1. מושג ההתפלגות מושגי יסוד בהסתברות: צפיפות ההסתברות הגדרת משתנים בדידים ורציפים ממוצע וסטיית תקן התפלגות נורמלית (גאוסית) הסתברות של מאורעות בלתי תלויים התפלגות המהירויות המולקולריות במימד אחד בשלושה מימדים קבלת ערכים ממוצעים מההתפלגויות מטרות השיעור ומבנהו

2. מספר המולקולות במול הוא ענק, וגם בכל מערכת ניסיונית רגילה. רוב המדידות שנבצע מתייחסות לאוסף של מולקולות ולא למולקולה בודדת, ורוב התכונות שנמדוד תהינה ממוצע על פני האוסף. הדבר דומה לאוסף גדול של גרגרי חול: אם נרצה לדעת את המשקל של גרגר בודד, נשקול את כל האוסף ונחלק במספר הגרגרים. התוצאה תהיה המשקל הממוצע של גרגר, אם כי ייתכן שאין אף גרגר בעל משקל כזה בדיוק. נגדיר איפוא את הממוצע באופן מתמטי ונמצא את הערך הממוצע של משתנה בדיד (דיסקרטי) ושל משתנה רציף. הסתברות, התפלגויות וממוצעים

3. נניח שיש בכיתה 10 תלמידים שגובהם בס''מ נתון בטבלה: 12345678910 160166170172174177178180186191 אם הסיכוי לבחור תלמיד נתון אינו תלוי בגובה, ההסתברות לבחור תלמיד שגובהו 174 ס''מ היא 1/10 וכך לכל גובה אחר. אם נרצה לבחור תלמיד שהגובה שלו בין 170 ל179 ס''מ, ההסתברות תהיה p(170-179)=5/10 =1/2 משתנה בדיד

4. באופן כללי נגדיר את ההסתברות p j כיחס בין מספר הפעמים n שתוצאה מסוימת מתקבלת (N j ) לבין סה''כ האפשרויות p j = N j /N מההגדרה ברור כי משתנה בדיד

5. אם נרצה לחשב את הגובה הממוצע של תלמיד בכיתה נוכל לעשות זאת במספר דרכים. דרך מדויקת היא למדוד את הגובה של כל אחד, לחבר ולחלק ב 10. התוצאה: 175.4 ס'מ. משתנה בדיד - ממוצע

6. 12345678910 160166170172174177178180186191 h- 15.4-9.4-5.4-3.4-1.4-1.62.64.610.6 15.6 שונות (Variance): מידה לסטייה מהממוצע השונות מוגדרת ע''י: אם נסכם את כל ההפרשים נקבל אפס! לכן משתמשים בסכום ריבועי ההפרשים.

7. שורש השונות נקרא סטיית התקן והוא המידה המקובלת לשגיאה.

8. 12345678910 160166170172174177178180186191 h- 15.4-9.4-5.4-3.4-1.4-1.62.64.610.6 15.6 (h- ) 2 23788291223721112 243 סטיית התקן (Standard deviation)  =9.15 cm

9. דרך אחרת היא לחשב את הממוצע של כל קבוצה ברזולוציה של 10 ס''מ ואז לחשב ממוצע של הממוצעים: קבוצה מספר תלמידיםממוצע הסתברות "160"21630.2 "170"5174.20.5 "180"21830.2 "190"11910.1 אותה תוצאה (כמובן). משתנה בדיד - ממוצע

10. כאשר מדובר במספרים גדולים, אפשר להניח שבתוך האוסף יימצאו כל הערכים של הגובה בין גבולות סבירים ונוכל לחשב את הממוצע על ידי סכימה רציפה של כל הערכים. נוח להגדיר לכן את צפיפות ההסתברות f(h) כך שההסתברות למצוא אדם באינטרוול שביןh ל h+  h הוא p(h)=f(h)  h לכן f(h)=p(h)/  h יחידות צפיפות ההסתברות הן -1 (גובה). משתנה בדיד – מספרים גדולים

