1. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 3.4.1 连续谱本征函数是不能归一化的 一维粒子的动量本征值为的本征函数 ( 平面波 ) 为 可以取 中连续变化的一切实数值. 不难看出，只要则 在量子力学中, 坐标和动量的取值是连续变化 的 ; 角动量的取值是离散的 ; 而能量的取值则视边条 件而定. 例如

2. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 当然, 任何真实的波函数都不会是严格的平面 波, 而是某种形式的波包. 它只在空间某有限区 域不为零. 如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度 大得多, 而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化 极微, 则不妨用平面波来近似描述其状态. 是不能归一化的. 在上例中, 连续谱的本征函数是不能归一化的.

3. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 可以引用数学上的 Dirac 的 为方便地处理连续谱本征函数的 “ 归一化 ”, 我们 函数. 3.4.2 函数 函数的定义

4. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 由 Fourier 积分公式, 对于分段连续函数 (b) 函数也可表成比较式 (a) 与 (b), 领域连续的任何函数 对于在 (a) 等价地表示为 :

5. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 平面波的 “ 归一化 ” 问题, 还可以采用数学上传统的做法 即先让粒子局限于有限空间 中运动 ( 最 后才让 ). 动量本征态为 在周期条件下 3.4.3 箱归一化 此时, 为了保证动量算符 为厄米算符, 就要 求波函数满足周期性边条件.

6. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 同样, 不能归一化的坐标本征态也可类似处理. 因此, 若取动量本征态为 则 这样, 就用 函数的形式把平面波的 “ 归一化 ” 表示出来了.

7. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 由周期条件, 得 ( 粒子波长 即 ). 即 或 所以 或 可以看出 动量的可能取值 就是不连续的. 只要

8. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 此时, 与 相应的动量本征态取为 利用正交归一化条件 利用这一组正交归一完备的函数, 可以构成 如下 函数 :

9. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 现在让 即动量的可能取值趋于连续变化. 于是 此时, 可以把, 而 或

10. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 在处理具体问题时, 如要避免计算过程中出现的平面 波 “ 归一化 ” 困难, 则可以用箱归一化波函数 代 替不能归一化的. 在计算的最后结果才让. 正交完备的归一化波函数为 结论 则 函数可如下构成 : 三维情况

11. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 上式表明, 相空间一个体积元 相当于有一个量子态. 而 最后, 当 时 将连续变化

12. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 设有一组彼此对易, 且函数独立的厄米算符 它们的共同本征函数记为, 是 一组量子数的笼统记号. 3.4.4 力学量完全集 定义 设给定 之后就能够确定体系的一个可能状态， 则称 构成体系的一组力学量完全集.

13. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 表示在 下测量 得到 值的概率. 这是波函数统计诠释的一般表述. 按照态叠加原理, 体系的任何一个状态 均可用 展 开 ( 这里假定 的本征值是离散的 ) 利用 的正交归一性 的归一化条件

14. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 例如 一维谐振子, Hamilton 量本身就构成力学量完全 集 ( 也是守恒量完全集 ). 对于一维自由粒子 由于能量本征态有简 并, 并不构成力学量完全集. 但把空间反射 考虑进去, 力学量完全集可以选为 对于一维粒子, 动量 就构成力学量完全集 与此类似, 坐标 也可以构成力学量完全集.

15. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 注意 体系的一组力学量完全集中, 力学量的个数 并不一定等于自由度的数目. 一般说来, 力学量完全集 中力学量的个数 ≥ 体系的自由度数目. 用一组力学量完全集的共同本征函数来展开体 系的任意波函数, 在数学上涉及完备性这样一个颇 为复杂的问题.

16. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 经验 如力学量完全集中包含有体系的 Hamilton 量, 而 本征值又有下界, 则可以证明, 这一组 力学量完全集的共同本征态构成该体系的态空 间的一组完备的基矢, 即体系的任何一个态均 可用它们展开. 自然界中实际的物理体系的 的本征值都有 下界. 因此, 体系的任何态总可以用包含 在内的 一组力学量完全集的共同本征态来展开. 在 不显含 的情况下, 这种力学量完全集称为 守恒量完全集. 在量子力学中, 找寻体系的守恒量完全 集是一个极重要的问题.

17. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 量子力学中的力学量用相应的线性厄米算符来 表达, 其含义如下 :  实验上观测 的可能值, 必为算符 的某一本征值.  在量子态 之下, 力学量 的平均值由下式确定,  力学量之间的关系通过相应的算符之间的关系反 映出来. 例如两个力学量 与 可以同时具有确 定的观测值的必要条件, 在一般情况下, 为 反之, 若 则一般说来, 力学量 与 不能 同时测定.

18. 量子力学教程 ( 第二版 ) 3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化 特别是, 在 不显含 的情况下, 一个力学量 是否是守恒量, 可以根据 与 是否对易来判断. 具体详见 4.1 节 !