1. מפות קרנו ולוגיקה צירופית יהודה אפק, נתן אינטרטור אוניברסיטת תל אביב
מפות קרנו ולוגיקה צירופית יהודה אפק, נתן אינטרטור אוניברסיטת תל אביב
מבוסס על הרצאות של יורם זינגר, האוניברסיטה העברית י"ם
חובר בספטמבר 2001

2. פישוט פונקציות ע"י מפות קרנו:y
E. Veitch, 1952 ; M. Karnaugh 1953
טבלה של שני משתנים: y 1 m0 m1 m2 m3 x 1
x’y’
x’y
xy’ xy x y
ייצוג ערכים: y 1 x
f = m1+m2+m3 y
f = x+y x x z
טבלה של שלושה משתנים: yz 00 01 11 10
x’y’z’
x’y’z
x’yz
x’yz’ 1
xy’z’
xy’z
xyz
xyz’ 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6 x x y
** כל שני ריבועים סמוכים במפה נבדלים במשתנה אחד בלבד.
m2 + m6  x’yz’ + xyz’  yz’
חובר בספטמבר 2001

3. f=z’ + xy 1. z’ 2. xy פונקציה "פשוטה" ריבועים גדולים y 1 x z00 01 11 10 1
1. z’ x
2. xy
f=z’ + xy z
f = x’y’z’ + xy’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’
כדי לפשט את הפונקציה נחפש ריבועים "מוכללים" גדולים שיכסו את ה"1"
פונקציה "פשוטה"
ריבועים גדולים
חובר בספטמבר 2001

4. דוגמא נוספת: f(x,y,z) = (0,1,5,6,7) y 1 x z f = x’y’ + xz + xy00 01 11 10 1
f = x’y’ + y’z + xy
y’(x’+z)
לא ניתן לפישוט ע"י מפת קרנו.
הפישוט המינימלי לא תמיד יחיד 2 3 1 6 7 5 4
f = x’y’ + xz + xy
לא ניתן לפישוט ע"י מפת קרנו.
x(y + z) x z
חובר בספטמבר 2001

5. מפה של ארבעה משתנים: מפה של חמישה משתנים: f=x’z’ + w’z’ 1 1 y yz wx x00 01 11 10 1
f=x’z’ + w’z’ x w z
מפה של חמישה משתנים: C 1
AB CDE B A E D E
f = AC’ + AD’E’ + CDE’ + B’D’E’
חובר בספטמבר 2001

6. מפה של חמישה משתנים: מושג השכנות
f = A’BDE + ABD’E C 1
AB CDE B D E
חובר בספטמבר 2001

7. איברים / צירופים אדישים:yz y 00 01 11 10  1 wx x w z
  “Don’t Care” ניתן להשים ל"1" או "0“ (לאו דווקא בעקביות)
f = z’w + zx סכום מכפלות
חובר בספטמבר 2001

8. דוגמאות:
חובר בספטמבר 2001

9. דוגמאות:
חובר בספטמבר 2001

10. צורות קנוניות: x’y’z’+x’yz’+x’yz+xy’z’+xyz’+xyz (x+y+z’) (x’+y+z’) •
כל פונקציה בוליאנית ניתנת לכתיבה כסכום מכפלות:
x’y’z’+x’yz’+x’yz+xy’z’+xyz’+xyz
(x+y+z’)
(x’+y+z’)
ומכפלת סכומים: •
מכפלות
סכומים
סימון
גורם z y x M0
x+y+z m0
x’y’z’ M1
x+y+z’ m1
x’y’z 1 M2
x+y’+z m2
x’yz’ M3
x+y’+z’ m3
x’yz M4
x’+y+z m4
xy’z’ M5
x’+y+z’ m5
xy’z M6
x’+y’+z m6
xyz’ M7
x’+y’+z’ m7
xyz
בהינתן טבלת אמת של פונקציה f:
נרשום את f כמכפלת סכומים ע"י לקיחת Mi עבורם f=0.
או:
2) נרשום את f כסכום מכפלות ע"י לקיחת mi עבורם f=1.
minterm
(x+y+z’)
(x’+y+z’)
x’y’z’+x’yz’+…
חובר בספטמבר 2001

11. Product of sum design
חובר בספטמבר 2001

12. Product of sum design
חובר בספטמבר 2001

13. איברים / צירופים אדישים:yz y 00 01 11 10  1 wx x w z
  “Don’t Care” ניתן להשים ל"1" או "0“ (לאו דווקא בעקביות)
f = z’w + zx סכום מכפלות
חובר בספטמבר 2001

