1. -Derivative （導函數） - Chapter 3 朝陽科技大學 資訊管理系 李麗華 教授

2. 2 3-1 前言 1. 導函數主要是利用極限觀念求函數 對 的變 化率 古人在有了數學後，對數學的運算雖可知其平均 值及統計值，但在 ” 變化 ” 或 ” 速度 ” 之議題有許多 未解之處，自從牛頓及萊布尼茲提出微積分相關 文章，終於大家可以理解並求出 ” 變化率 ” 及速度。 ( 以下就幾何層面來看切線與斜率 )

3. 3 3-1 前言 2. 為切過圈上一點 的切線，可是到底我 們畫在這個點上了嗎？點有多大？

4. 4 3-1 前言 古人並無法得知 這個點到底為哪一點，故均採 割線 ( 即 ) 由內向外移動，直到 為止，故需 利用逼近法。 當 這條直線 ( 若命名為 ) 為此圖或 曲線的切線 (tangent line) 而曲線在 點的斜率即為 直線 的斜率。 (secant line)

5. 5 3-1 前言 通過 點有無限多條線與曲線相交，但只有一條 ( 即 ) 才能找出曲線在 點的斜率。 圖示 ： 曲線

6. 6 3-1 前言 3. 由上頁圖示的引述可知，要求得變化率 (rate of change) 再任意曲線下可以利用割線 (secant line) 來 逼近成切線 (tangent line) 當 切線的斜率 ( 即 2 點取一直線的斜率 ), 則

7. 7 Tangent Line 範例 Determine the slope of the line tangent to the graph of Sol ： EX ： 123-2 ∴當 at point (-2,4) is 2(-2)= -4

8. 8 3-1 前言 由上述可知，斜率即為函數 在某一點 的變化 率，亦稱為導數 (derivative) 用 來表示。 也可寫成 provided the limit exists

9. 9 3-1 前言 When the derivative exists, the function is said to be differential To differentiate a function means to determine its derivative 有關微分的寫法及念法如下 葉布尼茲的寫法,,,,,

10. 10 Derivative 範例 求 的導數，即對 微分，求 。 Sol ： EX ：

11. 11 Derivative 練習  ‚ ƒ „ …

12. 12 Derivative 練習 Ifthen EX ： ( ) Sol ： ( )

13. 13 3-2 Basic Rule for Differentiation c ： constant c 1.1 2.1 1. 2. 3. 4.

14. 14 Basic Rule for Differentiation 範例,, 1.1 若 1.2 若 2.1 若 2.2 若 2.3 若,,,,

15. 15 上台練習 求 (a) (b) (c)

16. 16 上台練習 求導數 derivative (a) (e) (d) (c) (b)

17. 17 3-3 Rates of Change ( 變化率 ) 1. 前面已提到導函數 (derivative) 可由函數上的一條 切線來找到，即 。若由圖形 (9graph) 的角度來看，可看出函數 在某一點 的變化率 (rate of change) 即為導函數的值。

18. 18 3-3 Rates of Change ( 變化率 ) 2. 變化率在日常生活中隨處可見，例如速度即為一 種距離對時間的變化率，又例如學費每年成長的 變化率，股市的變化率和匯率等。

19. 19 Rates of Change 範例 若由山下走到學校的距離 (s) 為 500 公尺，阿華 走了 25 分鐘，則阿華的平均速度 (average speed) 為何？ 若 Amtrak 公司 83-88 年的收入由 8 億增至 13 億， 則五年內的平均收益為何？ Sol ： Average speed = (距)(距) (時)(時) == Sol ： Average revenue = ( 收益量 ) (時)(時) === (億)(億) EX ：

20. 20 Rates of Change 範例 同上面的題型，可延伸出任一個函數 ，變 化率由 代表 例如：若 ，欲求 在 到 的變化率 ， 則可由 求得 ： ==== EX ：

21. 21 3-3 Rates of Change ( 變化率 ) 3. 事實上在第一章已學過， 即為斜率 (m) ，所以 斜率亦代表變化率。而當 的變化量逼近 0 時 ( ) ，即代表欲求得 那一點的變化量 ，正好這 個公式即為導函數 ( 微分 ) 。故我們可以說導函數 是 在 這一點的變化量，即 is the instantaneous rate of change of y with respect to x, or instantaneous rate of change of with respect to x

22. 22 3-3 Rates of Change 範例 若一球自山頂掉下的距離公式為 ，求 (a) 前三秒的平均速度？ (b) 在第三秒的速度為何？ Sol ： (a) (b) 第三秒的速度，即在第三秒的變化量，即求 在 的微分 ( 導函數 ) EX ：

23. 23 上台練習 若 ，求當 的 rate of change 賽車前 6 秒的距離公式為 ( ) ， 求第四秒後的速度 若細菌生長的公式為 ，問一開 始的細菌數為何？ 3 小時後的細菌成長率為 何？ EX1 ： EX2 ： EX3 ：

24. 24 3-4 Marginal Analysis ( 邊際分析 ) 1. 若函數 是生產 個產品的成本函數，則 稱為邊際成本 (marginal cost) 。即再生產一個產 品的成本 ( 即一個量的變化率 ) 說明：

25. 25 Marginal Analysis 範例 Suppose ( )determine the marginal cost when Sol ： ( 即生產到第 9 個，其邊際成本約為 12 元 ) ( 生產到第 10 個，其邊際成本約為 10 元 ) ︰ ︰ EX ：

26. 26 Marginal Analysis 範例 Suppose. The company determine to stop producing table when the marginal cost reaches $100. How many table will be mode? Sol ： ( 邊際成本 ) 已知 ∴這個公司會生產到 1500 個桌子後停止生產 EX ：

27. 27 3-4 Marginal Analysis ( 邊際分析 ) 2. 除了 Marginal cost ，其他類似的邊際分析亦可同 理來解它，例如 Marginal revenue 或 Marginal profit ( 回顧第一章已知 )

28. 28 Marginal Analysis 範例,  求 marginal cost (MC) ， marginal revenue (MR) ‚ 求 MR(5) ƒ 求 marginal profit (MP) „ 求, 當 MC=MR Sol ：  ‚ ƒ „ MC RC EX ：若

29. 29 3-5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule ( 商 ) 1. 由於函數與函數間的 + 、 - 、 、 / 、冪次等諸多變 化，茲將微分的法則分割介紹。 2. 已在前面學了和，差法則即 然而積與商法則卻不是可以分開帶入計算的。 EX ：,, 則

30. 30 3-5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule ( 商 ) 3.Product Rule ：, 或即

31. 31 3-5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule ( 商 ) 已知 加入一個 加入項 拆2項拆2項 提出共同項 拆 得証

32. 32 Product Rule 範例, 求, 求 Sol ： EX ：

33. 33 上台練習 EX 1 ： EX 2 ： EX 3 ： EX 4 ：

34. 34 3-5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule ( 商 ) 4.Quotient Rule

35. 35 Quotient Rule 範例 find the derivative of, Sol ：,find Sol ： EX ：

36. 36 上台練習 EX 1 ： EX 2 ： EX 3 ： EX 4 ：