Download presentation
Presentation is loading. Please wait.
1
תחשיב הפסוקים חלק ד'
2
תורת ההיסק של תחשיב הפסוקים
3
דוגמא מערכת (תורה) מורכבת מ: 1. מושגי יסוד, כגון משתנים, אמת, שקר, קשרים... 2. הגדרות, כגון נוסחאות בנויות היטב, ערך אמת של נוסחה... 3. אקסיומות וכללי היסק 4. משפטים
4
דוגמא למערכת בשם G מושגי יסוד סימנים: | (קבוע) ו- (יחס) הגדרות: | הוא שם עצם. אם t הוא שם עצם, אזי | t הוא שם עצם (הגדרה רקורסיבית). אם s ו- t הם שמום עצם, אזי t s הוא נוסחה. (|||...||| הוא הצגה אונרית של מספר, ו- משמעותו גדול").
5
אקסיומות לכללי היסק אקסיומות: (A1) | || כללי היסק (P1) |A |A (P2)A |A כאשר A היא נוסחה. A |A| A |A
6
משפט (G1): || |||| הוכחה פורמלית: A1 (1) || | (2) ||| || P1 (1) (3) |||| || P2 (2)
7
הוכחה פורמלית משפט (G2): ||| |||||| הוכחה פורמלית:.... G1 (1) |||| || (2) ||||| || P2(1) (3) |||||| ||| P1(2)
8
הוכחה מתוך הנחות משפט (על מערכת G) ||||||├ ||||| ||||| ||| הוכחה פורמלית: הנחה ||||| ||| (1) (2) |||| |||||| P1 (1) (3) ||||| |||||| P2 (2)
9
הוכחה הגדרה: תהי T מערכת, ו- A 1,…A n ו- B נוסחהות של T. סדרת נוסחאות F 1,…,F n של T נקראת הוכחה של B מן,A 1,…A n מסומן,A 1,…A nT Bאם: 1. F i הוא אחד מ- A 1,…A n, או 2. F i הוא אקסיומה של T, או 3. F i מתקבל ממספר F j 'ים, j<i, ע"י כללי היסק של T, ו- 4. קיים i בך ש- F i הוא B (בדרך כלל מניחים ש- i=n) אם n=0, אזי ההוכחה נקראת "הוכחה של B ב- T".
10
משפט (על מערכת G) ├ | n+t+1 | n הוכחה: אינדוקציה על n ו- t. A1(1) || | P1 (1)(2) ||| || P1 (n-1)(n) | n+1 | n P2 (n)(n+1) | n+1+1 | n P1 (n+t-1)(n+t) | n+t+1 | n
11
תחשיב הפסוקים מושגי יסוד P, Q, R,... משתנים , קשרים לוגיים הגדרות נוסחאות בנויות היטב במשתנים פשוטים ובקשרים ו - .
12
אקסיומות וכללי היסק אקסיומות (מערכת אקסיומות L) וכללי היסק: A1 A (B A) A2 (A (B C)) ((A B) (A C)) A3 ( B A) (( B A) B) כלל היסק – MP: A, A B├B A, B ו- C הם נוסחאות בנויות היטב. A BA B A, B
13
├ P P דוגמא 'א: 1. (P ((P P) P)) ((P (P P)) (P P)) – A2 A B C A B A C 2. P ((P P) P) – A1 3. (P (P P)) (P P) – MP; 2,1 4. P (P P) – A1 5. P P – MP; 4,3
14
משפט הנאותות למה: כל האקסיומות של L הן טאוטולוגיה. הוכחה באותה צורה ניתן לבדוק גם את A2 ו- A3. A (B A)BABA BA TTFF TFTF TTFT TTTT
15
משפט הנאותות משפט: כל משפט ב- L הוא טאוטולוגיה (L היא מערכת נאותה). הוכחה: תהי F 1,…,F n הוכחה ב- L. נוכיח באינדוקציה על i כי F i הוא טאוטולוגיה. בסיס: i=1. F 1 הוא אקסיומה, ולכן טאוטולוגיה. צעד האינדוקציה: אם F i הוא אקסיומה, אזי, על פי הלמה, F i הוא טאוטולוגיה. אחרת F i נתקבל מ- F j ו-F k, j,k < i על ידי MP: FjFj FkFk ABAB A B FiFi
16
על פי הנחת האינדוקציה A ו - A B הם טאוטולוגיות. לכן (F i =)B הוא טאוטולוגיה. FjFj Fk FiFk Fi FkFk FiFi FjFj FkFk ABAB A B FiFi
17
משפט השלמות משפט: כל טאוטולוגיה היא משפט ב- L (L היא מערכת שלמה).
