1. עיבוד תמונות ואותות בעזרת מחשב תרגול מס' 10: התמרת פורייה הבדידה
תרגול מס' 10: התמרת פורייה הבדידה

2. תזכורת תרגול קודם דיברנו על טורי פוריה: היום נדבר על אותות דיסקרטיים
ניתן ליצג כל אות רציף
באמצעות סכום (אין-סופי) משוקלל
של הפונקציות ההרמוניות
היום נדבר על אותות דיסקרטיים

3. תגובת התדר באותות דיסקרטיים
נסתכל על הפיתוח בקטע סופי
אם האות מחזורי נעשה פיתוח מחזורי
נבחר את הקטע כך שיכיל מחזור אחד
אם לא,
נבחר קטע המעניין אותנו
אותות הבסיס יהיו האותות ההרמוניים המרוכבים הבדידים
עוד עליהם בהמשך...
ההתמרה נקראת DFT או Discrete Fourier Transform

4. האותות ההרמוניים המרוכבים הבדידים
האותות הרציפים היו:
האותות הבדידים הם:
נראה כי אלו אכן "אותות עצמיים":

5. הבסיס ההרמוני הבדיד תזכורת למקרה הרציף: ייצגנו אות רציף בתחום [-L,L]
הבסיס אינסופי ובן-מניה
התדרים הם nf0 כאשר f0=1/T=1/2L

6. הבסיס ההרמוני הבדיד במקרה הבדיד, הבסיס הוא סופי לכל n, מתקיים
כלומר, כדי לקרב אות בקטע [-L,L], הבסיס הוא:

7. התמרת DFT זוהי התמרה בדידה הפיתוח עבור קטע זמן באורך T
ציר הזמן בדיד
ציר התדר בדיד
הפיתוח עבור קטע זמן באורך T
לכן הבסיס באורך T:
ולכן נקבל T מקדמים כתוצאה מההתמרה
DFT נוחה למחשב: היא סופית ואין בה אינטגרלים

8. הוכחה: האותות ההרמונים הדיסקרטיים אורתוגונליים
מקרה 1:

9. הוכחה: האותות ההרמונים הדיסקרטיים אורתוגונליים (המשך)
מקרה 1:
מקרה 2:
זוהי סדרה גאומטרית:

10. הוכחה: האותות ההרמונים הדיסקרטיים אורתוגונליים (המשך)
כלומר:
ולכן האותות ההרמוניים הדיסקרטיים מהווים
בסיס

11. משפט היצוג של ה DFT
כיוון שזהו בסיס אורתוגונלי, ניתן לייצג אות בדיד x בקטע כלשהו [h,h+T-1]
DFT
Inverse DFT
זהו ייצוג מדויק בקטע זה
אם האות x מחזורי, נבחר את T כזמן המחזור, ואז היצוג מדויק בכל התחום (ולא רק בקטע):
מכפלה פנימית על מחזור אחד

12. חישוב DFT: דוגמא חשב DFT לאות השלם הדיסקרטי כך שהייצוג נכון עבור כל t
האות מחזורי:
בעל אורך מחזור 16,
לכן נבחר את הקטע [0,15]

13. חישוב DFT: דוגמא - המשך
פיתוח על פי הנוסחא

14. חישוב DFT: דוגמא - המשך פיתוח על פי הנוסחא:
נוודא על ידי פיתוח אלטרנטיבי:

15. תכונות DFT לינאריות (נובע מלינאריות האינטגרל והסכימה)
סימטריות: עבור x ממשי,
גודל המקדם פונקציה זוגית
גודל הפאזה פונקציה אי-זוגית
הזזה בזמן:
הזזה בתדר:

16. תכונות DFT - המשך דואליות: משפט פרסוול:
התכונות נכונות גם ליצוגי פורייה אחרים (בשינויים מסויימים)
הוכחות ניתן למצוא בספרי לימוד

17. תכונות הDFT – תכונת הקונבולוציה
הקונבולוציה היא:
בין המשכים מחזוריים של שני האותות
לאורך מחזור באורך T
קרויה קונבולוציה ציקלית או קונבולוציה מעגלית
קונבולוציה ציקלית של שני אותות באורך T היא באורך T

18. קשר בין קונבולוציה רגילה לקונבולוציה ציקלית
נניח אנו יכולים לבצע קונבולוציה ציקלית בלבד
למשל, באמצעות תכונת הקונבולוציה של ה DFT
ורוצים לחשב קונבולוציה רגילה באמצעותה
ניתן באמצעות ריפוד אפסים מתאים
ריפוד אפסים בא בסוף כל אחד מהאותות
ומביא כל אחד מהאותות לאורך 2T-1
קונבולוציה רגילה
קונבולוציה ציקלית

19. קשר בין קונבולוציה רגילה לקונבולוציה ציקלית - דוגמא
>> u = randn(1 , 4)
>> v = randn(1 , 4)
>> z = zeros(1 , length(u) - 1)
>> regConv = conv(u , v)
>> circConv = ifft(fft([u z]) .* fft([v z]))
>> max(abs(regConv - circConv))
e-016
קונב' רגילה:
קונב' ציקלית באמצעות DFT

20. למה זה טוב?
העלות של ביצוע קונבולוציה ע"י התמרה DFT, כפל איבר איבר, והתמרה הפוכה:
התמרת DFT
T מכפלות פנימיות
כל אחת T פעולות
סה"כ T2 פעולות
כפל איבר איבר: T פעולות
התמרה הפוכה T2 פעולות
סה"כ O(T2) פעולות
אז לא משתלם...