11. מאחר שבחרנו אינטרוול של 10 ס''מ אפשר לחשב את צפיפות ההסתברות של כל קבוצה: קבוצה מספר תלמידיםממוצע הסתברותצפיפות ההסתברות (ס"מ)(cm -1 ) "160"21630.20.02 "170"5174.20.50.05 "180"21830.20.02 "190"11910.10.01 אותה תוצאה (כמובן). משתנה בדיד - ממוצע

12. כאשר מדובר במספרים גדולים, אפשר להניח שבתוך האוסף יימצאו כל הערכים של הגובה בין גבולות סבירים ונוכל לחשב את הממוצע על ידי סכימה רציפה של כל הערכים. נעבור מ  h ל dh כלומר לאינטרוולים דיפרנציאליים. במקרה זה נוכל להניח שצפיפות הסיכוי למצוא אדם בעל גובה h שווה לכל גובה, והסיכוי למצוא אדם באינטרוול שביןh ל h+dh מתכונתי ל dh. נגדיר לכן את צפיפות ההסתברות f(h) כך שההסתברות למצוא אדם באינטרוול שביןh ל h+  h הוא p(h)=f(h) d h והגובה הממוצע של האוכלוסייה יהיה כאשר h min ו h max הם הערכים המינימלי והמקסימלי של h בהתאמה. משתנה בדיד – מספרים גדולים

13. אם ההתפלגות היא רציפה ממש, נעבור לערכים אינפיניטיסימליים ובמקום  h נרשום dh ואת הסכום נחליף באינטגרל: הגודל f(h) נקרא צפיפות ההסתברות ויחידותיו הן [h -1 ]. דוגמא: הגובה הממוצע של האוכלוסייה הבוגרת בישראל. משתנה בדיד – מספרים גדולים

14. אחת ההתפלגויות החשובות ביותר בסטטיסטיקה היא ההתפלגות הנורמלית המקיימת סיכוי שווה למצוא ערך של משתנה סביב ערךממוצע כלשהו. זוהי התפלגות שגיאת המדידות כאשר מספר המדידות הוא גדול מאוד: הסיכוי למדוד את הערך הנכון הוא הגדול ביותר, והוא יורד אקספוננציאלית ככל שהשגיאה גדולה יותר. דוגמא להתפלגות רציפה - התפלגות נורמלית (גאוסית)

15. דוגמא להתפלגות נורמלית:

16. הגדרת ההתפלגות: -  <x<  f(x) =c  exp(-x 2 /2a 2 ) מציאת הקבוע c. כדי שהפונקציה תייצג הסתברות, צריך להתקיים שסכום כל הסיכויים יהיה 1. כלומר האינטגרנד הוא סימטרי, עבור כל ערך של f(x) קיים ערך זהה של f(-x). לכן נוכל לכתוב כי האינטגרל המסוים באגף ימין ידוע (ר' כל ספר טבלאות מתמטיות) ושווה ל =(  /4  ) 1/2 התפלגות נורמלית (גאוסית)

17. כלומר c=(2  a 2 ) -1/2 הערך הממוצע של x נתון ע''י הביטוי אין צורך לחשב אינטגרל זה – האינטגרנד הוא פונקציה איזוגית ולכן האינטגרל שווה לאפס. הערך הממוצע של x 2 לעומת זאת לא מתאפס: התפלגות נורמלית (גאוסית)

18. זוהי פונקציה זוגית וכמו קודם אפשר לכתוב שהאינטגרל מ -  עד  שווה לפעמים האינטגרל מאפס עד אינסוף, שערכו ידוע: ולכן [  =(2a 2 ) -1 ] התפלגות נורמלית (גאוסית) לכן

19. סטיית התקן היא מידה לשגיאה במדידה- היא מודדת את רוחב ההתפלגות. ככל שההתפלגות רחבה יותר כך הסיכוי לטעות במדידה גדול יותר. סטיית התקן  x מוגדרת ע''י הנוסחה המגדירה את השונות (variance) שהיא ריבוע סטיית התקן.  x 2 = ) 2 > אפשר להראות (תרגיל) ש עבור ההתפלגות הנורמלית מתקיים  x 2 = - 2 לכן  x =( ) 1/2 =a התפלגות נורמלית (גאוסית)

