2. Kalkulatu hurrengo puntuetatik pasatzen den interpolazio- polinomioaren zero bat: Interpolazio-polinomioa honelakoa izango da:

3. Cramer-en araua erabiliz:

6. 2. lerroa batzen diogu 1. zutabea bider 2 batzen diogu

7. 2. zutabea batzen diegu 1. zutabea bider 2 batzen diogu

8. 1. zutabea bider 2 batzen diogu 2. lerroa batzen diogu

9. 2. zutabea batzen diegu Beraz: Eta interpolazio-polinomioa da:

10. Berriro ere aztertzen baditugu interpolazio-puntuak: Ikusten da y(x)-ek zeinu-aldaketa jasaten duela, hau da zero bat duela, x 1 = 0 eta x 2 = 1 puntuen artean. Hortaz abiapuntu egokia Newton-en metodorako x = 0.5 litzateke: Hurrengo f(x) hartzen badugu: f(x)-en zeroak dira y(x)-en berberak:

12. Kalkulatu Gauss-Legendre-ren koadraturaren bidez 6 puntu-rekin (n=5) hurrengo integrala. Kalkulatu Simpson-en bidez ere h = 1/8 hartuta : Gauss-Legendre: ERRADIANETAN!!!

13. Simpson: h = 1/8 (17 puntu): ERRADIANETAN!!!

14. Gaixo bati sendagai baten A dosia ematen zaio. Sendagaiaren kontzentrazioa odolean t ordu geroago hurrengo formularen bidez kalkula daiteke: a) Zenbatekoa izan behar da hasierako dosia gehienezko kontzentrazio 1 mg/ml izateko? Noiz agertzen da konzentrazio maximo hori? b) Kontzentrazio maximo hori pasa eta gero bigarren dosia eman behar zaio kontzentrazioa 0.25 mg/ml baliora jaisten denean. Kalkulatu minutu baten zehaztasunarekin zenbat denbora igarotzen duen bi dosien artean. c) Bigarren dosia lehenengoa baino %75 txikiagoa dela suposatuz, noiz eman beharko genioke hirugarren dosia?

15. a) Beraz, 3 ordu pasa eta gero lortzen da kontzentazio maximoa eta bere Balioa hurrengo hau da: Balio hori 1 izateko:

16. b)Hurrengoan kalkulatu nahi dugu noiz den 0.25 c(t)-ren balioa, hau da, zein den f(t) = c(t)-0.25 funtzioaren zero bat: t 0 = 4 puntutik abiatuz: Newton:

18. c)

19. Kalkulatu Runge-Kutta -en metodoaren bidez hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzio hurbilduak ondoko x = 1.2 eta x = 1.4 puntuetan h=0.1 erabiliz: : Soluzio analitikoa y = exp(x 2 -1), dela kontutan hartuz, kalkulatu egindako errore absolutuak eta erlatiboak. h = 0.1:

25. Kalkulatu Simpson-en eta Trapezioen prozeduren bidez (7 punturekin bai batan bai bestean) eta Gauss-Legendre-ren koadraturaren bidez 4 punturekin (n=3) (taularen puntuekin) hurrengo integralaren balorea: Trapezioen bidez: h = 1/2 hartuta (7 puntu):

26. Simpson-en bidez:

27. Gauss-Legendre-ren koadraturarekin n=3 hartuta (4 puntu):

28. Herri batetan 1000 biztanle bizi dira. Bati birus kutsakor bat erantsi zaio. Hurrengo egunean hiru badira kutsatuak astebete bat igaro ondoren, zenbatekoa izango da gaixoen kopurua? h = 1/7:

29. Ondorioz, astebete bat pasa eta gero, denak daude gaixorik.

30. Bi substantzia, A eta B, konbinatzen direnean C konposatu bat osatzen da. Erreakzioan, A substantziaren gramo bakoitzako B-ren 4 gramo behar dira. Minutu bat pasa eta gero C-ren 6 gramo sortu dira.Erreakzioaren abiadura A eta B-ren geratzen direnen kantitateekiko proportzionala bada eta hasieran A-ren 50 gramo eta B-ren 32 gramo baldin baziren, zenbatekoa izango da C-ren kantitatea erreakzioa abiatu eta 10 minutura? t minutuetan sortzen diren C konposatuaren gramuen kopuruari C(t) deitzen badiogu eta, denbora berean, deskonposatzen diren A eta B-ren kantitateei A(t) eta B(t), deituz hurrenez hurren, orduan:

31. Ondorioz: edo gauza bera dena: eta ebatzi behar dugun lehen ordenako ekuazio diferentziala hau da : non, k, kalkulatu behar dugun konstantea baita.

