1. יחס סדר חלקי

2. סדר חלקי
הגדרה: יחס S מעל קבוצה A נקרא סדר חלקי אם הוא רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי.
דוגמאות:
(N, ) N המספרים הטבעיים.
(P(A), ) (A)P קבוצת החזקה של A.

3. (P(A), ) יחס סדר רפלקסיביות:
לפי ההגדרה של הכלה לכל קבוצה B מתקיים BB .
 לכל קבוצה B ששייכת ל(A)P מתקיים BB .
 לכל קבוצה B ששייכת ל(A)P מתקיים (B,B)  (P(A), ) .
 כל זוג מהצורה (B,B) כך ש B  P(A) שייך ל (P(A), ).
IP(A) (P(A), ) .
טרנזיטיביות:
עבור כל שלושה איברים B,C,DP(A) אם CD וBC אז מתקיים BD.
אנטי-סימטריות:
עבור כל שני איברים B,CP(A) אם CB וBC אז מתקיים .B=C

4. דוגמה ל (P(A), )
A={1,2,3}
P(A)={Φ,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}
Ø {1}{1,2} {1,2,3}
הקבוצות {1,2} ו- {2,3} אינן ניתנות להשוואה מכיוון ש: {2,3} {1,2} ו- {1,2} {2,3} .
 - לא מוכל

5. סדר מלא הגדרה: סדר חלקי S מעל קבוצה A נקרא סדר מלא אם הוא
a,bA (a,b)  S  (b,a)  S  .
(לכל זוג איברים a,b בA- מתקיים (a,b)  S או (b,a)  S )
הצמד (A, S) נקרא אז קבוצה סדורה ליניארית או שרשרת.
דוגמאות:
(≤,N) סדר מלא מעל הטבעיים (כנ"ל גם מעל Z, R).
(P(A), ) קבוצה סדורה ליניארית אם"ם |A| < 2 .
(יחס לקסיקוגרפי ,מילים בעברית)

6. איבר מינימאלי
הגדרה: יהא S סדר חלקי מעל A. a A נקרא מינימאלי אם לא קיים x A כך ש- x  a  (x,a)  S .
דוגמאות:
(P(B), ) האיבר המינימאלי הוא: Ø
(P(B)\{Ø}, ) איברים המינימאלים הם: כל הקבוצות ב P(B) שגודלן 1.
(N\{0}, |) האיבר המינימאלי הוא: 1.
(N\{0,1}, |) איבר המינימאלי הוא: כל מספר ראשוני.
(Z, ) - לא קיים איבר מינימאלי, כי לכל x, .(x-1)Z
הערה: | - יחס "מחלק בלי שארית": a|b אם ורק אם a מחלק את b ללא שארית.

7. איבר מקסימאלי
הגדרה: יהא S סדר חלקי מעל A. a A נקרא מקסימאלי אם לא קיים x A כך ש- x  a  (a,x)  S .
דוגמאות:
(N\{0}, |): לא קיים איבר מקסימאלי, כי לכל x, x | 2x .
(P(B), ): B איבר מקסימאלי.
(P(N)\{N}, ): כל הקבוצות מהצורה X \ {n}, n טבעי, הן איברים מקסימאליים.

8. משפט: בקבוצה סדורה ליניארית, אם קיים איבר מינימאלי (מקסימאלי), אז הוא יחיד.
הוכחה:
יהי הצמד (A, S) קבוצה סדורה ליניארית.
נניח בדרך השלילה שקיימים לפחות שני איברים מינימאליים x,y.
לפי הגדרת קבוצה סדורה ליניארית מתקיים: a,bA (a,b)  S  (b,a)  S 
לכן עבור x,y מתקיים (x,y)  S  (y,x)  S
בסתירה להנחה ש x,y הם מינימאליים.