20. פונקצית צפיפות ההסתברות G(v) מספר מולקולות הגז ביחידת נפח הוא עצום: במול גז יש מספר אבוגדרו של מולקולות אשר תופסות בתנאים סטנדרטיים כ 22 ליטר, בכל סמ''ק יש כ x10 19 3 מולקולות ! כדי להבין את התנהגות המולקולות, למשל את הסיכוי ששתי מולקולת מתנגשות תגבנה זו עם זו, יש צורך לדעת מה המהירות היחסית שלהן. בגלל המספר העצום, אין סיכוי לדעת מה המהירות של כל מולקולה אבל יש אפשרות להשתמש בשיקולים סטטיסטיים כדי לחשב את הסיכוי שלמולקולה תהיה מהירות מסוימת v. למעשה לא נוכל לדעת כמה מולקולות נעות בדיוק במהירות זו וליתר דיוק מספרן יהיה בהכרח אפס (אם נרצה לקבוע את המהירות בדיוק מוחלט). השאלה הרלוונטית היא כמה מולקולות נעות בטווח המהירויות שבין vל v+dv כאשר dv<<v - נכנה מספר זה dN v. התפלגות מאקסוול-בולצמן G(v)=4  (m/2  k B T) 3/2 v 2 exp(mv 2 /2k B T) G(v)dv= dN v /N

21. מודל הכדורים הקשיחים (Hard sphere model) ממודל הכדורים הקשיחים קיבלנו כי המקדם הפרי-אקספוננציאלי של תגובה מסדר שני: A bim (T)=  מאחר ומדובר בהתפלגות מהירויות ברור לנו כי קבוע המהירות הכולל הוא גודל סטטיסטי ומהווה ממוצע משוקלל של קבועי מהירות רבים התלויים במהירות היחסית שבין שני המגיבים. A bim (T)=  v rel )G(v)dv גבולות האינטגרל הם מהמהירות המינימלית עד אינסוף.

22. מודל הכדורים הקשיחים (Hard sphere model) A bim (T)=  v rel )G(v)dv < A bim (v rel )=  v rel ) A bim (T)=  k  v rel )G(v)dv קבוע המהירות התרמי הוא גודל ממוצע. הגודל התיאורטי הוא k(v rel ) או k(E)

23. הגדרנו את צפיפות ההסתברות f(x) כך שההסתברות למצוא אדם באינטרוול שביןx ל x+dx הוא p(x)=f(x)dx והערך הממוצע של x עבור האוכלוסייה יהיה כאשר x min ו x max הם הערכים המינימלי והמקסימלי של x בהתאמה. ממוצע של משתנה רציף

24. הטלת קוביה: בסיכוי לקבל מספר כלשהו (למשל 5) בהטלת קוביה הוגנת הוא 1/6. בהטלה חוזרת הסיכוי נשאר כפי שהיה, לכן ההסתברות לקבל את המספר 5 בשתי הטלות הוא 1/6x1/6=1/36. באופן כללי אם הסיכוי לאירוע מסוים הוא p i ולאירוע אחר, בלתי תלוי, הוא p j אז הסיכוי ששני האירועים יתרחשו בן-זמנית הוא המכפלה: משתנה בדיד: הסתברות של מאורעות בלתי תלויים

25. הקשר בין הטמפרטורה למהירות הממוצעת של מולקולות גז אידיאלי מהירות בכיוון x: v x מהירות כוללת v: v 2 =v x 2 + v y 2 +v z 2 ℓ x y z v vxvx = k B T/m = RT/M A

