2. 第二章 導　數
課程目標
變化率與切線
導數的定義
基本的微分方法
邊際分析
乘法與除法規則
連鎖律
高階導數
不可微的函數

3. 變化率 在微積分中，導數是一個最基本而且重要的概念，主要是用來探討函數的變化率，而其意義可依應用的領域而作不同的詮釋。
例如，切線的斜率(slope)，車子的速率(speed)，經濟上的邊際成本等等都可用導數的方法加以定義及探討。
2-1 變化率與切線

4. 變化率與切線
圖中，P 和 Q 為圖形上相異的兩個點，通過 P 和 Q 分別作出它們的切線 (tangent line)，lP 和 lQ ，我們很容易地可以分辨出 lQ 較 lP 陡峭或者說 lP 較 lQ 平坦。
2-1 變化率與切線

5. 割 線
假設 y = f(x) 為一函數，如下圖，P(a, b) 為圖形上的一點，Q(x, y) 為圖形上的另一點，連結 P 和 Q 兩點所成的直線 lPQ 稱為割線(secant line)，其斜率為
當 Q 沿著圖形靠近 P 時， lPQ 必須靠近某一條固定的直線 lP ，如果這種情況發生，則此直線 lP 即為函數圖形在 P 點的切線。
2-1 變化率與切線

6. 切線斜率與變化率 定義2-1: 設 P(a, f(a)) 為函數 y = f(x) 圖形上的一點。如果
存在，則 m 稱為此函數(或函數圖形)在 P 點(或在 x = a)切線的斜率(slope)或者是函數 y = f(x) 在 x = a 的瞬時變化率(instantaneous rate of change)或簡稱變化率(rate of change)。若 y = f(x) 在 x = a 之切線斜率為 m，則其切線方程式(equation of tangent line)為
2-1 變化率與切線

7. 求斜率、切線方程式、變化率 求函數 f(x) = x2 + 1 在 x = 0 之切線斜率。 在上例中，求通過 (0, 1) 之切線方程式。
求函數 f(x) = x2 - 2x + 3在 x = 2 時之變化率。
2-1 變化率與切線

8. 圖形上某些點沒有切線 令 證明此函數在 x = 0 時沒有切線。 解：因 所以， 不存在， 故此函數在 x = 0 時沒有切線。
所以， 不存在，
故此函數在 x = 0 時沒有切線。
2-1 變化率與切線

9. 導數的定義 定義2-2: 設 y = f(x) 為一函數。若
存在，則此極限值稱為 f(x) 在 x = a 之導數，通常我們用 f '(a)來表示，即
f '(a) 即為 y = f(x) 之函數圖形在 x = a 時之切線斜率，此時 f(x) 在 x = a 時之切線方程式為
f '(a) 亦為函數 y = f(x) 在 x = a 時之變化率。
經由簡單的變數變換，f '(a) 亦可表示成底下的形式：
2-2 導數的定義

10. 求導數
設 f(x) = x2 + 2，求 f '(1) 和 f '(-1)。 解：
2-2 導數的定義

11. 導數符號
對一函數 y = f(x) ，其在 x 之導數為 f '(x)，我們可將其視為一新的函數，通常我們以 y = f '(x) 來表示。另外一些常用的導數符號為
2-2 導數的定義

12. 可微函數
定義2-3: 設 y = f(x) 為一函數。若 f(x) 在 x = a 的導數存在，則我們稱 f(x) 在 x = a 可微 (differentiable)。若 f(x) 在其定義域裡的每一點都可微，則 f(x) 稱為可微函數 (differentiable function)。
可微函數
證明下列函數為可微並求其導數：
利用導數求函數之變化率
設 f(x) = x3，求 f(x) 在 x=1 時之變化率。
2-2 導數的定義

13. 利用導數求切線 設 f(x) = 3x2 - 1，求此函數在 x = 0 之切線。 解： 故 f(x) 在 x = 0 之切線方程式為
2-2 導數的定義

14. 基本的微分方法
給定函數 y = f(x) 以後，可以從定義求函數的導數 y = f(x)，這種作法是複雜而不經濟，必須發展出一些求導數的方法，這種由函數 y = f(x) 直接算出 f '(x) 的過程稱之為微分(differentiation)。
定理2-1:
2-3 基本的微分方法

15. 求導數
利用(1)求導數:
利用(2)和(5)求導數:
利用(6)求導數:
利用定理2-1求導數:
2-3 基本的微分方法

16. 求導數 對不同之變數求導數: 求導數: 設 y = x3 + x-1 + 5，求 。 設 f(x) = x7 - 10x2 - x，求 。
設 f(x) = 3x3 + 2x2 + x +10，求 f '(2)。
2-3 基本的微分方法

