1. Geometry

2. A + B + C = 180 B A C A B

3. Pythagoras a2 + b2 = c2 a2 c2 b2 b a b a a a c  b c  b c b c a  a b
 +  + 90 = 180

4. A = 2∙B x B y 180 -2x 180 -2y x A y B = x + y
A = 360–(180–2x)–(180–2y)
= 2x + 2y = 2B
[Angle at the Center Theorem]

5. A = 2∙B x y B 360–(180–2y) 180–2x x A y B = x – y
A = 360–(180–2x)–(180+2y)
= 2x – 2y = 2B
[Angle at the Center Theorem]

6. A = B = C B x A x 2x C x
Opgave 2
Tegn en cirkel med radius 7 cm. Tegn en korde. Tegn to punkter A og B på cirklen på samme side af korden.
Tegn trekanten med hjørne A og korden som en side. Mål vinklen A.
Tegn trekanten med hjørne B og korden som en side. Mål vinklen B. C x
[Angles Subtended by Same Arc Theorem]

7. A = 90 A
90
180
Opgave 1
Tegn en cirkel med radius 7 cm. Tegn diameteren. Tegn et punkt A på cirklen.
Tegn trekanten med hjørne A og diameteren som en side. Mål vinklen A.

8. A + B = 180 A
2B
2A B
2A + 2B = 360
[Cyclic Quadrilateral]

9. Sums

10. 1 + 2 + ∙∙∙ + n = n2/2 + n/2 = n(n + 1)/23 4
∙∙∙ n
∙∙∙ + n
= n2/2 + n/2
= n(n + 1)/2

11. Σ Σ Σ Σ 20 + 21 + 22 + 23 + ∙∙∙ + 2k = 2k+1 - 1 αi = for α 17 15 31 20 21 22 23 24
induction step 2k
2k - 1
2 ∙ 2k - 1 = 2k+1 - 1 Σ k
i = 0
αk+1 – 1
α – 1
αi = for α 1 Σ Σ Σ k
i = 0
k+1
i = 1 k
i = 0
(α – 1)∙ αi = αi – αi = αk+1 – 1

12. Σ Σ Σ Σ Σ (k – i) ∙ 2i = 2k+1 – 2 – k ∙ 2k = 2k = i∙2k–i i 2i = + 1 2
# nodes = ∙∙∙ + 2k = 2k+1 – 1
# edges = # nodes – 1 = 2k+1 – 2
(k – i)∙2i = # edges – k = 2k+1 – 2 – k Σ k
i = 0
(k – i) ∙ 2i = 2k+1 – 2 – k Σ k
i = 0 Σ i 2i k
i = 0 Σ k
i = 0
∙ 2k = 2k = i∙2k–i Σ k
i = 0 i 2i = + 1 2 3 4
+ ∙∙∙ + k
= 2 –
2+k 8 16 2k 1 k
k-1
... i
2i nodes
k-i edges

13. Σ Σ Σ Σ = n(n+1)(2n+1) 6 i2 Proof by induction : n = 1 : i2 = 1 =
n > 1 : i2 = n i2
= n2 +
= = Σ 1
i = 1
1(1+1)(2·1+1) 6 Σ n
i = 1 Σ
n-1
i = 1
(n-1)((n-1)+1)(2(n-1)+1) 6
2n3+3n2+n 6
n(n+1)(2n+1) 6

14. ∫ Σ n-th Harmonic number Hn = 1/1 + 1/2 + 1/3 +∙∙∙+ 1/n = 1/i Hn – 1 
1/x dx = [ ln x ] = ln n – ln 1 = ln n
 Hn – 1/n
ln n + 1/n  Hn  ln n + 1
1/n n 1 2 3 4 5
1/1
1/2
1/3
1/4
1/n

15. Approximations

16. ln (1 + )   1 +   e (1 + ) 1/  e (1 + 1/x) x  e
for   0 and x large
”” is actually ”” x
ln x  1
1+  x 1 x
ln x =

17. n∙ln n – n + 1  ln n!  n∙ln n – n + 1 + ln n∫ n 1 Σ
n-1
i = 1 n 1
ln n! – ln n =
ln i 
ln x dx
= [ x∙ln x – x] Σ n
i = 1
= n∙ln n – n + 1 
ln i =
ln n!
n∙ln n – n + 1  ln n!  n∙ln n – n ln n
ln n
ln x
ln 4
ln 2 1 2 3 4 5 n
[Stirling’s Approximation]

18. Primes

19. (n) = |{ p | p prime and 2  p  n }| = Θ(n/log n)
Prime Number Theorem
Tchebycheff 1850
(n) = |{ p | p prime and 2  p  n }| = Θ(n/log n)
Upper Bound
All primes p, n < p  2n, divide From
we have (2n)-(n)  2n/log n, implying
Lower Bound
Consider prime power pm dividing Since pi divides between n/pi and n/pi factors in both denominator and numerator, we have m bounded by , implying
(30) = 10

20. Sums not restricted to primes
Series for Primes
Sums not restricted to primes

21. Master theorem
Pick’s theorem
Euler’s formula: E=O(V) for connected graphs