26. פונקצית צפיפות ההסתברות G(v) מאחר ואנחנו מניחים שהמרחב הוא איזוטרופי, כלומר שתכונות המולקולות אינן תלויות במיקומן, לא המספר המוחלט של המולקולות בטווח זה מעניין אותנו (הוא תלוי במספר המוחלט של המולקולות באוסף, N) אלא שבר המולקולות בעלות תכונה זו שהוא dN v /N. עבור מספר גדול מספיק של מולקולות, שבר זה אינו תלוי במספר הכולל של המולקולות. בתנאים אלו נוכל להניח את הקירוב הליניארי כלומר ששבר המולקולות מתכונתי לרוחב האינטרוול dv (תנאי זה מתקיים אם dv קטן מספיק – ראה פיתוח טילור). G(v)dv= dN v /N התפלגות מאקסוול-בולצמן

27. G(v)dv= dN v /N התפלגות מאקסוול-בולצמן

28. לקבלת הביטוי עבור ההתפלגות נדרשות שתי הנחות: 1)המרחב הוא איזוטרופי – התפלגות המהירויות איננה תלויה בכיוון המהירות. 2) המהירויות בכיוונים שונים אינן תלויות זו בזו (הסיכוי שלמולקולה מהירות באינטרוול v x +dv x איננה תלויה במהירותה בכיוון y או z). המהירות היא וקטור בעל שלושה רכיבים בכיוונים x, y, ו z. רכיבי המהירות הם v x, v y, ו v z בהתאמה. נסמן את שבר המולקולות להן מהירות באינטרוול שבין v x ל v x +dv x, v y ל V y +dV y ו vz ל V z +dV z ב G’(v x,v y,v z )dv x dv y dv z. התפלגות מאקסוול-בולצמן

29. G(v x, v y, v z ) היא צפיפות ההסתברות למציאת חלקיק לו יש את רכיבי המהירות הנ''ל. הנחה 2 פירושה כי (3)G(v x,v y,v z ) = g(v x )g(v y )g(v z ) כאשר g(v x ), g(v y ) ו g(vz) הן צפיפויות ההסתברות למצוא חלקיק ברכיב המהירות הנתון. dN vx /N=g(v x )dv x בנוסף הגודל הסקלרי של המהירות נתון ע''י (4) v·v =v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 התפלגות מאקסוול-בולצמן

30. ניקח את הלוגריתמוס של משוואה (3) lnG(v x,v y,v z ) =lnG(v) = lng(v x )+lng(v y )+lng(v z ) הנגזרת של lnG(v) לפי v x היא (5) מאחר ו G(v) תלויה רק ב v ולא ברכיביה, נמצא את הנגזרת שלה לפי v בעזרת כלל השרשרת: (6) מציאת g(v x )

31. מאחר ו g(v) תלויה רק ב v ולא ברכיביה, נמצא את הנגזרת שלה לפי v בעזרת כלל השרשרת: (6) לקבלת השוויון האחרון השתמשנו במשוואה (4) – תרגיל! נציב במשוואה (5) ונסדר איברים (7) מציאת g(v x )

32. מטעמי סימטריה משוואה אנלוגית תופסת עבור רכיבי y ו z ולכן השוויון (7) חייב להיות שווה לגודל קבוע כל שהוא (הסבר!) אותו נכנה - . (8) ואחרי אינטגרציה (9)  ו Aהם קבועי אינטגרציה אותם יש למצוא מהתנאים הפיסיקליים. מציאת g(v x )

33. (9) הסימן מינוס ע''מ ש  יהיה גודל חיובי. g(v) הוא הסתברות והאינטגרל שלו על כל המהירויות צריך להיות יחידה – זה אפשרי רק אם הארגומנט של האקספוננט הוא שלילי. (10) מציאת g(v x )

34. האינטגרנד הוא פונקציה זוגית ולכן האינטגרל שווה לפעמיים האינטגרל מ 0 עד , שהוא אינטגרל מסוים ידוע ומתקבל ש A=(  /2  ) 1/2. לכן (11) g(v x )= (  ) 1/2 exp(-½  v x 2 ) וביטויים דומים למהירויות בכיוונים y ו z. את  נקבע מתוך ידיעת הערך הממוצע של המהירות =RT/M (12) מציאת g(v x )