32. h = 1: Euler-en metodo xinplea erabiltzen badu soluzio numeriko hurbilduak lortzeko: eta behin k konstanta kalkulatu dugun, iterazio gehiago egin ditzakegu beste soluzioak lortzeko beste denboretarako:

34. Zenbaki lehenen teoremaren arabera a< x < b tartean dauden zenbaki lehenen kopurua da gutxi gorabehera: Alderatu hurbilketa honen bidez lortutako 100 eta 200-en artean dauden zenbaki lehenen kopurua, benetako balioarekin. Gauss-Legendre-ren koadraturarekin eta n=3 hartuta (4 puntu):

35. Hala ere, 100 baino handiagoak eta 200 baino txikiagoak diren zenbaki lehenen benetako kopurua da 21.

36. Erabili Runge-Kutta-ren metodoa hurrengo probleman  -ren balio hurbildua lortzeko h=0.5 hartuta eta kalkulatu egindako errore absolutua eta erlatiboa: Ekuazio diferentzial hau zehatz-mehatz integra daiteke:

37. h = 0.5: Hortaz  -ren balio numeriko hurbildua lortzeko kalkulatu beharko dugu y(x) x=1 denean:

40. Kalkulatu Simpson-en eta Trapezioen prozeduren bidez (9 punturekin bai batan bai bestean) eta Gauss-Legendre-ren koadraturaren bidez 4 punturekin (n=3, taularen puntuekin) hurrengo integralaren balorea: Trapezioen bidez: h = 1/4 hartuta (9 puntu):

41. Simpson-en bidez:

42. Gauss-Legendre-ren koadraturaz n=3 hartuta (4 puntu):

43. Hurrengo taularen bidez, kalkulatu x 0 -ren bigarren deribatuaren hurbilketa numerikoa x 1, x 2 eta x 3 puntuen balioak erabiliz: Hori egin eta gero, kalkulatu gauza bera, hau da, x 0 -ren bigarren deribatuaren hurbilketa numerikoa; baina, oraingoan taularen lau puntuetatik pasatzen den interpolazio-polinomiaren bidez. Argudiatu bi emaitzen arteko alderaketa.

44. Lehenik eskatzen digute kalkulatzeko distantziakide puntuen taula batetik hartutako x n puntu baten bigarren deribatuaren hurbilketa bat x n+1, x n+2 eta x n+3 puntuen balioen laguntzaz: Hortaz, gure helburua izango da kalkulatzea a, b eta c koefizienteak:

45. a, b eta c koefiziente horiek honelakoak izango dira:

46. Beraz:

47. Jarraian, hurrungo puntueatik pasatzen den interpolazio-polinomioa kalkulatu dugu: Lau puntu izanik interpolazio-polinomioaren maila, gehienera jota hiru izango da: non a i koefizienteek hurrengo ekuazioak betetzen baitituzte:

50. Beraz, interpolazio-polinomioa hauxe da: Ondorioz, bigarren deribatua x 0 puntuan (edozein puntutan, izan ere) da: hau da: lehen lortu genuen emaitza bera. Horren zioa hurrengoan oinarritzen da

51. Erabili Taylor-en seriearen algoritmoa hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzio hurbildua kalkulatzeko:

52. Beraz, dagozkion ordezkaketak eginez: eta soluzio urbildua honela geratzen da:

53. Ebatzi hurrengo ekuazioa: Aurrekoaren baliokidea da hurrengo f(x) funtzioaren zeroa kalkulatzea:

55. Erabili Picard-en metodoa hurrengo problemarekin: