1. 16/07/2015Dr Andy Brooks1 TFV0103 Tölfræði og fræðileg vinnubrögð Fyrirlestur 12 Kafli 9.1 Inference about the mean μ (σ unknown) Ályktun um meðaltalið (σ óþekkt)...forsenda... þýðisdreifing er normaldreifing

2. 16/07/2015Dr Andy Brooks2 Assumption σ known. Forsenda σ þekkt. 95% öryggisbil (alfastig=0,05) fyrir μ, þýðismeðaltal 99% öryggisbil (alfastig=0,01) fyrir μ, þýðismeðaltal

3. 16/07/2015Dr Andy Brooks3 We use s as a point estimate for σ: Við notum s eins og puntkspá fyrir σ: The estimate for the standard error is now: Spátala fyrir staðalvillu er nú: But often σ, the population standard deviation, is unknown. En oft σ, þýðisstaðalfrávikið, er óþekkt...

4. 16/07/2015Dr Andy Brooks4 “Student´s t” Because s is an estimate, instead of the test statistic z* and BOOKTABLE3, we use Student´s t: Af því að s sé spátala, í staðinn fyrir prófmælitöluna z* og bókartöflu 3, við notum “Student´s t”: The t-distribution is not normally distributed for small sample sizes n. t-dreifing er ekki normaldreift fyrir litlar úrtaksstærðir n. Students´s t-distributions are distinguished by how many degrees of freedom (df) they contain. Student's t dreifingarnar eru aðgreindar með því hversu margar frígráður (df) þær innihalda. df = n-1 (Kafli 9,1)

5. 16/07/2015Dr Andy Brooks5 www.xycoon.com When the sample size n increases, the t-distribution gets more and more like a normal distribution. Þegar úrtaksstærðin n fjölgar, líkist t-dreifingin meir og meir normaldreifingu. INTERACTIVITY 9A Student´s t-distributions Student´s t-dreifingar symmetric and uni-modal samhverf og eintinda

6. 16/07/2015Dr Andy Brooks6 We use t instead of z. Við notum t í staðinn fyrir z. We use s because σ is unknown. Við notum s af því að σ er óþekkt. Confidence interval for μ, the population mean is: Öryggisbil fyrir μ, þýðismeðaltal er: Confidence Interval (CI)/Öryggisbil The critical values of the t-distribution are given in BOOKTABLE6 (p. 581). Ventigildi t-dreifingar eru gefin í bokartölfu 6 (bl. 581). df = n-1 (Kafli 9,1)

7. 16/07/20157 Dæmi: Heights of women/Hæðir kvenna s er punktspá fyrir σ 95% öryggisbil fyrir þýðismeðaltal μ er: meðaltal 1,68 miðtala 1,675 kryppugilidi 1,64 var 1,96 ≈ +4mm aðeins breiðari var

8. 16/07/20158 BOOKTABLE6 Bókartafla 6 one tail0,050,0250,010,005 two tail0,10,050,020,01 df 32,353,184,545,84 42,132,783,754,60 52,022,573,364,03 61,942,453,143,71 71,892,363,003,50 81,862,312,903,36 91,832,262,823,25 101,812,232,763,17 111,802,202,723,11 121,782,182,683,05 131,772,162,653,01 141,762,142,622,98 151,752,132,602,95 161,752,122,582,92 171,742,112,572,90 181,732,102,552,88 Critical Values of Student´s t-distribution. Vendigili Student´s t- dreifingar. einhliða tvíhliða frígráður df = n-1 (Kafli 9,1)

9. 16/07/20159 one tail0,050,0250,010,005 two tail0,10,050,020,01 df 191,732,092,542,86 201,722,092,532,85 211,722,082,522,83 221,722,072,512,82 231,712,072,502,81 241,712,062,492,80 251,712,062,492,79 261,712,062,482,78 271,702,052,472,77 281,702,052,472,76 291,702,052,462,76 301,702,042,462,75 351,692,032,442,72 401,682,022,422,70 501,682,012,402,68 1001,661,982,362,63 BOOKTABLE6 Bókartafla 6 1,96 og 2,575 í normaldreifingu Critical Values of Student´s t-distribution. Vendigili Student´s t- dreifingar. einhliða tvíhliða frígráður df = n-1 (Kafli 9,1)