35. (12) האינטגרנד הוא שוב פונקציה זוגית ואפשר להשתמש באינטגרל ידוע בין הגבולות 0 ו . התוצאה המתקבלת היא RT/M=1/2  ולכן  =M/2RT התוצאה הסופית היא לכן: (13)g(v x )=(M/2  RT) 1/2 exp(-Mv x 2 )/2RT מציאת g(v x )

36. התפלגות מאקסוול-בולצמן (13)g(v x )=(M/2  RT) 1/2 exp(-Mv x 2 )/2RT אפשר ומקובל לכתוב את המשוואה בעזרת המסה של מולקולה אחת m במקום המסה M של מול. קבוע הגזים R במשוואה מוחלף במקרה זה ע''י קבוע בולצמן k B. g(v x )=(m/2  k B T) 1/2 exp(-mv x 2 )/2k B T) (13) זוהי פונקצית התפלגות נורמלית

37. התפלגות מאקסוול ב 3 מימדים ממשוואה 3 הפונקציה G(v)=G(v x,v y,v z ) = g(v x )g(v y )g(v z ). נוכל להשתמש במשוואה 13 לחישוב G(v). במקרה זה נתעניין בערך המוחלט של v כלומר בגודל הסקלרי של המהירות שינוע בין 0 ל . נוכל לכתוב (14) G’(v)dv=(m/2  k B T) 3/2 exp[(-m(v x 2 + v y 2 + v z 2 )/2k B T]dv x dv y dv z

38. התפלגות מאקסוול ב 3 מימדים (14) G’(v)dv=(m/2  k B T) 3/2 exp[-m(v x 2 + v y 2 + v z 2 )/2kBT]dv x dv y dv z את אלמנט הנפח נחליף ב dv x dv y dv z =4  v 2 dv (נמקו!) כלומר – אנחנו מתעניינים רק בגודל המהירות (סקלר) ולא בכיוון! והתוצאה הסופית היא הביטוי המבוקש להתפלגות המהירויות: (15) G(v)=4  (m/2  k B T) 3/2 v 2 exp(-mv 2 /2k B T) שנמצא תואם לניסיון (התיאוריה קדמה לניסוי במקרה זה).

39. G(v)=4  (m/2  k B T) 3/2 v 2 exp(-mv 2 /2k B T

40. התפלגות המהירויות ב 3 מימדים

41. מהירויות סקלריות

43. חקירת הפונקציה שאלה: מדוע המהירות המסתברת ביותר בהתפלגות החד-מימדית היתה 0 בעוד שבהתפלגות התלת מימדית הסיכוי למצוא מולקולה במהירות זו מתאפסת? v G(v) g(v x )

44. חקירת הפונקציה במהירויות נמוכות ערך האקספוננט קרוב ל1 והוא משפיע מעט. האיבר ב v 2 דומיננטי והפונקציה עולה באזור זה בצורה פרבולית. במהירויות גבוהות האיבר האקספוננציאלי הוא הדומיננטי והפונקציה יורדת. הפונקציה המלאה היא צרוף של שתי נטיות אלו. v G(v) (15) G(v)=4  (m/2  k B T) 3/2 v 2 exp(-mv 2 /2k B T)

45. Miller and Kusch experiment ציר סיבוב x h r  L L=25 cm x=0.04 cm h=0.3 cm r=10 cm  = 2  /75radians כניסה לבורר יציאה לגלאי 

46. השוואה בין מדידה וחישוב של התפלגות מהירויות בגז

48. Kuhn and Forsterling, Principles of Physical Chemistry (Wiley 1999) p.670

49. מודל הכדורים הקשיחים (Hard sphere model) ממודל הכדורים הקשיחים קיבלנו כי המקדם הפרי- אקספוננציאלי של תגובה מסדר שני: A bim (T)=  לאחר שראינו כי מדובר בהתפלגות מהירויות ברור לנו כי קבוע המהירות הכולל הוא גודל סטטיסטי ומהווה ממוצע משוקלל של קבועי מהירות רבים התלויים במהירות היחסית שבין שני המגיבים. A bim (T)=  v rel )G(v)dv גבולות האינטגרל הם מהמהירות המינימלית עד אינסוף. <

