1. The Great Fusion 當紐約時報問 Mallory 為何要攀登艾佛勒斯峰, Mallory 回答 : [ 因為它就在那裡 ]

2. 數學的傳統分類 算術 – 研究整數與分數 算術 – 研究整數與分數 幾何 – 研究空間裡的圖形 幾何 – 研究空間裡的圖形 代數 – 以抽象符號代表數學物件 ( 數, 線, 矩 陣, 變換 ) 代數 – 以抽象符號代表數學物件 ( 數, 線, 矩 陣, 變換 ) 分析 – 研究極限 分析 – 研究極限 描述自然的一種方式 : 觀察現象, 描述現象 今天 解析數論, 代數數論, 幾何數論

3. 19 世紀是分析的世紀 當時, 最聰明的頭腦也搞不清楚 當時, 最聰明的頭腦也搞不清楚 甚麼是無窮大 無限小 ? 無窮大到底是甚麼 ? 甚麼是無窮大 無限小 ? 無窮大到底是甚麼 ?

4. 研究極限是從 1670 年 牛頓及萊布尼茲開始的 分析學 – 包含調和級數與微積分 分析學 – 包含調和級數與微積分 是討論無窮大小的問題也就是極限與連續性的 問題 是討論無窮大小的問題也就是極限與連續性的 問題 這種觀念是人類心智最難以掌握的一種 這種觀念是人類心智最難以掌握的一種 數學的思維 有時呈現高度非自然性, 完全違反人類所有的思想及語言 數學原理 (A.N. Whitehead & B.russell) – 花了 345 頁 定義 1 人類經過 2000 年的奮鬥, 才把 0 放進生活裡

5. 數數是容易的, 抽象化是困難的 算數有一種特性 算數有一種特性 能夠以相當淺易的方式描述問題, 但是要證明卻 是萬分困難的事情 能夠以相當淺易的方式描述問題, 但是要證明卻 是萬分困難的事情 哥德巴赫 (Christian Goldbach) 1742 年提出一個猜想 大於 2 的每一個偶數都能找到兩個質數 260 年來, 地球上最聰明的頭腦一起奮鬥都沒能夠證明 高斯 輕易看出費馬最後定理很難

6. 1 是一個數嗎 ? 1 是一個數嗎 ? 數學原理 (A.N. Whitehead and B. Russell) 這本書花費 345 頁來定義 1

7. 哥德巴赫 (Christian Goldbach) 猜想 260 年來, 無人能夠證明 260 年來, 無人能夠證明 任意大於 2 的偶數都能找到兩個質數, 任意大於 2 的偶數都能找到兩個質數, 它們相加起來會等於該數. 1742 年

8. 瑪洛利 因素 (Mallory Factor) 當紐約時報問 Mallory 為何要攀登艾佛勒斯 峰, Mallory 回答 : [ 因為它就在那裡 ] 當紐約時報問 Mallory 為何要攀登艾佛勒斯 峰, Mallory 回答 : [ 因為它就在那裡 ] 為何你要解決這個問題 ? 因為它就在那裡

9. 天才是忘了喝婆湯的人嗎 ?

10. 19 世紀歐洲社會到底發生了甚麼事 情, 導致了數學大量的發展 ?

11. 20 世紀德國崛起的原因又為何 ? 1806 耶拿戰役戰敗  民族主義 1806 耶拿戰役戰敗  民族主義 現代化國家的渴望 現代化國家的渴望

12. 十九世紀, 世界數學知識的首都 巴黎 聽大師演講 – 不是要聽懂, 而是要目睹風采 聽大師演講 – 不是要聽懂, 而是要目睹風采 資料豐富以及對資料的洞察能力 資料豐富以及對資料的洞察能力 敏銳的觀察及理解能力 敏銳的觀察及理解能力 他不用講義, 從他的手心他看見想像中的演 算, 大聲唸出來, 好像我們也看見那些演算 他不用講義, 從他的手心他看見想像中的演 算, 大聲唸出來, 好像我們也看見那些演算 狄利克雷 – 黎曼的老師 上課的風采

13. 有趣的現象 : 比例數量相同的質數 任取一個數 9, 比 9 小的數中, 有幾個沒有跟 9 公因數 ? 任取一個數 9, 比 9 小的數中, 有幾個沒有跟 9 公因數 ? 1 2 4 5 7 8 ( 將這些數字輪流加到九與和上 ) 1 2 4 5 7 8 ( 將這些數字輪流加到九與和上 ) 1: 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, … 2: 11, 20, 29, 38, 47, 56, 65, 74, 4: 13, 22, 31, 40, 49, 58, 67, 76, … 5: 14, 23, 32, 41, 50, 59, 68, 77, … 7: 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 79, … 8: 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, … 每一個串列的質數數目是一樣的 狄利克雷證明 : 每一個串列大約有 個

14. End End