1. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 1/39 עיבוד תמונות ואותות בעזרת מחשב תרגול מס' 9: טורי פורייה

2. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 2/39 חידה  לפניכם אדם  ידוע לכם שהוא בוגר הנדסת חשמל או מדעי המחשב  עליכם לברר באיזה פקולטה הוא למד  מותר לשאול שאלה טכנית אחת –כלומר שאלה שקשורה לחומר הלימוד  מהי?

3. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 3/39 תזכורת – מספרים מרוכבים  כלי מתמטי:  מספר מרוכב a+bi מכיל שני חלקים –החלק הממשי a –החלק המדומה b  ההצגה a+bi נקראת הצגה קרטזית

4. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 4/39 תזכורת – מספרים מרוכבים  פעולות על מספרים מרוכבים ותוצאותיהן:

5. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 5/39 הצגה גרפית של מספרים מדומים Real Imaginary a b נביט על המספר ניתן לחשוב עליו בתור וקטור R θ כך וקטור ניתן לייצג בייצוג פולרי:

6. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 6/39 הצגה קוטבית של מספרים מרוכבים

7. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 7/39 זהויות חשובות

8. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 8/39 הצגה קוטבית – פשוט לבצע פעולות

9. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 9/39 הצגה קוטבית – פשוט לבצע פעולות

10. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 10/39 תזכורת: וקטור עצמי וערך עצמי  דרך לנתח פעולות של מטריצה M: –וקטור עצמי (ו"ע) של המטריצה M הוא וקטור v המקיים –הערך c מכונה ערך עצמי (ע"ע)

11. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 11/39 "אותות עצמיים"  בצורה דומה, נרצה לחפש למערכת LSI "אותות עצמיים"  כלומר, נחפש x(t) שיקיים  למה זה טוב? –אפשרויות לחישוב יעיל יותר –ייצוג אינטואיטיבי יותר (מאשר תגובת ההלם) –אפשרות לחשב את ההופכי

12. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 12/39 אותות הרמוניים מורכבים  משפחה של אותות –כל אות מוגדר ע"י התדירות שלו f –ניתן להגדיר זמן מחזור T = 1/f –גודל האות: תמיד 1 –אם נצייר את האות על המישור המרוכב נקבל שהוא מסתובב על מעגל היחידה –במהירות w = 2πf רדיאן לשניה –משלים f סיבובים בשניה –לוקח לו T=1/f שניות להשלים סיבוב

13. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 13/39 אותות הרמוניים מורכבים - דוגמא Real Imaginary Show_Harmonic_Signal.m

14. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 14/39 הפאזה של אות הרמוני  2 הגדרות לפאזה: –Θ : הזוית של האות בזמן 0 ביחס לכיוון החיובי של הציר הממשי ואז הפאזה היא תכונה קבועה –2πft+θ : הזוית של האות ההרמוני בזמן מסויים ביחס לכיוון החיובי של הציר הממשי ואז הפאזה תלויה בזמן

15. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 15/39 למה כל זה? אותות הרמוניים כ"אותות עצמיים"  תזכורת:  כלומר: –לכל מערכת LSI, האותות ההרמוניים הם אותות עצמיים –הסקלר H(f) נקרא תגובת התדר של המערכת

16. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 16/39 לשם כך נשתמש בפירוק על ידי טורי פורייה תגובת התדר ושימושיה  תגובת התדר היא סקלר התלויה ב2 גורמים: –המערכת עצמה –התדר f  אם נדע לפרק אותות לסכום של אותות הרמוניים  נוכל לחשב בקלות את מוצא המערכת לאות:

17. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 17/39 טורי פורייה בקטע [-L, L]  נגדיר את המרחב E: מרחב הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע (-L, L): –פונ' בעלות מספר סופי של נקודות אי רציפות –בכל נקודת אי רציפות הגבולות החד צדדיים מוגדרים  זהו מרחב לינארי  נגדיר מכפלה פנימית על פונקציות במרחב זה הצמוד

18. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 18/39 טורי פורייה בקטע - [-L, L]המשך  נסתכל על תת המשפחה: –זוהי משפחת האותות ההרמוניים שבהם  לפי הגדרת המכפלה הפנימית, זוהי משפחה אורתונורמלית, ולכן מהווה בסיס לE.  לכן, ניתן ליצג כל פונקציה f בE על ידי סכום של האותות ההרמוניים האלה (בנקודות בהן f רציפה): ייצוג זה נקרא טור פורייה של האות f

19. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 19/39 טורי פורייה בקטע - [-L, L]חישוב המקדמים  על מנת לחשב את המקדמים של טור פורייה של האות f, מחשבים לכל אות הרמוני את המכפלה הפנימית שלו עם האות f  תזכורת  האות הצמוד לאות ההרמוני הוא  ולכן הנוסחא לחישוב המקדמים: שימו לב להיפוך הסימן!

20. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 20/39 חישוב תוצאת מערכת באמצעות טור פורייה  ראינו כי כל אות x(t) ניתן לפירוק ע"י טור פורייה  ואם נחשב את תגובות התדר של המערכת H(f)=H(n/2L)  נקבל שתוצאת הפעלת המערכת:  כלומר, קיבלנו שמקדמי טור פורייה של y(t) הם: קיבלנו את הפלט מיוצג על ידי טור הפורייה שלו

21. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 21/39 הכללה: טורי פורייה בקטע הכללי [a,b]  שינויים קלים בהגדרות ובנוסחאות: –משפחת האותות ההרמוניים: –מכפלה פנימית: –הנוסחא לחישוב המקדמים:

22. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 22/39 דוגמא לפיתוח טור פורייה  פתח את טור פורייה לאות f(x) = x בתחום (a,b) = (-π,π) הטור שהתקבל:

23. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 23/39 דוגמא – המשך: המקדמים  קיבלנו סט של מקדמים מרוכבים  נהוג להציג את העוצמה שלהם:  אך אין לשכוח את מרכיב הפאזה

24. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 24/39 פירוק פורייה על ידי מספר שונה של מקדמים

25. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 25/39 טורי פורייה מיוחדים: אותות ממשיים  אם האות ממשי אז מתקיים  נסמן ולכן  ונציב לתוך טור פורייה:

26. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 26/39 טורי פורייה מיוחדים: אותות ממשיים  אם האות ממשי אז מתקיים  נסמן  ונציב לתוך טור פורייה:  זהו טור פורייה המקורי – טור טריגונומטרי במקדמים ממשיים  צורה נוספת: טור המשתמש בcos בלבד, עם פאזה:

27. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 27/39 טורי פורייה מיוחדים: אותות ממשיים זוגיים ואי- זוגיים  עבור אותות זוגיים: – f(x)=f(-x) –המקדמים ממשיים טהורים כולם, כלומר b n =0 לכל n. –הטור מורכב מפונ' cos בלבד  עבור אותות אי-זוגיים: –f(x)=-f(-x) –המקדמים מדומים טהורים כולם, כלומר a n =0 לכל n. –הטור מורכב מפונ' sin בלבד

28. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 28/39 טורי פורייה מיוחדים - הוכחה

29. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 29/39 טורי פורייה מיוחדים - דוגמא ראינו ש: F(x)=x היא פונקציה אי-זוגית, לכן נצפה שיוותר טור עם sin בלבד:

30. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 30/39 טורי פורייה לאותות מחזוריים  מצאנו שטור פורייה הוא קירוב של f בקטע [a,b]  אולם מה קורה מחוץ לתחום?  טור פורייה הוא צירוף לינארי של פונ' מחזוריות עם מחזור a-b –ולכן הטור עצמו הוא מחזורי  אם גם f מחזורית, עם אותו אורך מחזור, הטור מקרב אותה בכל התחום, ולא רק בקטע [a,b]  ואם f אינה מחזורית? –הטור מקרב בכל התחום פונ' שונה מf –פונ' זאת היא המשך מחזורי של ההתנהגות של f בקטע [a,b]

31. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 31/39 טורי פורייה לאותות מחזוריים - דוגמא

32. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 32/39 טורי פורייה לאותות מחזוריים - דוגמא  פתח את טור פורייה לאות  T 1 הוא מחזור של פונ' הסינוס  נפתח עבור תחום [0, T 2 ] כלשהו

33. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 33/39 טורי פורייה לאותות מחזוריים – דוגמא - המשך

34. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 34/39 טורי פורייה לאותות מחזוריים – דוגמא - המשך ובאופן דומה:

35. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 35/39 טורי פורייה לאותות מחזוריים – דוגמא - המשך  אם T 2 הוא כלשהו, הטור מסובך, אך אם T 2 =kT 1 עבור k שלם (כלומר T 2 הוא כפולה של אורך המחזור), כל המקדמים מתאפסים עבור |n|<>k: ו שלמים, ו עבור m שלם

36. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 36/39 טורי פורייה לאותות מחזוריים – דוגמא - המשך  אם T 2 הוא כלשהו, הטור מסובך, אך אם T 2 =kT 1 עבור k שלם כל המקדמים מתאפסים פרט ל |n|=k: כמו הנוסחא שראינו בהתחלה

37. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 37/39 חישוב טורי פורייה במטלב  במטלב יש כלים שימושיים: –symbolic math toolbox מאפשר לעשות חישובים בצורה סימובלית (כלומר, על משתנים, ולא על הערכים) –הפונקציה int פונקציה המסוגלת לחשב אינטגרלים מסויימים ולא-מסויימים –נשתמש בהם לצורך חישוב מקדמי טור פורייה

38. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 38/39 חישוב טורי פורייה במטלב - דוגמא  חשב את המקדמים c 1, c 2, c 3, בתחום [0,1] של האות  פתרון: 1 1

39. עיבוד תמונות ואותות במחשב תרגול 9: טורי פורייה 39/39 חישוב טורי פורייה במטלב – דוגמא - המשך syms Ck ker x for k=0:3 ker=exp(-j*2*pi*k*x); Ck=int(2*x*ker,0,0.5)+int(2*(1-x)*ker,0.5,1); simplify(Ck) end הגדרת משתנים סימבוליים חישוב אינטגרל מסויים (בתחום) ניסיון לפשט את התוצאה