17. 導數的應用 求切線方程式: 求變化率: 設 f(x) = x3 + x-1 + 5，求此函數在 x = 1 之切線方程式。
設 f(x) = x7 - 10x2 - x，求此函數在 x = 2 之變化率。
2-3 基本的微分方法

18. 邊際分析
在經濟學和商業活動上，三個非常基本而且重要的函數，成本函數(cost function) 、收入函數 (revenue function) 、利潤函數 (profit function) 。
C(x) = 該工廠生產 x 單位產品之總成本，即成本函數
R(x) = 該工廠銷售 x 單位產品之總收入，即收入函數
P(x) = 該工廠生產且銷售 x 單位產品之總利潤，即利潤函數
P(x) = R(x) - C(x)
2-4 邊際分析

19. 成本函數的變化率 在實務上應如何詮釋成本函數 C(x) 的變化率 C'(x) 。由 C'(x) 的定義知 再從極限的定義知，當 h 很小時，
2-4 邊際分析

20. 邊際函數 定義2-4: MC(x) = C'(x) 稱為邊際成本函數(marginal cost function)。
MR(x) = R'(x) 稱為邊際收入函數(marginal revenue function)。
MP(x) = P'(x) 稱為邊際利潤函數(marginal profit function)。
2-4 邊際分析

21. 求邊際成本 假設有一工廠生產 x 台電視機其所需之成本為 C(x) = -150x2 + 4500x + 15000，0≦ x≦ 15。
(a) 求生產 8 台電視機之成本。
(b) 求 C(9) - C(8)。 (c) 求邊際成本函數。
(d) 求生產 8 台電視機時之邊際成本並作適當之解釋。
解: (a) C(8) = -150(8) (8) = 41,400元
(b) C(9) - C(8) = 43, ,400 = 1,950元
(c) 邊際成本函數為 MC(x) = C'(x) = -300x
(d) 生產8台電視機時之邊際成本為
MC(8) = C'(8) = -300(8) = 2100
生產8 台電視機時之邊際成本為2100元，即生產第 9 台電視機所增加之成本大約為2,100元。實際上真正所增加之成本為1,950元。
2-4 邊際分析

22. 邊際收入 某超商銷售 x 罐可樂其總收入為 R(x) = 0.1x2 + 20x。 (a) 求銷售 100 罐可樂之總收入。
(b) 求 R(101) - R(100)。 (c) 求邊際收入函數。
(d) 求銷售 100 罐時之邊際收入並作適當之解釋。
解: (a) R(100) = 0.1(100)2 + 20(100) = 3,000元
(b) R(101) - R(100) = 3, ,000 = 40.1元
(c) 邊際收入函數為 MR(x) = R'(x) = 0.2x + 20
(d) 銷售100罐時之邊際收入為
MR(100) = R'(100) = 0.2(100) + 20 = 40
銷售100 罐可樂時之邊際收入為40元，即銷售第 101 罐時所增加之收入大約為 40元。實際上，真正增加之收入為 40.1 元。
2-4 邊際分析

23. 邊際利潤
某電話機製造商生產 x 部電話機所需之成本為 C(x) = -x x 元。同時，當他銷售 x 部電話機時其總收入為 R(x) = -x 元。
(a) 求利潤函數 P(x)。
(b) 求該製造商在生產且銷售 10 部電話機之利潤。
(c) 求 P(11) - P(10)。 (d)求邊際利潤函數。
(e) 求該製造商在生產且銷售 10 部電話機時之邊際利潤並解釋之。
解: (a) P(x) = R(x) - C(x) = (-x ) - (-x x )
= -150x 元
(b) P(10) = -150(10) = 1,000元
(c) P(11) - P(10) = -150 元
(d) 邊際收入函數為 MP(x) = P'(x) = -150
(e) 銷售100罐時之邊際收入為 MR(10) = R'(100) = -150
即該製造商在生產且銷售第11部電話機時其利潤減少了150元。
2-4 邊際分析

24. 乘法規則 定理2-2: 若 f(x) 和 g(x) 為可微函數，則 f(x)g(x) 為可微函數且 即 乘法規則可寫成以下形式：
假設我們用 u 和 v 來分別表示 f(x) 和 g(x) ，即 u = f(x) 且v = g(x) 。乘法規則可寫成以下形式:
2-5 乘法與除法規則

25. 利用乘法規則求導數
求下列各函數之導數。
求切線方程式
求函數 在 x = 4 時之切線方程式。
2-5 乘法與除法規則

26. 反覆的運用乘法規則 反覆的運用乘法規則，我們知道如何求有限個函數相乘的導數，例如，
在上式中，若 f(x) = g(x) = h(x) ，則得到
若 f(x) 為一可微函數且 n 為一正整數，則
2-5 乘法與除法規則

27. 除法規則 定理2-3: (a) 設 g(x) 為一可微函數且 g(x)  0，則 為可微且
(b) 若 f(x) 為另一可微函數，則 為可微且
若令 u = f(x) 和 v = g(x)，則除法規則可以寫成：
2-5 乘法與除法規則

