1. מתמטיקה בדידה
תרגול 2

2. הצרנות
האם הביטוי הוא נכון?
שלילת הביטוי הנ"ל ללא שימוש ב :

3. הצרנות הצרן: לכל משוואה ריבועית כך ש: יש לפחות פתרון אחד. פתרון :
הצרן: לכל משוואה ריבועית כך ש: יש לפחות פתרון אחד.
פתרון :
הצרן לכל משוואה ריבועית כך ש: יש בדיוק פתרון אחד.
פתרון :

4. הצרנות
הצרן: לכל משוואה ריבועית כך ש: יש לכל היותר פתרון אחד. הנוסחא המתאימה:
פתרון:

5. טאטולוגיה (אמת לוגית)
נוסחאות שעבור כל הצבה אליהן מקבלות ערך אמת נקראות טאטולוגיות. למשל:
דוגמא
הוכחה: T F

6. טאטולוגיה (אמת לוגית) הוכחה בדרך השלילה ש טאטולוגיה: נניח ש- שקרי
הוכחה בדרך השלילה ש טאטולוגיה:
נניח ש שקרי
אזי קיימת הצבה עבורה מקבל ערך F ואילו
מקבל ערך T .
מכאן מקבל ערך F.
מכאן מקבל ערך T בסתירה.

7. טאטולוגיה (המשך)
 כדי להראות שפסוק אינו טאוטולוגיה די להראות הצבה אחת עבורה הפסוק מקבל ערך שקר.
לדוגמא: אינו טאוטולגיה שכן הינו שקר.
אם שתי נוסחאות שקולות לוגית, , אז היא טאוטולוגיה.
סתירה: פסוק שערכו שקר בכל ההשמות.

8. נביעה לוגית מסמנים אם עבור כל הצבה בה מקבלת ערך אמת, גם מקבלת ערך אמת.
מסמנים אם עבור כל הצבה בה מקבלת ערך אמת, גם מקבלת ערך אמת.
דוגמא:
הוכחה:

9. נביעה לוגית
תרגיל ממבחן: בדקו אם הטיעון הבא תקף: A יעזור ל – B אם B ישאר בארץ. C יעזור ל – B אם B יתחיל ללמוד. B יתחיל ללמוד. מכאן נובע ש: A יעזור ל – B או C לא יעזור ל – B.
פתרון: נסמן: A = W יעזור ל B .
B = X יישאר בארץ .
C =Y יעזור ל B .
B = Z יתחיל ללמוד .
נבדוק אם
נחפש דוגמא נגדית בה שקר ושאר הפסוקים הם אמת.
פתרון:

10. משתנים חופשיים וקשורים
משתנה הוא חופשי אם ניתן להציב במקומו ערכים. הוא קשור אם לא ניתן להציב במקומו ערכים.
למשל ב המשתנה חופשי (אפשר להציב במקומו ערכים).
למשל ב המשתנה קשור (אין משמעות ל ).
למשל ב המשתנה חופשי.
למשל ב , המשתנה קשור.

11. טווח של אופרטורי קשירה
בלוגיקה, הכמתים ו - הם אופרטורי קשירה. הם קושרים את המשתנה הנכתב מיד אחריהם, בעוד טווח הקשירה הוא התחום בתוך הסוגריים הבאים מיד אחר-כך.
דוגמא:
דוגמא:
דוגמא: פסוק אמת עבור ושקר עבור

12. כלל α האם לביטוי יש משמעות זהה לביטוי .
האם לביטוי יש משמעות זהה לביטוי
ומה אם נחליף את המשתנה הקשור x במשתנה y ?
נקבל משמעות שונה
בדוגמא: , לא נוכל להחליף את המשתנה j במשתנה i (ולקבל ).
כלל α קובע כי ניתן להחליף את המשתנה x, הנקשר על-ידי אופרטור מסוים, במשתנה אחר y אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
y אינו מופיע חופשי בטווח של האופרטור, הקושר את x.
2. בשום מקום בטווח הנ"ל אין x מופיע חופשי בטווח של אופרטור הקושר את y.

13. כלל α (המשך)
התנאים הללו קשים לזיכרון. מומלץ על כן להפעיל את כלל α באופן הפשוט הבא:
ניתן להחליף (כשמתעורר הצורך) משתנה קשור x במשתנה y, שאינו מופיע בכלל בטווח הקשירה של x.
לעיתים נרצה להחליף משתנה x במשתנה אחר, אם x משמש בשני מקומות בתפקידים שונים.
דוגמא: הביטוי שקול לביטוי והוא ביטוי אמת.

14. חשיבות מיקום הסוגריים
הביטוי היינו פסוק שקרי. הביטוי הוא ביטוי שבו המשתנה x השני הוא חופשי. ביטוי זה מקבל ערך אמת לכל הצבה של x.

15. דוגמאות להוכחות (1) הוכח או הפרך את הפסוק הבא: הוכחה: נבחר . כלומר .
הוכחה: נבחר
כלומר
לכן אם אזי

16. דוגמאות להוכחות (2) הוכח או הפרך את הפסוק הבא: נפריך ע"י הוכחת שלילתו:
נבחר , לכל ולכל m, נבחר n=m+1.
נקבל
לכן