21. אלג' התמרת פורייה המהירה FFT
אלג' מהיר
מבוסס על "הפרד ומשול"
עובד בזמן O(TlogT)
אפילו עם קבוע קטן יחסית
פותח ע"י
Gauss ב1805, עוד לפני גילוי טורי פורייה עצמם
שוב ב1965, ע"י Cooley & Tukey
תרם לפיתוח תחום עיבוד התמונות
מי שמתעניין – יש הסבר טוב ב wikipedia.

22. סיכום: סוגי פורייה השונים
טרנספורם פורייה:
עבור: אותות לא מחזוריים
מישור הזמן: רציף במשתנה t
מישור התדר: רציף במשתנה f
נוסחאות:

23. סיכום: סוגי פורייה השונים
טור פורייה:
עבור: אותות מחזוריים
מישור הזמן: רציף במשתנה t
מישור התדר: בדיד במשתנה k
נוסחאות:

24. סיכום: סוגי פורייה השונים
DT: Discrete Time Fouriere Transform
עבור: אותות לא מחזוריים
מישור הזמן: בדיד במשתנה t
מישור התדר: רציף במשתנה f
נוסחאות:

25. סיכום: סוגי פורייה השונים
DFT או Discrete Time Fourier Series
עבור: אותות מחזוריים
מישור הזמן: בדיד במשתנה t
מישור התדר: בדיד במשתנה k
נוסחאות:

26. דוגמא: סינון במישור התדר הבדיד
נתונה תמונה רועשת
אופי הרעש:
נוסף לכל שורה רעש הרמוני
תדר f = 1/(8 pixels)
נוסחאת הרעש:
האמפליטודה A והפאזה φ אקראיים, ובלתי תלויים בין שורה לשורה
ננסה לנקות עם פילטרי ממוצע וחציון, וכן עם פילטר מיוחד

27. דוגמא – המשך: הוספת הרעש בשורה ה100

28. לפני ואחרי הוספת רעש

29. מסנן מיצוע - תוצאות

30. מסנן מיצוע ומסנן חציון (מיצוע 8 פיקסלים סמוכים בכל שורה)
הרעש נוקה, אך התמונה מטושטשת

31. סינון רעש במישור התדר
ננתח את הרעש:

32. סינון רעש במישור התדר - המשך
ננתח את הרעש:
אם נעשה DFT לאות, בקטע [0,255] (כלומר T=256):
ומהפיתוח הקודם קיבלנו (ע"י הצבה f=1/8 ו T=256)

33. סינון רעש במישור התדר - המשך
DFT של אות הרעש (עוצמה)

34. סינון רעש במישור התדר - המשך
נרצה לתכנן מסנן לינארי
בשל תכונות הקונבולוציה, מסנן לינארי יכפול על איבר תדר במספר מרוכב כלשהו
כך כל תדר יקבל טיפול שונה
במקרה שלנו, הרעש משפיע על מרכיבי התדר 32 ו 224
נתכנן מסנן Notch Filter העובד על תדר אחד
יאפס את רכיבי התדר ה32 ו 224 (המסנן יהיה 0 בתדרים אלה)
ולא ישנה את האחרים (המסנן יהיה 1 בשאר התדרים)

35. סינון רעש במישור התדר - המשך
אות אחרי המסנן במישור התדר
אות מקורי במישור התדר

36. סינון רעש במישור התדר - המשך
הרעש סולק לחלוטין
התמונה המקורית לא שוחזרה:
חסרים מרכיבי התדר שאופסו
לכן עדיין רואים תבנית מחזורית

37. סינון רעש במישור התדר - השוואה
פילטר Notch במישור התדר
פילטר ממוצע ברוחב 8

38. סינון רעש במישור התדר - מימוש
בניית המסנן בציר התדר:
Filter=ones(1,256);
Filter(32+1)=0;
Filter(224+1)=0;
הפעלת המסנן על התמונה:
For k=1:size(I,1),
Y=fft(I(k,:)).*Filter;
I(k,:)=ifft(Y);
end
הפילטר במישור התדר

39. עקרונות לתכנון מסנן לניקוי רעש במישור התדר
נניח ידוע לנו איכותית כיצד נראית התמונה במישור התדר, וכיצד נראה הרעש במישור התדר, נתכנן את המסנן כך:
1 בתדרים בהם עוצמת הרעש חלשה לעומת עוצמת התמונה
0 בתדרים בהם עוצמת הרעש חזקה לעומת עוצמת התמונה
ערך בין 0 ל 1 בתדרים בהם עוצמות הרעש קרובות
Weiner Filter
דרך לבצע את התכנון באופן אופטימלי
ילמד בקורסים מתקדמים...