50. מודל הכדורים הקשיחים (Hard sphere model) (בהזנחת הגורם האקספוננציאלי) k(T)=  v rel )G(v)dv < k(v rel )=  v rel ) k(T)=  k  v rel )G(v)dv קבוע המהירות התרמי הוא גודל ממוצע. הגודל התיאורטי הוא k(v rel ) או k(E)

51. מודל הכדורים הקשיחים (Hard sphere model) במסגרת קורס זה נסתפק בביטוי המקורב k=  את v rel ניתן למצוא בעזרת התפלגות מאקסוול אם נחליף את המסה במסה המצומצמת  של שתי המולקולות:  =m 1 m 2 /(m 1 +m 2 ) מניחים ש  לא תלוי במהירות היחסית.

52. הקשר בין הטמפרטורה למהירות הממוצעת של מולקולות גז אידיאלי מהירות בכיוון x: v x מהירות כוללת v: v 2 =v x 2 + v y 2 +v z 2 הנחות המודל:המולקולות הן כדורים קשיחים בעלי נפח זניח יחסית למרחק ביניהם אותה מסה לכולם, כולם נעים במאותה מהירות, שהיא המהירות הממוצעת התנגשות אלסטית – אין אנרגיה פנימית, האנרגיה היחידה היא טרנסלטורית, כל הכיוונים במרחב זהים (אין כיוון תנועה מועדף) A ℓ x y z v vxvx

53. הקשר בין הטמפרטורה למהירות הממוצעת של מולקולות גז אידיאלי לחץ מוגדר ככוח ליחידת שטח: p=F/A A הוא שטח הקיר (במישור yz). F הוא הכוח שמפעילה מולקולה אחת ע''י ההתנגשות. חישוב הכוח בעזרת מושג התנע והחוק השני של ניוטון. שינוי מהירות עקב התנגשות בקיר: היפוך כיוון. שינוי התנע הקווי (בכיוון x)  mv x =mv x -( - mv x )= 2mv x הזמן בין שתי התנגשויות עם הקיר  t=2ℓ/v x (ℓ הוא המרחק בין 2 הקירות בכיוון x). שינוי התנע הקווי ליחידת זמן  mv x /  t= 2mv x /(2ℓ/v x )=mv x 2 /ℓ לפי החוק השני של ניוטון F=ma (F הוא הכוח, a התאוצה, השווה לשינוי המהירות עם הזמן כלומר ל mv x 2 /ℓ)

54. שינוי התנע הקווי ליחידת זמן שווה לכוח המופעל על הקיר mv x 2 / ℓ =F הלחץ P שווה לכוח ליחידת שטח P=F/A=mv x 2 / ℓ A הלחץ שמפעילה מולקולה אחת ( V= ℓ  A הוא הנפח) P=mv x 2 /V הלחץ שמפעילות כל המולקולות מתקבל ע''י סיכום על כל המולקולות (שמספרן הוא N) ממוצע ריבוע המהירות מוגדר

55. לכןPV=Nm ומאחר ואין כיוון מועדף = = =1/3 PV=1/3Nm לפי משוואת הגז האידיאלי למול אחד של גזPV=RT לכןRT=1/3N Av m (N Av הוא מספר אבוגדרו) ואם המשקל המולקולארי הוא M, נקבל =3RT/M=3kT/m ובהתאמה 1/2m =1/2m =1/2m =1/2kT = k B T/m = RT/M ממוצע ריבוע המהירות מוגדר

