1 + 2x 2 ≤ 18 且 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

56. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-56 範例 # 6 無窮解（ Unbounded Solution ） 最大化 Z = 5x 1 + 12x 2 受限於 x 1 ≤ 5 2x 1 –x 2 ≤ 2 且 x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.

57. © The McGraw-Hill Companies, Inc., 2009 2-57 單體法（ The Simplex Method Algorithm ） 1. 從一可行端點開始（常為原點） 2. 檢驗是否相鄰的端點有改善目標函數值： a) 若有的話， 移到此端點並且重複步驟 2 b) 若沒有的話，目前的端點即為最佳解並且停止搜尋