18
תורה בעלת סתירה הגדרה: תורה נקראת בעלת סתירה אם קיימת נוסחה A כך ש- ├ A וגם ├ ~A. הערה: תורה שלמה יכולה להיות בעלת סתירה. למשל התורה שהאקסיומות שלה הן כל הנוסחאות הבנויות היטב. תורה שאינה בעלת סתירה נקראת עיקבית.
19
תורה בעלת סתירה דוגמא: תהי 'L מערכת שמכילה את L, כלומר כל האקסיומות של L הן גם אקסיומות של 'L, ו- MP הוא כלל ההיסק של 'L. אם 'L היא בעלת סתירה, אזי לכל נוסחה B בנויה היטב מתקיים B ' ├ L (תחת 'L).
20
הוכחה: על פי ההגדרה קיימת נוסחה בנויה היטב A כך ש- L'├ A וגם L'├ ~A
21
הוכחה של A 1. A הוכחה של ~A 2. ~A A1 3. ~A (~B ~A) MP;2, 3 4. ~B ~A A1 5. A (~B A) MP;1, 5 6. ~B A A3 7. (~B ~A) ((~B A) B) MP;4, 7 8. (~B A) B MP;6, 89. B
22
דוגמא: נתבונן במערכת L F כאשר האקסיומות שלה הן: A3, A2, A1 ו- A4 F : F(A 1, …A n ) כאשר A 1, …A n נוסחאות בנויות היטב כלשהן. כלל ההיסק של L F הוא MP. משפט: L F היא עקבית אם ורק אם F(A 1, …A n ) היא טאוטולוגיה. ' ' '
23
הוכחה: אם F(A 1, …A n ) היא טאוטולוגיה, אזי לפי משפט השלמות, כל מקרה של A4 F ניתן להוכיח ב-L. לכן לכל הוכחה ב- L F מתאימה הוכחה אם אותה התוצאה ב- L (במקום אקסיומה מ- A4 F מציבים את ההוכחה שלה. משום ש- L היא עקבית (ניתן להוכיח בה רק טאוטולוגיות), L F היא גם כן עקבית. ' '
24
הוכחה (המשך): נניח כי F(A 1,…,A n ) איננה טאוטולוגיה, אזי קיימת הצבה A i של (P P) (T) ו - ~(P P) (F) עבור,A i, i=1,…,n, כך ש - F(A 1,…,A n ) F. לכן ~F(A 1,…,A n ) היא טאוטולוגיה ועל פי משפט השלמות, ~F(A 1,…,A n ) L F ├. בנוסף לכך, מפני ש- F(A 1,…,A n ) היא אקסיומה של L F, F(A 1,…,A n ) L F ├. F FFFF ' FF ' ' FF FF
25
משפט הדדוקציה משפט: H 1,…,H m,P├ C אם ורק אם.H 1,…,H m ├ P C הוכחה: , כלומר אם H 1,…,H m ├ P C, אז H 1,…,H m,P ├ C. תהי F 1,…,F n סדרת ההוכחה של P C מתוך {H 1,…,H m }
26
הוכחת ( המשך) F1F1 1. F n ‘‘=’’ (P C) n. הנחהPn+1. MP;n+1,nCn+2.
27
נניח כי H 1,…H m,P ├ C. אנו נוכיח באינדוקציה על מספר נוסחאות n בסדרת ההוכחה של C מקבוצת ההנחות {H 1,…H m,P} כי H 1,…,H m ├ P C. בסיס: n=1 אזי: C היא P, או C {H 1,…H m }, או C היא אקסיומה. אם C היא P, אזי על פי הדוגמא ├ P P. אם C הנחה או אקסיומה, אזי הנחה (אקסיומה)C1. A1 C (P C) 2. MP;1,2 PCPC 3.
28
צעד האינדוקציה: נניח שאם ניתן להוכיח את C מקבוצת הנחות {H 1,…,H m,P} ב- n צעדים. אזי H 1,…,H m ├ P C. תהי: F 1,F 2,…,F n,F n+1 (‘‘=C’’) הוכחה של C מקבוצת הנחות {H 1,…,H m,P} ב- n+1 צעדים. אם F n+1 =(C) היא P או אחת מן ההנחות, או אקסיומה נמשיך את ההוכחה כמו בבסיס. אחרת, F n+1 =C מתקבלת מ- F i ו - F j i,j n ע"יMP. כלומר, F j היא F i C.