9. משפט: בכל קבוצה סדורה חלקית סופית קיים איבר מינימאלי (מקסימאלי) אחד לפחות.
הוכחה: נשתמש בטענת עזר:
טענה: יהי R יחס טרנזיטיבי מעל קבוצה A. יהיו y1,y2,...,ym A (m>1) כך ש: (ym,ym-1),…,(y3,y2),(y2,y1) R אז מתקיים .(ym,y1) R
הוכחת טענת העזר: אינדוקציה על m.
בסיס האינדוקציה: יהיו y1,y2A כך ש (y2,y1) R אז .(y2,y1) R
הנחת האינדוקציה : יהיו y1,y2,...,ym-1 A כך ש:
(ym-1,ym-2),…,(y3,y2),(y2,y1) R אז (ym-1,y1) R .
הוכחת האינדוקציה: יהיו y1,y2,...,ym A כך ש: (ym,ym-1),…,(y3,y2),(y2,y1) R
לפי הנחת האינדקציה (ym-1,y1) R מכיוון שגם (ym,ym-1) R
לפי טרנזיטיביות של R מתקיים (ym,y1) R .

10. משפט: בכל קבוצה סדורה חלקית סופית קיים איבר מינימאלי (מקסימאלי) אחד לפחות.
הוכחה:
יהי S סדר חלקי מעל הקבוצה A. (|A|=n)
נניח בדרך השלילה שלא קיים איבר מינימאלי.
יהיה x1 איבר ב-A.
מכיוון שעלפי ההנחה לא קיים איבר מינימאלי אז בפרט x1 אינו איבר מינימאלי ולכן קיים איבר שנסמנו x2 כך ש :
1x2≠x Λ S  ( (x2,x1
נוכל להמשיך באופן זה עד שנקבל סדרה של איברים
xn+1,xn,…, x2,x1 A כך ש:
(xn+1,xn),(xn,xn-1),…,(x3,x2),(x2,x1) S
לכל i{1,...,n+1} מתקיים xi+1≠xi

11. המשך הוכחה
משף קודם:
(xn+1,xn),(xn,xn-1),…,(x3,x2),(x2,x1) S
לכל i מתקיים xi+1≠xi
מכיוון שמספר האיברים ב A סופי חייבים להיות שני איברים שווים בסדרה נסמנם xk,xk+t ( (xk=xk+t.
לפי (1) S( (xk+1,xk ומכיוון ש xk=xk+t מתקיים S((xk+1,xk+t
לפי טענת עזר S((xk+t,xk+1 ולכן לפי אנטי סימטריות של S ושורה קודמת xk+t=xk+1.
לכן xk=xk+1 בסתירה ל (2)
לכן ההנחה שאין איבר מינימאלי אינה נכונה.

12. האיבר הקטן ביותר
הגדרה: תהא (A,S) קבוצה סדורה חלקית. אם קיים ב- A איבר a כך שלכל x A מתקיים (a,x)  S , אז a נקרא האיבר הקטן ביותר ב- A. באופן דומה מגדירים איבר גדול ביותר.
הערות:
איבר קטן ביותר הוא איבר מינימאלי יחיד.
ההפך איננו נכון – יתכן איבר מינימאלי יחיד בקס"ח שאיננו קטן ביותר.
דוגמאות:
(P(B), ):האיבר הקטן ביותר הוא .
(P(B)\{}, ): יש איבר קטן ביותר רק אם 1=|B|.
( { x  R | 0  x < 1},  ): 0 הוא האיבר הקטן ביותר.
מסקנה: בקבוצה סדורה ליניארית, אם קיים איבר מינימאלי, אז הוא גם קטן ביותר.

13. כללים לבניית דיאגראמת הסה לקס"ח
קשת עולה מ- x ל- y אםם:
(x,y)  S
לא קיים z השונה מ-x,y שעבורו (x,z)  S וגם(z,y)  S .
אם יש קשת עולה מ x ל yאז נאמר ש- y מכסה את x.
כל מסלול עולה בדיאגראמה מייצג שרשרת (בהמשך).

14. דיאגראמת הסה עבור (P({1,2,3}, )
{1,2}
{1,3}
{2,3}
{1}
{2}
{3} φ