56. מסה מצומצמת (Reduced mass) נתונים שני חלקיקם ביניהם פועל כוח מרכזי התלוי רק במרחק שביניהם (ציור). משוואות התנועה יהיו: m 2 d2r 2 /dt 2 =-f(r) m 1 d 2 r 1 /dt 2 =f(r)(1) r=| r 1 - r 2 | מחוק שימור התנע עולה כי (2) m 1 v 1 + m 2 v 2 =const מרכז הכובד של המערכת מוגדר (3) R CM =(m 1 r 1 + m 2 r 2 )/( m 1 + m 2 ) מגזירת משואה 3 לפי הזמן וממשוואה (2) עולה שמרכז הכובד נע המהירות קבועה ואפשר לקחת אותו כראשית הצירים אם מתעניינים רק בתנועה יחסית. ממשוואות (1) (4)m 1 d 2 r 1 /dt 2 - m 2 d 2 r 2 /dt 2 =2f(r)=F(r) (5)d 2 r/dt 2 =d 2 r 1 /dt 2 - d 2 r 2 /dt 2 ={(1/ m 1 )+ (1/ m 2 )}f(r)=(1/  )F(r) או  d 2 r/dt 2 = F(r) O זוהי משוואת תנועה של חלקיק אחד בעל מסה m באשר  =m 1 m 2 /(m 1 +m 2 ).

57. עד כאן 17505 מהירויות מולקולריות בעזרת התפלגות המהירויות אפשר לחשב את המהירות הממוצעת, שורש ריבוע המהירות הממוצעת ( ) 1/2 והמהירות המסתברת ביותר v mp. =  vG(v)dv= 4  (  /2  k B T) 3/2 v 3 exp(-  v 2 )/2k B T)dv=(8k B T/  ) 1/2 =  v 2 G(v)dv=4  /2  k B T) 3/2 v 4 exp(-  v 2 )/2k B T)dv=(3k B T/  ) את המהירות המסתברת ביותר מקבלים ע''י גזירת הפונקציה והשוואת הנגזרת לאפס: v mp =(2k B T/m) 1/2 הביטויים למהירות הרגילה (לא היחסית) מתקבלים אם מחליפים את  ב m.

58. מהירויות מולקולריות – עיקרון חלוקה השווה כל המהירויות תלויות רק בטמפרטורה המוחלטת ולא בלחץ. הן קשורות זו בזו ע''י יחסים פשוטים (תרגיל) שאינם תלויים בטמפרטורה; חישוב של אחד הגדלים נותן לכן מייד את שני האחרים. עבור מולקולה אחת =3k B T/m  m = 3k B T האנרגיה הקינטית הממוצעת של מולקולה היא ½m =3kT/2 (השמטת B מקבוע בולצמן) מאחר והמרחב איזוטרופי, האנרגיה הממוצעת לתנועה לאורך אחד משלושת הכיוונים האפשריים איננה תלויה בכיוון ולכן ½m = ½ m = ½m = ½kT = = = ½kT

59. עיקרון חלוקה השווה זוהי דוגמא לעיקרון מרכזי: חלוקה שווה של אנרגיה. במערכת הנמצאת בשיווי משקל, האנרגיה הממוצעת של תנועה לאורך כל דרגת חופש שווה ל ½kT Equi-partition of energy

60. מהירויות מולקולריות. גודל חשוב נוסף הוא רוחב ההתפלגות המוגדר בד''כ בעזרת הרוחב בחצי הגובה. רוחב זה מתכונתי לשורש הטמפרטורה ומהווה מידה לטמפרטורה של המערכת.

61. קשר עם תגובה כימית התפלגות מקסוול מאפשרת מציאת מספר המולקולות להן מהירות מעל מהירות מסוימת, ולכן גם אנרגיה קינטית העולה על ערך נתון. אין אפשרות לכתוב ביטוי אנליטי למספר זה, אבל אפשר לחשב אותו בשיטות נומריות. מספר המולקולות מעל אנרגיה מסוימת יורד בתלילות ככל שמתרחקים מהמקסימום. למשל, שבר המולקולות להן מהירות מעל 3 v mp הוא 0.0004 ורק למולקולה אחת מתוך 10 15 יש מהירות שמעל 6 v mp. ממספרים אלו עולה למשל שמספר המולקולות בעלות מהירות מעל 6 v mp הוא זניח לצורך שיקולים קינטיים.