29
על פי הנחת האינדוקציה ניתן להוכיח את P F i ו- P (F i C) מקבוצת הנחות {H 1,…H m }. ע"י שרשור של שתי ההוכחות נקבל: הנחת האינדוקציה PFiPFi x. הנחת האינדוקציה P (F i C) y. A2 P (F i C) ((P F i ) (P C) y+1 MP; y,y+1 (P F i ) (P C) y+2 MP; x,y+2 PCPC y+3
30
דוגמא: הוכח כי A B, B C ├ A C (S) על פי משפט הדדוקציה מספיק להוכיח כי A, A B, B C ├ C הוכחה: הנחהA1. הנחה ABAB 2. MP;1,2B3. הנחה B C 4. MP;3,4C5.
31
הוכחה מקבילה על פי הוכחת משפט הדדוקציה AAAA 1. A (A B) 2. (A (A B)) ((A A) (A B)) (A A) (A B) ABAB 3. A (B C) 4. (A (B C)) ((A B) (A C)) (A B) (A C) ACAC 5.
32
על פי משפט הדדוקציה מספיק להוכיח כי B, A (B C) ├ A C הוכחה: הנחה A (B C) 1. A2 (A (B C)) ((A B) (A C)) 2. MP;1,2 (A B) (A C) 3. הנחהB4. A1 B (A B) 5. MP;4,5 ABAB 6. MP;3,6 ACAC 7. דוגמא A (B C) ├ B (A C)
33
על פי משפט הדדוקציה מספיק להראות כי A, B, A (B C) ├ C הנחהA1. הנחהB2. הנחה A (B C) 3. MP;1,3 BCBC 4. MP;2,4C5. דוגמא B, A (B C) ├ A C
34
למה: (a) ├ ~~B B (b) ├ B ~~B (c) ├ ~A (A B) (d) ├ (~B ~A ) (A B) (e) ├ (A B) (~B ~A ) (f) ├ A (~B ~(A B)) (g) ├ (A B) ((~A B) B)
35
הוכחה (a) A3 (~B ~~B) (~B ~B) B 1. דוגמא ~B ~B 2. 1,2;דוגמא (~B ~~B) B 3. A1 ~~B (~B ~~B) 4. 4,3;דוגמא ~~B B 5.
36
הוכחה )המשך( (b) A3 (~~~B ~B) ((~~~B B) ~~B 1. (a) ~~~B ~B 2. MP;1,2 (~~~B B) ~~B 3. A1 B (~~~B B) 4. 4,3;דוגמא B ~~B 5.
37
הוכחה )המשך( (c) על פי משפט הדדוקציה מספיק להוכיח כי A,~A ├ B זאת הוכחנו כשעסקנו בתורות בעלות סתירה.
38
הוכחה (המשך) (d) על פי משפט הדדוקציה מספיק להוכיח כי ~B ~A ├ A B הנחה ~B ~A 1. A3 (~B ~A) ((~B A) B) 2. MP;1,2 (~B A) B 3. A1 A (~B A) 4. 3,4;דוגמא ABAB 5.
39
הוכחה - המשך (e) על פי משפט הדדוקציה מספיק להוכיח כי A B ├ ~B ~A הנחה ABAB 1. (a) ~~A A 2. 1,2;דוגמא ~~A B 3. (b) B ~~B 4. 3,4;דוגמא ~~A ~~B 5. (d) (~~A ~~B) (~B ~A) 6. MP;5,6 (~B ~A) 7.
40
הוכחה - המשך (f) טענת עזר : ├ A ((A B) B) הוכחה: על פי משפט הדדוקציה מספיק להוכיח כי A, A B ├ B הנחהA1. הנחה ABAB 2. MP;1,2B3.
41
הוכחה - המשך הוכחת (f): טענת עזר A ((A B) B) 1. (e) ((A B) B) (~B ~(A B)) 2. 1,2;דוגמא A (~B ~(A B)) 3.
42
הוכחה - המשך (g) על פי משפט הדדוקציה מספיק להוכיח כי A B, ~A B ├ B הנחה ABAB 1. הנחה ~A B 2. (e) (A B) (~B ~A) 3. MP;3,1 (~B ~A) 4. (e) (~A B) (~B ~~A) 5. MP;2,5 ~B ~~A 6. A3 (~B ~~A) ((~B ~A) B) 7. MP;6,7 (~B ~A) B 8. MP;4,8B9.
Similar presentations
© 2025 SlidePlayer.com. Inc.
All rights reserved.