1. תחשיב היחסים (הפרדיקטים)
תחשיב היחסים (הפרדיקטים)

2. השפה , )פסיק ( (,) ) סוגריים (  ,  ) קשרים לוגיים (  ) כמת כולל (
x,y,x,…
) משתנים (
a,b,c,…
(קבועים)
P,Q,R,…
(סימני פרדיקטים)
f,g,h,…
(סימני פונקציות)

3. עצם שמות 1. משתנים וקבועים הינם שמות עצם.
2. אם f הוא סימן פונקציה n-מקומית ו- t1, …,tn שמות עצם, אזיf (t1, …,tn) גם כן שם עצם.
3. שום דבר אחר איננו שם עצם.

4. נוסחאות אם P הוא פרדיקט n-מקומי ו- t1,…,tn הם שמות עצם,
אזי (t1, …,tn)P הוא נוסחה אטומית.
1. נוסחאות אטומיות הינן נוסחאות.
2. אם A ו- B נוסחאות, אזי גם (~A),(A  B) ו- (x(A הן נוסחאות.
3. שום דבר אחר אינו נוסחה.
נוסחאות בלי משתנים חופשיים תקראנה משפטים או פסוקים.

5. בנוסחא (x(A, A נקרא הטווח של כמת x.
תהי A נוסחה ויהי t שם עצם. נגיד ש-t חופשי ל-x ב-A, אם שום הופעה חופשית של x ב-A לא נמצאת בטווח של כמת y כאשר y מופיע ב-t.

6. (A  (B  C))  ((A B)  (A  C)) 2A (~B  ~A)  ((~B  A)  B) 3A
אקסיומות לוגיות
A  (BA) 1A
(A  (B  C))  ((A B)  (A  C)) 2A
(~B  ~A)  ((~B  A)  B) 3A
xA(x)  A(t)
כאשר t חופשי ל- x ב- A 4A
xB) x(A  B)  (A 
כאשר x לא מופיע חופשי ב-A A5
כללי היסק
A, A  B ├ B MP
A├ xA
GEN

7. הוכחה עם הנחות
תהי A נוסחה ותהי Γ קבוצת נוסחאות (הנחות). גזירה (הוכחה) של A מ-Γ היא סידרה של נוסחאות A1,A2,…,An כך ש- An היא A ועבור כל i =1,2,…,n מתקיים אחד מן התנאים הבאים:
Ai היא אקסיומה, או
Ai Γ , כלומר Ai הנחה או
קיימים j,k < i כך ש- Ai מתקבלת מ- Ak ו- Aj ע"י MP (כלומר, Aj היא מהצורה Ak  Ai), או
קיים k < i כך ש- Ai מתקבלת מ- Ak ע"י GEN (כלומר, Ai היא מהצורה xAk).

8. נכתוב Γ├ A אם קיימת גזירה של A מ-Γ (A יכיח מקבוצת הנחות Γ).
תהי A1,…,An גזירה מ-Γ. נאמר ש- Ai תלויה ב-A (בגזירה הזו) אם ורק אם
1.  Ai היא A ו- AiΓ, או
2.  Ai מתקבלת ע"י MP או GEN מנוסחאות קודמות כאשר לפחות אחת מהן תלויה ב-A.
טענה: אם B אינה תלויה ב-A בגזירה של B מ-{Γ{A, אזי Γ├ B
הוכחה: ניתן להוכיח בקלות, באינדוקציה על אורך הגזירה.

9. משפט הדדוקציה: אם קיימת גזירה של B מ- Γ{A} שבה GEN אינו מופעל על משתנה חופשי של A בנוסחה שתלויה ב-A. אזי Γ├ A  B.
הוכחה: תהי A1,…,An ‘‘=’’ B גזירה של B מ- Γ{A} המקיימת את תנאי המשפט. נוכיח באינדוקציה על i כי Γ├ A  Ai, ואז עבור i = n, נקבל Γ├ A  B.
בסיס האינדוקציה וצעד האינדוקציה עבור MP הם בדיוק כמו במקרה הפסוקי.

10. אם Ai מתקבלת ע"י הכלל GEN מ- Ak (i < k), אזי Ai היא
אם Ai מתקבלת ע"י הכלל GEN מ- Ak (i < k), אזי Ai היא .xAk על פי הנחת האינדוקציה, Γ├ A  Ak.
על פי תנאי משפט הדדוקציה,
א) Ak אינה תלויה ב-A או ב) x אינו חופשי ב-A.
א) אם Ak אינה תלויה ב-A, אזי Γ├ Ak (ע"פ הטענה הקודמת).
נמשיך את הגזירה: a Ak
 ע"פ הטענה
a+1
xAk (‘‘=’’ Ai)
GEN, a
a+2
Ai  (A  Ai) A1
a+3
A  Ai
MP, a+1,a+2

11. ב) אםx אינו חופשי ב-A, על פי הנחת האינדוקציה, Γ├ A  Ak
על פי הנחת האנדוקציה 
a+1
x(A  Ak)  (A  xAk) A5
a+2
x(A  Ak)
GEN;a
a+3
A  xAk
MP;a+1,a+2
מסקנה: אם קיימת גזירה של B מ-Γ{A} שבה GEN לא מופעל על משתנים חופשיים ב-A, אזי Γ├ A  B. 
מסקנה: אם A הוא פסוק ו- Γ,A├ B אזי Γ├ AB.