14. לוגיקה צרופית Combinatorial Logic מעגל צירופי לוגי n m
משתני כניסה m
משתני יציאה
נוהל תכנון: Design Principles
תאור הבעיה.
קביעת מספר משתני הכניסה הקיימים ומספר משתני היציאה הנדרשים.
התאמת סמלים למשתני הכניסה והיציאה.
בניית טבלת אמת המגדירה את היחסים הנדרשים בין הכניסות ליציאות.
פישוט הפונקציה הבוליאנית עבור כל יציאה.
"קיבוץ" ופישוט של הפונקציה הכוללת.
תיאור וכתיבת הדיאגרמה הלוגית.
חובר בספטמבר 2001

15. BCD => Seven -Segment - Decodera
Seven Segment f g b e c d
קלט: מספר בן 4 ביטים ב –BCD
פלט: 7 פונקציות בוליאניות כך שכל פונקציה הינה "1" אמ"מ ה- Segment המתאים צריך לדלוק.
נבנה את טבלת האמת.
נחשב את a…g ע"י מפות קרנו.
נצמצמם את המעגלים ע"י חיפוש שערים חוזרים.
חובר בספטמבר 2001

16. טבלת אמת  :BCD  7 Seg 1  D a a = B’D’ + C + A + BD f b gn
BCD IN
7 Seg Out A B C D a b c d e f g 1 2 3 4 5 6 7 8 9
other  D a 00
a = B’D’ + C + A + BD f b 1  g
a =(B’+D+C) (A+B+C+D’)
(A,B,C,D)=>a c 01 e d B 11 A 10 AB CD C
חובר בספטמבר 2001

17. 1 e = D’B’ + CD’ = D’(B’+C)  e = (B’+C)D’ B A D C AB CD a f b g c e d B A D C AB CD 00 01 11 10
e = D’B’ + CD’ = D’(B’+C)
e = (B’+C)D’ a f b g c e d
(A,B,C,D) =>e
חובר בספטמבר 2001

18. חצי מחבר – Half Adder HA S = X  Y (a  b) C = X • Y (a • b)
חצי מחבר: מקבל 2 סיביות ומחזיר את סכומן (mod 2) ואת הנשא. HA b0 a0 C S a b s c 1
S = X  Y (a  b)
C = X • Y (a • b) A B S C
(a+b)’=a’b’
(a’b’ + c)’=
=(a’b’)’•(a•b)’
=(a+b)•(a’+b’)
=aa’ + ab’ + ba’ +bb’ a S b C
(ab)’ ab
חובר בספטמבר 2001

19. 1 1 מחבר מלא – Full Adder FA S C bn an Sn Cn Cn-1 x y z c s1
הפונקציות s,c סימטריות ב x,y,z
"תפקידי" x,y,z הינם זהים
S = x’y’z + x’yz’ + xy’z’ + xyz
C = xy + yz + xz Y Y 1 1 X X S C Z Z
חובר בספטמבר 2001

20. Ripple Carry Adder
חובר בספטמבר 2001

21. 4-Bit Adder
חובר בספטמבר 2001

22. מחבר / מחסר 1
חובר בספטמבר 2001

23. בדיקת גלישה – מימוש: מספר בין n=4 ביטים a3 b3 a2 b2 a1 b1 a0 b0 C3
Adder C2
Adder C1
Adder C0
Adder
"0"
נשא סופי
נשא לתוך סיביות הסימן S3 S2 S1 S0
מספר בין n=4 ביטים
Overflow: Cn-1  Cn-2 = 1
בדוגמא (5+7): = C3  C2
אם ו חיוביים לא צריך להיות נשא לתוך המסכם האחרון ולא יכול להיות נשא סופי.
אם ו שליליים חייב להיות נשא סופי וכדי שהמספר יהיה שלילי צריך נשא לתוך המסכם האחרון.
חובר בספטמבר 2001

24. Full Adder with Overflow check1
חובר בספטמבר 2001

25. משווה גודל - Comparator1
“1”
A<0
B0
A>B : אין overflow A<0,B>=0
A-B>0 0=MSB ו A<>B
יש overflow MSB=1 A>=0,B<0
B>A : אין overflow A-B<0 MSB=1
יש overflow MSB=0
c4 XOR c3 :Overflow
No Overflow
“1”
A0
B<0
חובר בספטמבר 2001

26. Decoders Multiplexor Connects one of many inputs to one output.
n select lines for 2n inputs.
חובר בספטמבר 2001

27. Decoders: Multiplexer
חובר בספטמבר 2001

28. 4:1 Multiplexer
חובר בספטמבר 2001

29. Multiplexer: Binary function
חובר בספטמבר 2001