10. 16/07/2015Dr Andy Brooks10 Dæmi - Öryggisbil In a random sample of 17 people (n=17), it was found that it took an average of 7,8 hours to fill out a tax return with a sample standard deviation of 2,3. What is the 95% confidence interval for the population mean μ? Í slembiúrtaki 17 einstaklinga (n=17), var komist að því að það tók að meðaltali 7,8 klukkutíma að fylla út skattframtalið með úrtaksstaðalfráviki 2,3. Hvert er 95% öryggisbilið fyrir þýðismeðaltalið μ? t = 2,12 úr bókartöflu 6 7,8 – 1,18 til 7,8 + 1,18 95% öryggisbil er [6,62 til 8,98]

11. 16/07/2015Dr Andy Brooks11 Dæmi - einhliða próf Is the mean level of carbon monoxide greater than 4,9 parts per million? A random sample of 22 measurements has a mean of 5,1 and a sample standard deviation of 1,17. Use a significance level of alpha = 0,05. Er meðalmagn kolsýrings stærra en 4,9 hlutar af milljón? Slembiúrtak 22 mælinga hefur meðaltal 5,1 og úrtaksstaðalfrávik 1,17. Notið marktektarstig alpha = 0,05. H 0 μ = 4,9 (<=, ekki stærra en 4,9)núlltilgáta H a μ > 4,9 (stærra en 4,9)hin tilgáta Illustration 9,5 bl. 420- one-tailed test/einhliða próf pollution/mengun aðeins stærra en 4,9

12. 16/07/2015Dr Andy Brooks12 The test statistic is t*: Prófmælitalan er t*: t* is the number standard errors (x-bar from the mean μ). t* er fjöldi staðalvilla (x-bar frá meðaltalinu μ). Fyrir alfastig = 0,05, t = 1,72 (einhliða) úr bókartöflu 6. Because 0,8 < 1,72, we cannot reject the null hypothesis. Af því að 0,8 < 1,72, við getum ekki hafnað núlltilgatunni. Dæmi - einhliða próf

13. 16/07/2015Dr Andy Brooks13 t-driefing df = n-1 = 22-1 = 21 1,72 0,05 Gildið 0,8 er ekki sérstaklega stórt. t

14. 16/07/2015Dr Andy Brooks14 Dæmi - tvíhliða próf In a test, the mean score is expected to be 65. In a random sample of 28 employees the mean was 62,1 with a sample standard deviation of 5,83. Are these 28 employees different from expected? Use a significance level of alpha = 0,02. Í prófi, er þess vænst að meðaltalið verði 65. Í slembiúrtaki 28 starfsmanna var meðaltalið 62,1 með úrtaksstaðalfráviki 5,83. Eru þessir 28 starfsmenn frábrugðnir því sem var vænst? Notið marktektarstig alpha = 0,02. H 0 μ = 65 H a μ ≠ 65 (meðaltalið geti verið stærra en eða minna en 65) Illustration 9,6 bl. 422- two-tailed test/tvíhliða próf aðeins minna en 65

15. 16/07/2015Dr Andy Brooks15 The test statistic is t*: Prófmælitalan er t*: Fyrir alfastig = 0,02, t = 2,47 (tvíhliða) úr bókartöflu 6. Because -2,63 < -2,47, we can reject the null hypothesis. Af því að -2,63 < -2,47, við getum hafnað núlltilgátunni. The alternative hypothesis is right. Hin tilgátan er rétt. Dæmi - tvíhliða próf

16. 16/07/2015Dr Andy Brooks16 t-driefing df = n-1 = 28-1 = 27 +2,47 0,01 Gildið -2,63 er sérstaklega lítið. t-2,47 0,01