1. 初中几何第三册 弦切角 授课人： 董清玲

2. 弦切角 一、引入新课： 什么是圆心角、圆周角、圆周角定理的内容是什么？ 顶点在圆心的角叫圆心角。 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 A B′ C B O

3. 二 新课讲解： AB′ C B O B O A C 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。（静态） 弦切角可以看作是圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角。（动态） 1 定义： 2 特征： （ 1 ） 顶点在圆上、（ 2 ）一边和圆相交（ 3 ）一边和圆相切

4. 3 练习： （ 1 ） 指出图中所有的弦切角： A P B C D A B C D E P A B C （ 2 ） 作出三个弦切角，其中一个是直角，一个是锐角，一个是钝角。

5. 4 观察弦切角的边所夹的弧对的圆周角与弦切角之间有何关系？ （ 1 ） 第一种情形：圆心 O 在∠ BAC 的边 AC 上 ∵ AB 是⊙ O 的切线 ∴∠ BAC=90° 又∵弧 AMC 是半圆 ∴∠ P=90° ∴∠ BAC= ∠ P （ 2 ）第二种情形：圆心 O 在∠ BAC 外 作⊙ O 的直径 AQ ，连结 CQ 、 ∵∠ BAQ= ∠ ACQ=90° ∴∠ BAC=90°- ∠ 1 ∠ Q=90°- ∠ 1 ∴∠ BAC= ∠ Q 又∵∠ Q= ∠ P ∴∠ BAC= ∠ P P Q P 1

6. 第三种情形：圆心 O 在∠ BAC 的内部 作⊙ O 的直径 AQ ，连结 CQ ∵∠ BAC=180°- ∠ DAC ∠ P=180°- ∠ Q 又由（ 2 ）知：∠ DAC= ∠ Q ∴∠ BAC= ∠ P P Q D 定理： 思考： 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角有何关系？ 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 弦切角 等于它所夹的弧对的圆周角。

7. 三 例题讲解： 如图，已知 AB 是⊙ O 的直径， AC 是弦，直线 CE 和⊙ O 切于点 C ， AD ⊥ CE ，垂足为 D 。 求证： AC 平分∠ BAD 。 A B C D E 分析： AC 平分∠ BAD ∠ BAC= ∠ CAD 寻找中间量 （∠ BAC+ ∠ B=90° ， ∠ CAD+ ∠ ACD=90° ） ∠ B= ∠ ACD 证明：连结 BC ∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB=90° ∴∠ B+ ∠ CAB=90° ∵ AD ⊥ CE ，∴∠ ADC=90° ∴∠ ACD+ ∠ DAC=90° ∵ AC 是弦，且 CE 和⊙ O 切于点 C ∴∠ ACD= ∠ B ∴∠ DAC= ∠ CAB 因此 AC 平分∠ BAD

8. 练习： 如图：经过⊙ O 上的点 T 的切线和弦 AB 的延长线相交于点 C ， 求证：∠ ATC= ∠ TBC 。 A B C T

9. 小结 ： 1 弦切角的概念、定理及其推论、并用之解有关问题。 2 通过弦切角定理的证明，进一步了解分情况证明数学命 题的思想和 方法。 要求 ： 1 弦切角的概念及定理十分重要，应认真掌握并学会灵活应用， 以提高解题能力。 2 弦切角和圆周角通过有 “ 共同的弧 ” 而沟通起来，弦切角定理的证明， 完全可以对比圆周角的证明加以理解，它们的证明分情况讨论和 由特殊到一般的论证的思想方法是一致的。

10. 练习： 一 选择题： 1 弦切角的弦把圆分成两部分，其中一部分比另一部分大 44° ， 则这个弦切角的度数为（ ） A 158° B 100° C 79° D 以上都不对 D 2AB 是⊙ O 的直径， C 是 AB 弧上一点， CP 是⊙ O 的切线， 若∠ PCA=30° ， 则∠ A= （ ） A 30° B 60° C 15° D 150° B 3 已知， E 是⊙ O 内接四边形 ABCD 两条对角线的交点， CD 的延长线与过 A 点的⊙ O 的切线交于 F 点，若∠ ABD=44° ， ∠ AED=100° ， AD 弧 =2AB 弧，则∠ AFC 的度数为（ ） A 104° B 92° C 78° D 34° D