62. התפלגות אנרגיות ניתן לחשב את התפלגות מקסוול גם במושגים של אנרגיה קינטית מאחר וקיים E trans =E t =1/2mv 2 (18) אחד היתרונות של צורה זו היא שההתפלגות אינה תלויה באופי הגז אלא בטמפרטורה בלבד.

64. הקשר בין הטמפרטורה למהירות הממוצעת של מולקולות גז אידיאלי מהירות בכיוון x: v x מהירות כוללת v: v 2 =v x 2 + v y 2 +v z 2 לחץ מוגדר ככוח ליחידת שטח: p=F/A A הוא שטח הקיר (במישור yz). F הוא הכוח שמפעילה מולקולה אחת ע''י ההתנגשות. חישוב הכוח בעזרת מושג התנע והחוק השני של ניוטון. שינוי מהירות עקב התנגשות בקיר: היפוך כיוון. שינוי התנע הקווי (בכיוון x)  mv x =mv x -( - mv x )= 2mv x הזמן בין שתי התנגשויות עם הקיר  t=2ℓ/v x (ℓ הוא המרחק בין 2 הקירות בכיוון x). שינוי התנע הקווי ליחידת זמן  mv x /  t= 2mv x /(2ℓ/v x )=mv x 2 /ℓ לפי החוק השני של ניוטון F=ma (F הוא הכוח, a התאוצה, השווה לשינוי המהירות עם הזמן כלומר ל mv x 2 /ℓ) הנחות המודל: המולקולות הן כדורים קשיחים בעלי נפח זניח יחסית למרחק ביניהם אותה מסה לכולם, כולם נעים במאותה מהירות, שהיא המהירות הממוצעת התנגשות אלסטית – אין אנרגיה פנימית, האנרגיה היחידה היא טרנסלטורית כל הכיוונים במרחב זהים (אין כיוון תנועה מועדף) AA ℓ x y z v vxvx

65. לכןPV=Nm ומאחר ואין כיוון מועדף = = =1/3 PV=1/3Nm לפי משוואת הגז האידיאלי למול אחד של גזPV=RT לכןRT=1/3N Av m (N Av הוא מספר אבוגדרו) ואם המשקל המולקולארי הוא M, נקבל =3RT/M=3kT/m ובהתאמה 1/2m =1/2m =1/2m =1/2kT = k B T/m = RT/M שינוי התנע הקווי ליחידת זמן שווה לכוח המופעל על הקיר mv x 2 / ℓ =F הלחץ P שווה לכוח ליחידת שטח P=F/A=mv x 2 / ℓ A הלחץ שמפעילה מולקולה אחת ( V= ℓ  A הוא הנפח)P=mv x 2 /V הלחץ שמפעילות כל המולקולות מתקבל ע''י סיכום על כל המולקולות (שמספרן הוא N) ממוצע ריבוע המהירות מוגדר

66. גזירת לחץ של גז הלחץ הוא הכח הממוצע ליחידת שטח שהקיר מפעיל על המולקולות. על פי החוק השני של ניוטון : כל המולקולות בנפח Av x dt בעלות v x >0 יפגעו בקיר בזמן dt. שינוי התנע עבור מולקולה פוגעת בכיוון x בלבד, והוא יהיה : -2mv x. המולקולות מחולקות אקראית בנפח הגז. המספר המסתבר של מולקולות בעלות מהירות בתחום v x, v x +dv x ובתוך המרחק הנכון שיפגעו במשטח בזמן dt, הוא : נפח שבו המולקולות שיפגעו בזמן dt, חלקי הנפח הכולל. כלומר – זהו הסיכוי למציאת המולקולה בנפח הנכון על מנת לפגוע במשטח, עבור התפלגות מרחבית אקראית הכח הממוצע בכיוון x הוא : שינוי תנע כעת נציב את f(v x )

67. לפתרון, נביא את האינטגרל לצורה של האינטגרלים בטבלה : ואז : אינטגרל מטבלה קיבלנו את חוק הגז האידיאלי :