28. 利用除法規則求導數
求下列各函數之導數。
利用除法規則求變化率
求函數 在 x = 1 時之變化率。
2-5 乘法與除法規則

29. 連鎖律
連鎖律 (chain rule) 為另外一個重要的微分方法，它是用來求合成函數的導數。設 h(x) = g。f(x)，即 h 為 g 和 f 的合成函數，試問如何求 h'(x)？
因為導數所代表的意義為變化率，所以，h(x) 在 x 之變化率應該等於 g(x) 在 f(x) 之變化率乘以 f(x) 在 x 之變化率，即 h'(x) = g'(f(x)) f '(x)。
定理2-4: 若 f(x) 與 g(x) 皆為可微函數，則 g。f(x) 亦為可微且
若 y = g(u) 且 u = f(x)，則連鎖律可以表成
2-6 連鎖律

30. 連鎖律 定理2-5: 乘冪規則 (power rule) 若 r 為一實數且 f(x) 為可微函數，則 f(x)r 為可微且
利用連鎖律求導數
求下列各函數之導數。
(a) g。f(x)，g(x) = x2 +2x + 3，f(x) = x2 。
(b) g。f(x)，g(x) = x4 + 5，f(x) = x2 - 1 。
利用乘冪規則求導數
2-6 連鎖律

31. 連鎖律 利用連鎖律求導數 若 y = 2x2 + 3x - 5 且 x = 3t2 - 1，求 與 。 利用連鎖律求變化率
將一塊石頭丟入平靜的湖面，在時間 t 秒時，觀察到水圈之半徑為 r(t) = (4t + 1)1/2 公尺。求在第 6 秒時水圈半徑之擴散速度。
利用連鎖律求邊際收入
某一零售商每天銷售 x 瓶礦泉水之總收入為
元。求邊際收入函數。
2-6 連鎖律

32. 高階導數
一個函數 y = f(x) 的導數 y' = f ' (x)，其所代表的意義為函數的變化率，當然我們可以繼續求函數 y' = f '(x) 的導數 y'' = f ''(x)，即所謂的 y = f(x) 的二階導數，其含意為函數 y' = f '(x) 的變化率。
若 S(t) 表示在時間 t 時，車子所行走的距離，則 S'(t) 表示速度(velocity)，S''(t) 表示速率的變化率，即所謂的加速度(acceleration)；若 C(x) 表示成本函數，則 C'(x) 表示邊際成本，C''(x) 表示邊際成本的變化率。
2-7 高階導數

33. 高階導數
函數 y = f(x)，我們可以考慮導數 y' = f ' (x) 即一階導數(first-order derivative) ，二階導數(second-order derivative) y'' = f ''(x)，三階導數(third-order derivative) y''' = f '''(x)，餘此類推。二階以上的導數統稱高階導數(higher-order derivative)。
高階導數常用的符號：
2-7 高階導數

34. 高階導數 求二階導數 求三階導數 設 y = x3 + 2x - 5，求 y'' 。 求 。 設 ，求 f'' (1)。
求 。
設 ，求 f'' (1)。
求三階導數
設 ，求 f''' (x)。
2-7 高階導數

35. 高階導數 求速率與加速度 邊際成本之變化率 有部車子沿著高速公路由台北往南開，在時間 t 時，其所行走之距離為
S(t) = 25t2 - 2t3 公里，0≦t≦5
求此部車子在 t = 2 時之速率與加速度。
邊際成本之變化率
設成本函數為 C(x) = -150x x ，求邊際成本之變化率。
2-7 高階導數

36. 不可微的函數
純就函數的觀點來看，y = f(x) 在 x = a 可微表示函數圖形在 x = a 時切線存在。因此，很顯然地，y = f(x) 可能在某些點不可微 (nondifferentiable)，即切線不存在。
如何判斷一個函數 y = f(x) 在 x = a 不可微，通常我們可以由定義去證明導數 f '(a) 不存在或者證明 y = f(x) 在 x = a 不連續。
2-8 不可微的函數

37. 連續但不可微的點 f(x) = |x| 在 x = 0 不可微。 解:
所以，f '(0) 不存在，即 f(x) = |x| 在 x = 0 不可微。
2-8 不可微的函數

38. 連續但不可微的點
設 ，則 f(x) 在 x = 0 不可微。
2-8 不可微的函數

39. 不連續的點
設 ，則 y = g(x) 在 x = 1 不連續，因此不可微。
2-8 不可微的函數

40. 具有垂直切線的點
設 f(x) = x1/3，則 y = f(x) 在 x = 0 不可微。
2-8 不可微的函數

41. 函數圖形不可微的點
在下圖中，哪些點不可微？ 第 二 章 結 束
2-8 不可微的函數